2022 Segundo parcial 2Cuatri Tema 2

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
04/11/22 
TEMA 2 
 
 
 UNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1,5 puntos b) 0,5 puntos 3) 2,5 puntos 4 ) al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Hallar los valores de ,a b para que el vector ( )1;4; ;u a b= pertenezca al subespacio generado por los vectores del 
conjunto ( ) ( ) 1;2; 1;2 , 0;2;4;2A = − RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
2) a) Demostrar que el conjunto de vectores ( ) ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1 , 1;0;1A = − es un conjunto linealmente 
independiente de 
3 
 b) ¿El conjunto A constituye una base de 
3 ?Justifique adecuadamente su respuesta 
 RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
3) Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y trigo. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de 
carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de trigo aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 
g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de 
proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 pesos y 1 kg de trigo cuesta 0.25 pesos, calcule cuántos kilogramos de 
cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo. 
Resolver por método gráfico RESOLUCIÓN EN LA HOJA 4 
4) Dada la siguiente función ( ); 4 2 3F x y x y= + − y la región determinada por las siguientes 
restricciones 
2 6
4 10
3
, 0
x y
x y
x y
x y

 + 

+ 
 − + 


 los vértices de la región de soluciones factibles son: 
 a) ( ) ( )0;0 0;3 (1;4) (2;2) (2,5;0)A B C D E  b) ( ) ( ) ( )2;2 0;6 0;10A B C 
 c) ( ) ( )0;0 0;6 (3;0) (2;2)A B C D  d) No existen soluciones factibles 
 
 
5) El ó los valores de  para que el vector ( )0;1;1; 4u = − NO pertenezca al subespacio generado por los vectores 
del conjunto ( ) ( ) 0;2; 1; , 0; ; 1;2A  = − − son: 
 
 
 a) 2 =  b)   
 c) 2  
 
 
  d)   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) El ó los valores de m para que ( ) ( ) ( ) 0;1;1 , ;3; 1 , 1;0;S m m= − − sea una base de 3 son: 
 a)  m  b) 2 2m m −   
 c) m   d) 2 2m m= −  = 
 
 
 
 
7) Sea la región del plano R 
, 0
7 2 17
3 9
4 5 25
x y
x y
x y
x y


− 

+ 
 −  −
 y la función 2 6Z x y= − + señale la respuesta correcta: 
 
 a) 10, 2máx mínZ Z= =  b) 10, 1máx mínZ Z= = 
 c) 10, 7máx mínZ Z= =  d) Ninguna respuesta es correcta 
 
8) Dado el sistema homogéneo
( 2) 0
2 0
2 0
y k z
x y z
x ky
− + + =

− + − =
− + =
 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución sea 
un subespacio de dimensión cero es: 
 a)  0  b)  
 c)  0 −  d)  
 
 
9) Sea 
 2 3 2
2 2 2 3
 3 2
x y z w
x y z w
x y z w
+ − + =

− + − =
 − − + =
, entonces la dimensión del conjunto solución del sistema homogéneo asociado es: 
 
 a) 0Dim S =  b) 1Dim S = 
 c) 2Dim S =  d) 3Dim S = 
 
 
10) Si el vector de precios es un múltiplo escalar de ( )2;5;5 , una posibilidad de consumo es ( ) ( )1 2 3; ; 15;30;20x x x = 
 Y el ingreso es de I = $3360, entonces la ecuación presupuestaria es: 
 a) 
1 2 3
2 5 5 3360x x x+ + =  b) 
1 2 3
15 30 20 3360x x x+ + = 
 c) 
1 2 3
24 60 60 3360x x x+ + =  d) 31 2 1
24 60 60
xx x
+ + = 
 
 
 
 
 
1) Hallar los valores de ,a b para que el vector ( )1;4; ;u a b= pertenezca al subespacio generado por los 
vectores del conjunto ( ) ( ) 1;2; 1;2 , 0;2;4;2A = − 
 Para que el vector pertenezca al subespacio generado , el vector debe ser combinación lineal de los vectores de la 
familia A , entonces planteamos la combinación lineal 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1;2; 1;2 0;2;4;2
1 ;2 ; 1 ;2 0;2 ;4 ;2
1 ; 4
1;4; ;
1
2 2 ; 1 ;2 2
1
2 2
1
;4; ;
1;4; ;
4
2
1
4
2
a b
a b
a b
a
b
 
      
      

 
 
 
+ =
+ =
+ + + =
=

+ =

−
−
=
−


+
+ =
−
 
 Aplicamos las operaciones multiplicación por escalar, adición de vectores e igualación de estos y escribimos la matriz 
ampliada del sistema que resulta: 
 
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1
2 2 4 0 2 2 0 1 1 0 1 1
2
1 4 0 4 1 0 4 1 0 0 3
2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 4
a a a a
b b b b
 A 
      
      
      
          
      
−      + + − 
      
− − −       
El vector es CL de , y por ende pertenece al subespacio generado
3 0 4 0 3 4a b a b− =  − =  =  =
 por ellos ,
si el sistema resulta compatible entonces 
 
 
2) a) Demostrar que el conjunto de vectores ( ) ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1 , 1;0;1A = − es un conjunto linealmente 
independiente de 
3 
 
Para que el conjunto de vectores sea linealmente independiente, debemos plantear la combinación lineal del vector 
nulo 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0;0;0
0 0;0;0
0;0;0
0 1 2 1 0 1 2 1
1 1 1 2
0 2 1 0 0 2 1 0 1 1 1 2 1 4 3 0
2 0 2 1
0
1;2;0 2; 1;1 1;0;1
1 ;2 ; 2 ; ;1 ;0;
1
1 2 ;2 ;
1 2
2
0 1 1 0 0 1

 
 

 
    
    

 

 
+ =
+ =
+ + =
+ + =  
  
= → − → −
=
− +
− +
−
= − + = − − + − − = −   
+
−
−

+
 
 
 
El conjunto es linealmente independiente dado que el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema que 
queda plantado al expresar la combinación lineal del vector nulo es distinto de cero, por lo tanto, el conjunto de 
vectores es linealmente independiente 
 b) ¿El conjunto A constituye una base de 
3 ?Justifique adecuadamente su respuesta 
Si constituye una base del espacio, por la propiedad que establece que n vectores de 
n constituyen una base siempre 
que sean sistema de generadores o linealmente independientes. 
 
 
3) Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y trigo. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos 
de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de trigo aporta 300 g de hidratos de 
carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de 
carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 pesos y 1 kg de trigo cuesta 0.25 pesos, 
calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada 
día a una oveja con un gasto mínimo. Resolver por método gráfico 
 Con los datos del enunciado armamos una tabla que nos permitirá plantear el problema. 
 
 
 
 
 
 La función objetivo es ( ); 0,5 0,25 C x y x y= + , sujeta a las restricciones 
 600 300 1800
200 600 2400
, 0
x y
x y
x y
+ 

+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aclaración: 
• La región de soluciones factibles es la región abierta que está sombreada en azul y quedo determinada por los 
vértices indicados. 
Evaluamos la función de costo ( ); 0,5 0,25 C x y x y= + en cada uno de los vértices de la región. 
( )0;6 0,5 0 0,25 6 1,5 C =  +  =
 
( )1,2;3,6 0,5 1,2 0,25 3,6 1,5 C =  +  =
 
( )12;0 0,5 12 0,25 0 6 C =  +  =
 
Existen infinitas combinaciones que permiten minimizar el costo. El plan óptimo de compra con costo mínimo estará 
dado por la combinación lineal convexa de los vértices : ( ) ( ) ( )0;6 1 1,2;3,6 0 1S con  = + −   
 Maíz Trigo Disponibilidad 
Hidratos de 
carbono 
600 300 1800 
Proteína 200 600 2400 
Utilidad $ 0,5 $ 0,25