2023 Segundo Parcial 1Cuatri Tema 1

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
02/06/23 
TEMA 1 
Hoja 1 de 2 
 
PUNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1 punto b) 1punto 3) 2,5 puntos 4 al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Sea un problema de asignación de recursos escasos (materia prima, mano de obra y equipos) a líneas de producción 
de productos A y B, en base a los datos de la tabla del Simplex inicial adjunta, se pide: 
 Determinar el programa óptimo de producción 
 
 
 
 
 
 
Ingresa la variable X1 por tener el indicador más alto y sale de la base la variable S3 por arrojar el menor cociente. 
El elemento pivote es 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La solución óptima es Z = 30000 
𝑿𝟏 = 𝟑𝟎𝟎, 𝑿𝟐 = 𝟎, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎, 𝑺𝟐 = 𝟒𝟎𝟎, 𝑺𝟑 = 𝟎 
 
 cj 100 20 0 0 0 
ck xk x1 x2 s1 s2 s3 b 
0 s1 1 2 1 0 0 400 400/1=400 
0 s2 2 2 0 1 0 1000 1000/2=500 
0 s3 1 1 0 0 1 300 300/1=300 VS 
zj 0 0 0 0 0 
cj-zj 100 20 0 0 0 
 VE 
 cj 40 100 0 0 0 
ck xk x1 x2 s1 s2 s3 b 
0 s1 0 1 1 0 -1 100 
0 s2 0 0 0 1 -2 400 
100 x1 1 1 0 0 1 300 
zj 100 100 0 0 100 30.000 
cj-zj -60 0 0 0 -100 
2) 
 a) Sean ( ) ( ) ( )1;1;0; , 3; 1; ; 1 , 3;5; ; 4u m v n w m= = − − = − − hallar los valores de m, n para que , y u v w sean 
linealmente independientes. 
 
 Planteamos la combinación lineal del vector nulo con los vectores dados. Para que el conjunto de los vectores sea 
LI , el sistema homogéneo que resulta debe ser SCD para que exista una única solución que permita la 
combinación lineal del vector nulo con todos los escalares nulos. 
𝜶𝟏(𝟏; 𝟏; 𝟎; 𝒎) + 𝜶𝟐(𝟑; −𝟏; 𝒏; −𝟏) + 𝜶𝟑(−𝟑; 𝟓; 𝒎; −𝟒) = (𝟎; 𝟎; 𝟎; 𝟎) 
 
 
 
 Los vectores serán LI si y solo si 
𝒎 + 𝟐𝒏 ≠ 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Utilizando los vectores de a) hallar el subespacio generado por ellos cuando 1 y 0m n= = 
 
 Para hallar el subespacio generado planteamos la combinación lineal de un vector genérico 
𝜶𝟏(𝟏; 𝟏; 𝟎; 𝟏) + 𝜶𝟐(𝟑; −𝟏; 𝟎; −𝟏) + 𝜶𝟑(−𝟑; 𝟓; 𝟏; −𝟒) = (𝒂; 𝒃; 𝒄; 𝒅) 
 
 Resolvemos el sistema que queda planteado aplicando el método de Eliminación de Gauss 
 
 El sistema será incompatible a menos que −𝒃 + 𝟗𝒄 + 𝒅 = 𝟎 por lo tanto el subespacio generado por 
los vectores es: 
𝑨 ⃐ = {(𝒂; 𝒃; 𝒄; 𝒅) ∈ ℝ𝟒/ −𝒃 + 𝟗𝒄 + 𝒅 = 𝟎}
 
 
 
3) Un paciente debe tomar al menos 60mg de vitamina A y al menos 90mg de vitamina B diariamente. En la farmacia 
puede adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10mg de vitamina A 
y 15mg de vitamina B, y cada pastilla de la marca Y contiene 10mg de cada vitamina. Además, no es conveniente 
tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es $100 y que cada pastilla 
de marca Y cuesta $60. Determinar la combinación óptima que debe ingerir para que el costo sea mínimo. 
Empleando el método gráfico 
Con los datos del enunciado armamos una tabla que nos permitirá plantear el problema. 
 
 
 
 
 
 La función objetivo es 𝑪(𝒙; 𝒚) = 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟎𝒚, sujeta a las restricciones 
 
{
𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 ≥ 𝟔𝟎
𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 ≥ 𝟗𝟎
𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟖
 𝒄𝒐𝒏 𝒙, 𝒚 ≥ 𝟎
 
 
 
 
 
 Pastilla X Pastilla Y Requerimientos 
Vitamina A 10 mg 10 mg 60 mg 
Vitamina B 15 mg 10 mg 90 mg 
Utilidad $ 100 $ 60 
 
Aclaración: 
• La región de soluciones factibles es la región cerrada que está sombreada y quedó determinada por los 
vértices indicados. 
 
Evaluamos la función de costo 𝑪(𝒙; 𝒚) = 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟎𝒚 en cada uno de los vértices de la región. 
𝑪(𝟐; 𝟔) = 𝟏𝟎𝟎. 𝟐 + 𝟔𝟎. 𝟔 = 𝟓𝟔𝟎 
𝑪(𝟔; 𝟎) = 𝟏𝟎𝟎. 𝟔 + 𝟔𝟎. 𝟎 = 𝟔𝟎𝟎 
𝑪(𝟖; 𝟎) = 𝟏𝟎𝟎. 𝟖 + 𝟔𝟎. 𝟎 = 𝟖𝟎𝟎 
El plan óptimo de compra con costo mínimo se alcanza en el vértice B, es decir con la compra de 2 pastillas de la 
marca X y 6 de la marca Y y el costo mínimo es de $560. 
 
4) El conjunto de valores de 𝒕 ∈ ℝ para que el vector 𝒖 = (𝟎; 𝟏; 𝟏; −𝟒) pertenezca al subespacio generado por los 
vectores del conjunto 𝑨 = {(𝟎; 𝟐; −𝟏; 𝒕), (𝟎; 𝒕; −𝟏; 𝟐) } es: 
 
 a) {𝟐}  b) ℝ − {𝟐} 
 c) ℝ  d) ∅ 
 
5) Un consumidor destina para la compra de un lote de tres bienes $ 207, sabiendo que, el precio de cada uno de los 
bienes es
1
3 ,p k= − 2
2 3
, 2 25p k p k= = − + y una posibilidad de consumo es ( )12;6;15 . Señale la respuesta 
correcta. 
 a) 4 7k k=  =  b) 4 7k k   
 c) 2k =  d) Ninguna de las anteriores 
 
 
6) Sea la región del plano 
 
{
𝒚 − 𝒙 ≤ 𝟒
𝒚 + 𝟐𝒙 ≥ 𝟕
𝟐𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟏𝟑
 𝒄𝒐𝒏 𝒙. 𝒚 ≥ 𝟎 𝒚 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒁 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏 𝒔𝒆ñ𝒂𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂: 
 
 
 
 a) 𝑍𝑀á𝑥 = 26 𝑦 𝑍𝑀í𝑛 = 14  b) 𝑍𝑀á𝑥 = 25 𝑦 𝑍𝑀í𝑛 = 13 
 c) 𝑍𝑀á𝑥 = 33 𝑦 𝑍𝑀í𝑛 = 21  d) Ninguna de las anteriores es correcta 
7) El ó los valores de k para que los vectores del conjunto ( ) ( ) ( ) 0; 1; 2 , 1;1; , 2; 2;0A k k= − − − + − sean 
linealmente dependientes son: 
 
 a) 0k =  b) k  
 c) 0k   d)  k 
8) Dado el sistema homogéneo
( 2) 0
2 0
2 0
y k z
x y z
x ky
− + + =

− + − =
− + =
 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución del 
sistema sea un subespacio de dimensión distinta de cero es: 
 
 a)   b)  
 c)  0 −  d)  0 
9) Sea el sistema de ecuaciones {
𝒙 + 𝒚 = 𝟎
𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
−𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟏
 entonces el conjunto solución del sistema homogéneo 
asociado es un subespacio de dimensión: es: 
 
 
 a) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟎  b) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟏 
 c) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟐  d) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 ) El ó los valores de m para que ( ) ( ) ( ) 0;1;1 , ;3; 1 , 1;0;S m m= − − constituya una base 3 son: 
 a)  m  b) 2 2m m −   
 c) m   d) 2 2m m= −  =