2023 Segundo Parcial 1Cuatri Tema 2

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
02/06/23 
TEMA 2 
 
 
 
PUNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1 punto b) 1punto 3) 2,5 puntos 4 al 10) 0,5 cada uno 
 
1) Sea un problema de asignación de recursos escasos (materia prima, mano de obra y equipos) a líneas de producción de 
productos A y B, en base a los datos de la tabla del Simplex inicial adjunta, se pide: 
 Determinar el programa óptimo de producción 
 
2) 
a) Dados los vectores  , , ,u v w x donde ( )1;0;0;u = ( );1;0;0v = ( )0; ;1;0w = ( )0;0; ;1x = , hallar el/los valores de 
 para que sean linealmente independientes 
Para que los vectores sean LI, planteamos la combinación lineal del vector nulo con los vectores dados, para que el 
conjunto de los vectores sea LI , el sistema homogéneo que resulta debe ser SCD para que la única solución sea 
aquella dónde todos los escalares de combinación son nulos. 
𝑎𝟏(𝟏; 𝟎; 𝟎; 𝝀) + 𝑎𝟐(𝝀; 𝟏; 𝟎; 𝟎) + 𝑎𝟑(𝟎; 𝝀; 𝟏; 𝟎) + 𝑎𝟒(𝟎; 𝟎; 𝝀; 𝟏) = (𝟎; 𝟎; 𝟎; 𝟎) 
 
 
Los vectores serán LI si y solo si −𝝀𝟒 + 𝟏 ≠ 𝟎 ⟶ 𝝀𝟒 ≠ 𝟏 → 𝝀 ≠ −𝟏 ∧ 𝝀 ≠ 𝟏
 
 
b) Utilizando los vectores de a)hallar el subespacio generado por ellos cuando 1  = 
Para hallar el subespacio generado planteamos la combinación lineal de un vector genérico 
𝑎𝟏(𝟏; 𝟎; 𝟎; 𝟏) + 𝑎𝟐(𝟏; 𝟏; 𝟎; 𝟎) + 𝑎𝟑(𝟎; 𝟏; 𝟏; 𝟎) + 𝑎𝟒(𝟎; 𝟎; 𝟏; 𝟏) = (𝒂; 𝒃; 𝒄; 𝒅) 
 
Resolvemos el sistema que queda planteado aplicando el método de Eliminación de Gauss 
 
 
 
 
 
 
El sistema será incompatible a menos que −𝒂 + 𝒃 − 𝒄 + 𝒅 = 𝟎 por lo tanto el subespacio generado por 
los vectores es: �̅� =
{(a; b; c; d) ∈ ℝ4/ −a + b − c + d = 0} 
 
 
3) Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 unidades de vitamina B y 23 unidades de vitamina C y 6 de 
proteínas en el alimento que da a su ganado. Dispone para ello de dos tipos de alimento A1 y A2, cuyos contenidos 
vitamínicos por kilogramo son los que aparecen en la tabla. 
 
 
 
 El alimento A1 vale $1 y el del A2 vale $1,6 ¿Cómo deben mezclarse los alimentos para suministrar al ganado las vitaminas 
y proteínas requeridas con un costo mínimo? Emplee el método gráfico. 
 
La función objetivo es 𝑪(𝒙; 𝒚) = 𝒙 + 𝟏, 𝟔𝒚, sujeta a las restricciones 
 
 {
𝟒𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟒
𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 ≥ 𝟐𝟑
𝒙 + 𝟔𝒚 ≥ 𝟔
 𝒄𝒐𝒏 𝒙, 𝒚 ≥ 𝟎
 
 
 La región de soluciones factibles es la región abierta que está sombreada y 
quedó determinada por los vértices indicados. 
Evaluamos la función de costo 𝑪(𝒙; 𝒚) = 𝒙 + 𝟏, 𝟔𝒚 en cada uno de los 
vértices de la región. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑪(𝟎; 𝟒) = 𝟎 + 𝟏, 𝟔 × 𝟒 = 𝟔, 𝟒 
𝑪(𝟎, 𝟓; 𝟐) = 𝟎, 𝟓 + 𝟏, 𝟔 × 𝟐 = 𝟑, 𝟕 
𝑪(𝟑; 𝟎, 𝟓) = 𝟑 + 𝟏, 𝟔 × 𝟎, 𝟓 = 𝟑, 𝟖 
𝑪(𝟔; 𝟎) = 𝟔 + 𝟏, 𝟔 × 𝟎 = 𝟔 
 
 El plan óptimo de compra con costo mínimo se alcanza en el vértice (𝟎, 𝟓; 𝟐), es decir con la compra de 0,5 unidades 
de la marca A1 y 2 de la marca A2 y el costo mínimo es de $3,7 
 
 
 
4) El conjunto de valores de 𝒕 ∈ ℝ para que el vector �⃗⃗� = (𝟎; 𝟏; 𝟏;−𝟒) sea combinación lineal de los vectores del 
conjunto 𝑨 = {(𝟎; 𝟐;−𝟏; 𝒕), (𝟎; 𝒕;−𝟏; 𝟐) } es: 
 
 a) ∅  b) ℝ 
 c) ℝ − {𝟐}  d) {𝟐} 
 
5) Si el vector de precios es un múltiplo escalar de (𝟐; 𝟏; 𝟐), una posibilidad de consumo es 
 (𝒙𝟏; 𝒙𝟐; 𝒙𝟑) = (𝟓; 𝟏𝟎; 𝟏𝟎) y el ingreso es de I=$4000, la ecuación presupuestaria es: 
 
 a) 5 10 10 4000x y z+ + =  b) 2 2 4000x y z+ + = 
 c) 200 100 200 4000x y z+ + =  d) Ninguna de las anteriores 
 
 
6) Se considera el recinto definido por las siguientes restricciones
3 0
100
 
120
10
x y
x
x y
y
− + 



+ 
 
 . 
 Los vértices o puntos esquina de la zona de factibilidad son : 
 
 a) ( ) ( )30;10 100;10 (100;20) (90;30)  b) ( ) ( )0;0 0;10 (30;10) 
 c) ( ) ( ) ( )100;10 100;20 110;10  d) ( ) ( ) ( )100;20 90;30 100;100 / 3 
 
 
7) El ó los valores de k para que los vectores del conjunto ( ) ( ) ( ) 0; 1; 2 , 1;1; , 2; 2;0A k k= − − − + − constituyan una 
base de ℝ𝟑 son: 
 
 a) 0k =  b) k  
 c) 0k   d)  k 
8) Dado el sistema homogéneo
( 2) 0
2 0
2 0
y k z
x y z
x ky
− + + =

− + − =
− + =
 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución del 
sistema sea un subespacio de dimensión nula es: 
 
 a)   b)  
 c)  0 −  d)  0 
 
9) Sea el sistema de ecuaciones {
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏
−𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏
 entonces el conjunto solución del sistema homogéneo 
 asociado es un subespacio de dimensión: 
 
 a) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟎  b) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟏 
 c) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟐  d) 𝒅𝒊𝒎 𝑺 = 𝟑 
 
 
 
 
 
10) El ó los valores de m para que ( ) ( ) ( ) 0;1;1 , ;3; 1 , 1;0;S m m= − − constituya un conjunto linealmente dependiente 
de 3 son: 
 a)  m  b) 2 2m m −   
 c) m   d) 𝒎 = −𝟐 ∨ 𝒎 = 𝟐