LA_DERIVADA

Vista previa del material en texto

CÁLCULO 1
Departamento de Ciencias
Sesión 1: Derivada de una función.
Da lo mejor de ti cada día!!!
Reflexión del día…
 La paloma se desplaza
¿Te podrás imaginar cuánto se desplaza en:
Un minuto ...
Un segundo ...
Una décima de segundo ...
Una milésima de segundo ...
¿Qué tan pequeño debe
ser el tiempo para que
percibas el cambio? 
¿Qué es una razón?
¿Qué es una razón de cambio?
¿Qué es una razón de cambio instantáneo?
¿Qué quiere decir que una recta es tangente a una curva en un punto?
 Sabías …
UN PASEO CON BICICLETA
Coco, es un aficionado al ciclismo. La bicicleta que usa en sus paseos lleva un dispositivo que mide la distancia (en metros) y el tiempo (en minutos) de recorrido.
El domingo pasado realizó un paseo a Ancón. Al llegar a su destino observó el dispositivo y encontró que la distancia recorrida estaba dada por la función 
¿Con qué velocidad media se desplazó durante el intervalo de tiempo de y 
¿Cuál fue la velocidad en el instante 
Preocupado, se preguntó:
 
Al finalizar la sesión, el estudiante calcula la derivada de una función en un punto haciendo uso de la definición y aplica la derivada en el planteamiento y resolución de problemas de contexto real de manera clara y ordenada.
LOGRO
CONTENIDOS 
7
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada
Incrementos y razón de cambio
La derivada como razón de cambio
¿Qué es una recta secante a la gráfica de una función?
¿Cómo se define la pendiente de esta recta secante?
¿Qué entiende por recta tangente a una curva?
 SABERES PREVIOS
x
y
Incremento de :
Incremento de :
Cuando una variable pasa de un valor a otro, se dice que ha sufrido un INCREMENTO. 
INCREMENTO
La Razón de cambio de con respecto a en 
es el cociente:
La razón de cambio promedio es una medida de la variación que experimenta la función , en el intervalo. 
RAZÓN DE CAMBIO
x
y
10
razón de Cambio
Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo:
La velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. 
La aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. 
La densidad es la razón de cambio de la masa con respecto al volumen. 
La pendiente es la razón de cambio entre la altura con respecto a la distancia horizontal. 
La corriente es la razón de cambio de la cantidad de carga eléctrica con respecto al tiempo 
diferencial
Una diferencial (dx) se define como una infinitesimal, que es una diferencia entre dos puntos de una misma variable, pero dicha diferencia es extremadamente pequeña, tanto que tiende a ser cero, pero no llega a ser cero. 
¿Donde se APLICA?
Su principal uso es la optimización de funciones (máximos mínimos)
En economía: Para minimizar costos, maximizar utilidades, etc.
En física: para maximizar la velocidad de un cuerpo.
En geometría: para minimizar el área superficial de un cilindro.
En ingeniería: Para estimar los errores cometidos al evaluar funciones por métodos numéricos.
Cuando el precio de venta de un libro es S/ 100 se venden al mes 50 libros. Al aumentar el precio a S/ 110 se venden al mes 20 libros. 
¿Cuál es la razón de cambio promedio de las ventas con respecto al precio?
Incremento del precio : 
Incremento de ventas : 
Razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio es
Por lo tanto:
Por cada sol que se incrementó el precio, se vendieron en promedio unos 3 libros menos
Resolución: 
Incrementos – Razón de cambio
APLICACIONES
14
La temperatura estimada para un punto de experimentación agrícola está dada por grados centígrados a las horas de cierto día. 
Cuál es la razón de cambio de la temperatura entre las 4 a.m. y 9 a.m.
Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t segundos, está dado por la función metros. 
Determine la razón de cambio promedio (velocidad promedio) entre t = 2 y t = 4.
Incrementos – Razón de cambio
APLICACIONES
15
16
h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Recta Secante
Recta secante a una curva
Si, 
17
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
18
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
19
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
20
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
21
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
22
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
22
23
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
24
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
25
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
26
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
27
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
28
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
29
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
30
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
31
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
32
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
33
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
34
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
35
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
36
h
Rectasecante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
37
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
38
h
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
39
h
p
p
p
Recta secante a una curva
Recta Secante
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
p
Recta secante a una curva
Recta Tangente
La pendiente de la Recta secante que pasa por y , es:
Si, 
Recta secante Recta Tangente
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
 es la pendiente de en el punto 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función en , es el límite:
 siempre y cuando este límite exista.
Ejemplo: Si , halle 
 
Resolución: 
Ejemplo Si , halle 
Resolución: 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función en , es el límite:
 si este límite existe
Ejemplo Si , halle si 
 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución: 
Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto .
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto es 2 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución: 
Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2.
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Resolución: 
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
FUNCIÓN DERIVABLE
Una función es derivable si, en cada punto de su gráfica tiene una recta tangente
Una función es derivable si, 
para cada , existe su derivada 
También se puede decir,
 no es derivable en si 
CASO I: Cuando la recta tangente en es vertical
CASO II: Cuando no hay recta tangente en 
CASO III: 
Cuando no hay continuidad en 
FUNCIÓN NO DERIVABLE
Señale en qué puntos las funciones no son derivables. justifique
1.
2.
3.
4.
FUNCIÓN NO DERIVABLE
Estabelece, los valores del domínio donde f no es derivable.
FUNCIÓN NO DERIVABLE
La razón de cambio de en es:
La razón de cambio instantánea de en es:
 es la razón de cambio instantánea de f en 
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 
51
La temperatura estimada para un punto de experimentación agrícola está dada por grados centígrados a las horas.
Determine la razón de cambio instantáneo de la temperatura a las 4 a.m.
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 
El tamaño de una población está modelada por: , donde es el número de años . 
Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en 
El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con: S, donde t se mide en segundos. 
¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 
Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña años a partir de ahora será:
Determine la tasa de cambio de la población dentro de 10 años.
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 
 DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL
EJEMPLOS: Determine la primera derivada de las siguientes funciones:
1. 
2. 
3. 
4. 
REGLAS DE DERIVACIÓN
DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE:
EJEMPLOS: Determine la primera derivada de las siguientes funciones:
1. 
2. 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD:
REGLAS DE DERIVACIÓN
3. 
1. x
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
REGLAS DE DERIVACIÓN
01. DERIVADA DE UNA SUMA : 
Ejemplo 1: Determine si 
 
Ejemplo 2: Si determine 
 
 
Resolución:
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Ejemplo 3: 
Determine la primera derivada de la función: 
.
Ejemplo 4: 
Si determine 
Resolución:
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
01. DERIVADA DE UNA SUMA: 
02. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES: 
Ejemplo 1: 
Derivar 
Resolución:
Ejemplo 2: 
Derivar 
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Ejemplo 3: 
Derivar 
Resolución:
Ejemplo 4: 
Derivar 
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
02. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES: 
03. DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES: 
Ejemplo 1: 
Derivar 
Resolución:
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios … de los niveles 1, 2 y 3. 
TRABAJO EN EQUIPO
Reflexionemos:
En esta sesión, ¿qué has aprendido?
¿Cuáles son los errores que has cometido frecuentemente en esta unidad? ¿Cómo lo has enfrentado para superarlos?
¿En qué aspecto de tu vida crees que aparecen las derivadas?
¿Esperas utilizar derivadas en tu trabajo futuro?
	#	CÓDIGO	AUTOR	TÍTULO	EDITORIAL
	1	515.33 PURC	PURCELL, EDWIN J. 	Cálculo Diferencial E Integral 	Pearson Educación 
	2	515 STEW/P 2007 	STEWART, JAMES	Cálculo De Una Variable: Transcendentes Tempranas 	Thomson Learning 
	3	515.15/
LARS	LARSON, RON	Cálculo   	Mcgraw-Hill 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
66
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0
x
y
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
h
x
f
+
h
x
+
0









x
y