Regla de L´hopital - Derivadas Implícitas

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SESIÓN 3: 
Formas indeterminadas y la regla de L`Hôpital.
Derivadas implícitas
 
Cálculo 1
1
Héctor Paredes Aguilar
FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HÔPITAL
Héctor Paredes Aguilar
2
RESPONDER:
1
2
3
¿Cuál es el ?
¿Cuál es el ?
¿Cuál es el ?
 
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve limites indeterminados usando la regla de L´Hôpital de forma coherente.
LOGRO
SABERES PREVIOS:
1
2
3
 ¿Cuánto es el ?
¿Cuánto es el 
 ¿Cuánto es el 
Formas indeterminadas
Si , entonces si se tiene que 
¿Qué sucede si G=0?
Si F≠0, 
lim┬(𝑥→𝑎)⁡〖(𝑓(𝑥))/(𝑔(𝑥))=±∞〗
Si F=0, 
¿lim┬(𝑥→𝑎)⁡〖(𝑓(𝑥))/(𝑔(𝑥))〗?
 
 
 
ejemplos
Si , 
¿?
 no existe
 En este caso no es posible predecir el resultado.
Formas indeterminadas
Si , 
Un límite de este tipo, se conoce como “forma indeterminada”. También es forma indeterminada , , , , , .
Cuando un límite tiene uno de estos resultados, parecería que no existe, pero esto no siempre es así. 
Vamos a resolver los casos de ; los otros casos mediante un proceso algebraico se pueden reducir a uno de estos dos. Usaremos la REGLA de L’HÔPITAL para eliminar la indeterminación.
Supongamos que y son funciones diferenciables en ,
 y que . Si , entonces
Regla de L’hôpital ()
 (forma indeterminada)
 Por la regla de L’Hôpital, se tiene:
 
EJEMPLO 1
Regla de L’hôpital ()
EJEMPLO 2
Existen límites que al aplicar la Regla de L’Hôpital, resulta nuevamente una forma indeterminada, que a su vez se resuelve usando una vez más la regla.
 (forma indeterminada)
 Por la regla de L’Hôpital, se tiene: 
Aplicando una vez más la regla de L’Hôpital, se tiene: 
Supongamos que y son funciones diferenciables en ,
 y que . Si , entonces
Regla de L’hôpital ()
 (forma indeterminada)
 Por la regla de L’Hôpital, se tiene:
 
EJEMPLO 1
Regla de L’hôpital ()
EJEMPLO 2
 (forma indeterminada)
 Por la regla de L’Hôpital, se tiene: 
Por lo tanto .
EJERCICIO 1
Encuentre el error
DERIVADAS IMPLÍCITAS
Héctor Paredes Aguilar
13
SABERES PREVIOS:
 
 De la imagen, responda:
¿Cómo representar la función que describe la curva del recorrido ?
¿Cómo calcular la velocidad del móvil que recorre la curva, en un punto determinado?
 ¿Para calcular la derivada es necesario despejar la variable y?
 ¿En una función implícita, siempre es posible despejar la variable y?
 Si no es posible despejar la variable y, ¿Cómo calcular la derivada en un punto determinado ?
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve e interpreta problemas aplicados al estudio de fenómenos naturales, económicos y tecnológicos, haciendo uso de la derivada de funciones implícitas.
LOGRO
Una función está dada de forma implícita cuando está definida de la forma en lugar de la forma habitual . 
Obs: En una función implícita, no siempre es posible despejar la variable .
Ejemplos:
1. FUNCION IMPLICITA
2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Es una técnica que se emplea para calcular la derivada de una función que no está expresada en su forma convencional 
PROCEDIMIENTO:
Se deriva ambos miembros de la ecuación respecto a x (considerar que “y” representa una función de x)
Se agrupan en un miembro todos los términos que contienen y’ y los demás términos en el otro miembro.
Se factoriza y despeja y’ 
Ejemplo:
Ejemplo 1
Derivando implícitamente
Despejando y´ tenemos:
Ejemplo 2
Derivando implícitamente
 EJEMPLOS
Ejemplo 3
Derivando implícitamente
Despejando y´ tenemos:
y evaluarla en x = 2; y = 0 
Reemplazamos x = 2; y = 0:
EJEMPLOS
EJErcicios
En los siguientes ejercicios determinar en el punto indicado 
Sea una función implícita escrita de la forma:
 la derivada , se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
Donde: 
 es la derivada de F(x, y) respecto a x, considerando a y constante.
 es la derivada de F(x, y) respecto a y, considerando a x constante.
 
 3. DERIVACIÓN IMPLÍCITA … REGLA PRACTICA
 EJEMPLOS regla practica
En los siguientes ejercicios determinar: Determine luego evalúe en el punto indicado, usando la Regla Práctica.
4. METACOGNICIÓN
¿A qué conclusiones puedo llegar sobre lo visto en clase?
¿Qué habilidades he desarrollado?
¿Qué dificultades tengo?
¿En qué ocupé demasiado 
 tiempo?
 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
	#	CÓDIGO	AUTOR	TÍTULO	EDITORIAL
	1	515.33 PURC	PURCELL, EDWIN J. 	Cálculo Diferencial E Integral 	Pearson Educación 
	2	515 STEW/P 2007 	STEWART, JAMES	Cálculo De Una Variable: Transcendentes Tempranas 	Thomson Learning 
	3	515.15/
LARS	LARSON, RON	Cálculo   	Mcgraw-Hill 
(
)
(
)
2
222
1.40
-+--=
xyxy
33
2.60
---=
xyxy
y
x
e
y
+
=
1
1
-
=
¢
y
e
y
2
2
2
=
+
y
x
(
)
(
)
(
)
¢
=
¢
+
¢
2
2
2
y
x
0
)
(
2
2
=
¢
+
y
y
x
y
x
y
-
=
¢
(
)
(
)
(
)
¢
+
¢
=
¢
y
x
e
y
y
y
e
y
¢
+
=
¢
1
1
=
¢
-
¢
y
y
e
y
(
)
1
1
=
¢
-
y
e
y
1
2
5
2
3
+
-
=
+
y
e
x
x
y
'
1
4
2
0
y
×
-
=
+
'
15
2
y
y
2
=
¢
y
)'
1
(
)'
(
)'
(
)'
2
(
)'
5
(
2
3
+
-
=
+
y
e
x
x
y
=
+
2
0
+
0
'
)
2
(
2
2
'
)
0
(
15
0
2
+
×
-
=
+
y
e
y
x
2
'
y
e
y
×
-
2
2
4
)
1
0
0
2
2
=
=
=
+
-
y
x
y
xy
x
(
)
12
2
)
2
0
2
2
=
+
=
+
y
y
x
ye
x
x
)
4
,
4
(
6
2
)
3
-
=
-
y
x
xy
(
)
1
2
1
)
4
4
=
=
-
y
xy
x
y
y
x
(,)0
Fxy
=
'()
dy
fx
dx
=
(,)
(,)
x
y
Fxy
dy
dxFxy
=-