Método Doble Integración en Vigas Sap2000

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∆𝑉𝐵 = ?
𝜃𝐵 = ?💥
෍ 𝑀𝐴 = 0 −180 𝐾𝑁 3 𝑚 − 60 𝑁 (6 𝑚. ) + 𝐶𝑦 (9 𝑚) = 0
Ax = 0෍ 𝐹𝑥 = 0
Ecuaciones del Equilibrio
෍ 𝐹𝑦 = 0 100 + 𝐴𝑦 − 180 𝐾𝑁 − 60 𝐾𝑁 = 0
Diagrama de Cuerpo Libre
30
𝐾𝑁
𝑚
∗ 6 𝑚 = 180 𝐾𝑁
Ax
Cortes
Corte 1 - 1
1 2
෍ 𝑀1 = 0
𝑀1 − 140𝑥 + 30𝑥
𝑥
2
= 0 𝑀1 = 140𝑥 − 15𝑥2 
0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚. .
෍ 𝑀2 = 0
𝑀2 + 60 ∗ (𝑥 − 6) + 180 ∗ (3 + 𝑥 − 6) − 140𝑥) = 0
𝑀2 = −100𝑥 + 900 6 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚.
Corte 2 - 2
Método de Doble Integración
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
𝐸𝐼 𝑦" = 𝑀(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 140𝑥 − 15𝑥²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 140 ∗
𝑥2
2
− 15
𝑥3
3
+ 𝐶1
න
𝑋(𝑛+1)
𝑛 + 1
𝑑𝑥
න𝑓 𝑥 + 𝐶
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝜃
𝑦 = ∆
Tramo 2 6 𝑚. ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚.
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= − 100𝑥 + 900
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −100
𝑥2
2
+ 900𝑥 + 𝐶3
y = −100 ∗
𝑥3
6
+ 900 ∗
𝑥2
2
+ 𝐶3𝑥 + 𝐶4
Curso: Análisis Estructural Tema: Doble IntegraciónFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902188071
Determine la pendiente y la deflexión en “B” en la viga de 30x40 cm, E = 21*10^6 KN/m² aplique el método de doble integración.
𝐶𝑦𝐴𝑦
3 𝑚.
21
𝐶𝑦 = 100 𝐾𝑁
𝐴𝑦 = 140 𝐾𝑁
30𝑥
𝑥
2
180
𝑀2 + 60𝑥 − 360 + 180𝑥 − 540) − 140𝑥) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 140 ∗
𝑥3
6
− 15
𝑥4
12
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Para este método, es obligatorio que cuando realices los cortes en 
cada tramo se tiene que considerar [x] todo el tramo analizado, 
ya que la ecuación que nos dé como resultado tiene que tener esa 
continuidad, para aplicarlo en la ecu. De compatibilidad. 
3
Condiciones de Frontera 
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 140 ∗
𝑥2
2
− 15
𝑥3
3
+ 𝐶1
Tramo 2 6 𝑚. ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −100
𝑥2
2
+ 900𝑥 + 𝐶3 y = −100 ∗
𝑥3
6
+ 900 ∗
𝑥2
2
+ 𝐶3𝑥 + 𝐶4
Curso: Análisis Estructural Tema: Doble IntegraciónFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902188071
𝑦 = 140 ∗
𝑥3
6
− 15
𝑥4
12
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Ecuación de la Curva Elástica
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
0 = 140 ∗
0 3
6
− 15
(0)4
12
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝑥 = 0 𝑚. ; ∴ 𝑦 = 0
0 = 𝐶2 
Condiciones de Continuidad
𝑥 = 6 𝑚. ∴ 𝜃1 = 𝜃2; 𝑦1 = 𝑦2
140 ∗
6 2
2
− 15
6 3
3
+ 𝐶1 = −100
6 2
2
+ 900(6) + 𝐶3
𝐶1 − 𝐶3 = 2160 … (1)
140 ∗
6 3
6
− 15
6 4
12
+ 𝐶1 6 + 𝐶2 = −100 ∗
6 3
6
+ 900 ∗
6 2
2
+ 𝐶3(6) + 𝐶4
𝜃1 = 𝜃2
𝑦1 = 𝑦2
𝐶1 − 𝐶3 ∗ 6 = 9180 + 𝐶4
2160 ∗ 6 = 9180 + 𝐶4
3780 = 𝐶4 
Condiciones de Frontera 
Tramo 2 6 ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚. 𝑥 = 9 𝑚. ; ∴ 𝑦 = 0
− 3120 = 𝐶3 0 = −100 ∗
9 3
6
+ 900 ∗
9 2
2
+ 𝐶3 9 + 3780
Reemplazo en ecu. (1)
𝐶1 − (−3120) = 2160 −960 = 𝐶1 
Resumen de los Cortes y sus ecuaciones de pendiente y deflexión 
Determine la pendiente y la deflexión en “B” en la viga de 30x40 cm, E = 21*10^6 KN/m² aplique el método de doble integración.
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 140 ∗
𝑥2
2
− 15
𝑥3
3
− 960
Tramo 2 6 𝑚. ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 100
𝑥2
2
+ 900𝑥 − 3120
y = −100 ∗
𝑥3
6
− 900 ∗
𝑥2
2
− 3120𝑥 + 3780
𝑦 = 140 ∗
𝑥3
6
− 15
𝑥4
12
− 960𝑥
Cálculo de la Inercia de la Sección 
𝐼𝑥 =
𝑏 ∗ ℎ3
12
𝐼𝑥 =
0.30 𝑚 ∗ 0.403 𝑚3
12
𝐼𝑥 = 0.0016 𝑚4 
Curso: Análisis Estructural Tema: Doble IntegraciónFísica con JoseAsesorías al Wsp: +51 902188071
Ecuación de la Curva Elástica 
Determine la pendiente y la deflexión en “B” en la viga de 30x40 cm, E = 21*10^6 KN/m² aplique el método de doble integración.
Determinando la Pendiente y Deflexión en el punto “B”
𝐸𝐼 ∗ 𝜃𝐵 = 140 ∗
6 2
2
− 15
6 3
3
− 960
𝐸𝐼 ∗ 𝑦𝐵 = 140 ∗
6 3
6
− 15
6 4
12
− 960(6)
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
𝜃𝐵 =
480 
21 ∗ 106
𝐾𝑁
𝑚2
∗ 0.0016 𝑚4
𝑦𝐵 = −
2340 
21 ∗ 106
𝐾𝑁
𝑚2
∗ 0.0016 𝑚4
𝐼𝑥 = 0.0016 𝑚4
Inercia de la Sección 
Resumen de la los Resultados Obtenidos
𝐸𝐼 𝑦" = 𝑀(𝑥)
𝜃𝐵 = 0. 1429 𝑟𝑎𝑑.
𝑦𝐵 = 0.0696 𝑚. 
Tramo 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 140 ∗
𝑥2
2
− 15
𝑥3
3
− 960
Tramo 2 6 𝑚. ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑚.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 100
𝑥2
2
+ 900𝑥 − 3120
y = −100 ∗
𝑥3
6
− 900 ∗
𝑥2
2
− 3120𝑥 + 3780
𝑦 = 140 ∗
𝑥3
6
− 15
𝑥4
12
− 960𝑥
Modelamiento en Sap2000
Comprobación de respuesta con el programa Sap2000
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4