T1-OPER_1-UG-Arevalo

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FACULTAD DE INGENIERÍA 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; 
teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
TAREA CALIFICADA T1 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1 
 
 
Indicaciones: 
✓ La entrega se hará por aula virtual según las indicaciones del docente. 
 
Instrucciones. – A continuación, se presentarán una serie de problemas en los que es necesario plantear el modelo matemático de 
Programación Lineal y resolverlo, considerando: La definición del problema, naturaleza de la función objetivo (Min o Max), la 
definición de variables, el sistema de restricciones (no olvidar las restricciones de no negatividad y las condiciones especiales 
cuando se trata de variables enteras) y la función objetivo. A continuación, se debe dar solución de acuerdo con las indicaciones 
de cada problema. 
 
1. En su proceso de producción, una pequeña empresa que elabora diversos productos químicos utiliza 3 
materiales para elaborar 2 productos, un aditivo y un disolvente. El aditivo se vende a empresas petroleras y 
se emplea en la producción de Diesel y otros combustibles similares. El disolvente se vende a empresas 
químicas para elaborar productos de limpieza industrial y para el hogar. Para formar el aditivo y el disolvente 
se mezclan las tres materias primas en forma específica. Una tonelada de aditivo se obtiene mezclando 3/7 de 
1 000 kg de la materia prima 1 y 4/7 de 1 000 kg de la materia prima 3; una tonelada de disolvente se logra con 
la mezcla de 1/4 de 1 000 kg de la materia prima 1, 2/5 de 1 000 kg de la materia prima 2 y 7/20 de 1 000 kg 
de la materia prima 3. Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima 
que no se use para la producción actual debe desecharse. La utilidad asciende a $4000 por cada tonelada de 
aditivo y a $3000 por cada tonelada de disolvente. Después de un análisis de la demanda potencial, la 
administración de la empresa ha concluido que cuenta con las siguientes cantidades de materia prima: materia 
prima 1 = 20 000 kg, materia prima 2 = 5000 kg y materia prima 3 = 21 000 kg. Plantee y solucione el problema 
de programación lineal según las siguientes instrucciones: Hallar la solución gráfica usando Geogebra y la 
solución por software usando LINDO, interpretar la solución obtenida en lindo (valores de las variables, valor 
de la función objetivo, reduced cost si es diferente de cero, slack or surplus y dual prices si son diferentes de 
cero) 
 
Materia Prima Cantidades 
disponibles para la 
producción 
Materia prima 1 20 000 kg 
Materia prima 2 5 000 kg 
Materia prima 3 21 000 kg 
 
 
Solución: 
 
PRODUCTO M.PRIMA 1 M.PRIMA 2 M.PRIMA 3 
ADICTIVO 3/7 0 4/7 
DISOLVENTE 1/4 2/5 7/20 
 
X1=1000Kg de adictivo que se producirán 
X2=1000Kg de disolvente que se producirán 
 
Función objetivo: Zmax =4000X1 + 3000X2 
 
Esta expresión significa que va ganar $4000 por tonelada de adictivo y $3000 por tonelada de 
disolvente. 
Propósito de la empresa: Maximizar las utilidades. 
 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
Restricciones: 
 
 M. Prima 1 => 
3
7
𝑋1 + 
1
4
𝑋2 ≤ 20000 => 428.57X1 + 250X2 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 
 
 M. Prima 2 => 
2
5
𝑋2 ≤ 5000 => 400X2 ≤ 𝟓𝟎𝟎𝟎 
 
 M. Prima 3 => 
4
7
𝑋1 + 
7
20
𝑋2 ≤ 21000 => 571.43X1 + 350X2 ≤ 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 
 
 X1; X2 ≥ 0 
 
 
Geógebra (Descripción gráfica) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para maximizar los ingresos se deben fabricar 29.09 toneladas de aditivos y 12.5 toneladas de 
disolvente, para obtener una ganancia máxima de $153875. 
 
 
 
Interpretación de Datos 
en Lindo: 
Valores de las variables: 
X1= 29.093678 
X2=12.500000 
 
Función objetivo: 
Zmax=4000X1+3000X2 
(Maximizar la utilidad) 
Zmax=4000(29.093678)+30
00(12.500000) 
Zmax=153874.7 
 
Reduced cost: 
Los reduced cost son 0 
porque las variables son 
básicas, (es decir diferente 
de 0). 
 
Dual prices: 
Hay valores diferentes de 0 
en M. Prima 2 y 3 porque se 
usa todo el recurso 
disponible, asimismo su 
slack or surplus es 0. 
 
Slack or surplus: 
Ese 4406.32 en el M. Prima 
1 es la diferencia que existe 
el valor del lado izquierdo de 
la restricción del M. Prima 1 
y el valor del lado derecho. 
(Quiere decir que el valor del 
lado izquierdo respecto al 
derecho distan entre 
4406.32 unidades). 
 
El punto C da mayor valor a 
la función objetivo 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
 
2. En un terreno de 100 hectáreas se puede cultivar arroz y frijoles. En un año bueno, la ganancia por hectárea 
de arroz es s/. 750 y la de frijoles s/. 500; en cambio, en un año malo, las ganancias son de s/. 210 y s/. 360, 
respectivamente. Como regla general se dedica a cada cultivo no más de 4/5 de hectárea del terreno. Se desea 
saber cómo distribuir los cultivos de cada producto con la finalidad de obtener la mejor ganancia posible en un 
buen año; además, se espera que la ganancia en un año malo sea al menos de S/. 30 000. Elabore un PL para 
esta situación. Hallar la solución gráfica usando Geogebra (interpretar) y usar LINDO para la solución por 
software, interpretar la solución obtenida en LINDO (valores de las variables, valor de la función objetivo, 
reduced cost si es diferente de cero, slack or surplus, dual prices si son diferentes de cero) 
 
Solución: 
 
Producción de arroz y frijoles 
 
X1: cantidad de hectáreas de arroz 
X2: cantidad de hectáreas de frijoles 
 
Restricciones: 
 
 0.8X1<100 
 0.8X2<100 
 210X1+360X2<30000 
 X1 ; X2 > 0 
 
Función Objetiva: Zmax=750X1+500X2 
 
Geograbra: Representación Grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando los puntos en la función objetivo: Zmax=750X1+500X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deducimos, que cultivando 125 hectáreas de arroz y 10 hectáreas de frijoles obtenemos una ganancia 
de S/.98,958.33 nuevos soles, en un año bueno. 
 
A=(0,0) 
 
Zmax=750(0)+500(0) S/.0 
B=(0,83.3333) 
 
Zmax=750(0)+500(83.3333) S/.41,655.00 
C=(125,10.41667) 
 
Zmax=750(125)+500(10.41667) S/.98,958.34 
D=(125,0) 
 
Zmax=750(125)+500(0) S/.93,750 
Interpretación: 
Se intercepta en los 
puntos 
 A=(0,0) 
 B=(0,83.3333) 
 C=(125,10.41667) 
 D=(125,0) 
 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
 
 
Lindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Hi-V produce tres tipos de jugos enlatados, A, B y C, utilizando fresas, uvas y manzanas frescas. El abasto 
diario se limita a 200 toneladas de fresas, 100 toneladas de uvas y 150 toneladas de manzanas. El costo por 
tonelada de fresas,uvas y manzanas es de $200, $100 y $90, respectivamente. Cada tonelada rinde 1500 lb 
de jugo de fresa, 1200 lb de jugo de uva, y 1000 lb de jugo de manzana. La bebida A es una mezcla de 1:1 de 
jugo de fresa y jugo de manzana. La bebida B es una mezcla de 1:1:2 de jugo de fresa, jugo de uva y jugo de 
manzana. La bebida C es una mezcla de 2:3 de jugo de uva y jugo de manzana. Todas las bebidas se envasan 
en latas de 16 oz. (1 lb). El precio por lata es de $1.15, $1.25 y $1.20 de las bebidas A, B y C. Desarrolle un 
modelo de PL para determinar la mezcla de producción óptima de las tres bebidas. Usar LINDO para la solución 
e interpretar esa solución (valores de las variables, valor de la función objetivo, reduced cost si es diferente de 
cero, slack or surplus, dual prices si son diferentes de cero). 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretación de Datos 
en Lindo: 
Valores de las variables: 
X1= 125.00 
X2= 10.416667 
Función objetivo: 
Zmax= 750X1+500X2 
(Maximizar) 
Zmax=750(125)+500(10.4166
67) 
Zmax=98958.34 
Reduced cost: 
Los reduced cost son 0 
porque las variables son 
básicas, (es decir diferente 
de 0). 
Dual prices: 
Hay valores diferentes de 0 
porque se usa todo el 
recurso disponible, 
asimismo su slack or surplus 
es 0. 
Slack or surplus: 
Ese 91.66 es la diferencia 
que existe el valor del lado 
izquierdo de la restricción y 
el valor del lado derecho. 
(Quiere decir que el valor del 
lado izquierdo respecto al 
derecho distan entre 91.66 
unidades). 
 
 Cada tonelada de fresa  1500libras 
Me limito a 200 toneladas  200*1500 = 300000lb 
 
 Cada tonelada de uva  1200libras 
Me limito a 100 toneladas  100*1200 = 120000lb 
 
 Cada tonelada de manzana  1000libras 
Me limito a 150 toneladas  150*1000 = 300000lb 
 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
Variables: 
 
 X1= Numero de libras de lata de jugo de fresa 
 X2= Numero de libras de lata de jugo de uva 
 X3= Numero de libras de lata de jugo de manzana 
 
 
 
 
Función objetivo: Zmax = 1.038X1 + 1.1517X2 + 1.116X3 
 
 
 Restricciones: 
 
 0.5X1 + 0.25X2 ≤ 300000 
 
 0.25X2 + 0.4x3 ≤ 120000 
 
 0.5X1 + 0.5X2 + 0.6X3 ≤ 150000 
 
Proporciones: 
 
 Fresa Uva Manzana 1Lata = 1Lb 
A 1=0.5Lb / lata A 1=0.5Lb / lata A 1Lb 
B 1=0.25Lb de 
una lata de 
fresa 
1=0.25Lb / lata 
B 
2=0.5Lb / lata B 1Lb 
c 2=0.4Lb / lata C 3=0.6Lb / lata C 1Lb 
TOTAL 300000Lb 120000Lb 150000Lb 
 
 
Lindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
4. Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de energía de turbina de vapor. Como en Wyoming 
abundan los depósitos de carbón, la planta genera su vapor con carbón. Esto, sin embargo, puede conducir a 
emisiones que no satisfagan las normas de la Agencia de Protección Ambiental (EPA, por sus siglas en inglés). 
Las normas de la. Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de bióxido de azufre a 2000 partes por 
millón por tonelada de carbón quemado, y la descarga de humo por las chimeneas de la planta a 20 lb por hora. 
La Coop recibe dos tipos de carbón pulverizado, C1 y C2, para usarlos en la planta de vapor. Los dos tipos se 
suelen mezclar antes de la combustión. Los datos de la tabla se basan en el consumo de 1 tonelada por hora 
de cada uno de los dos tipos de carbón. Es necesario formular un PL para determinar la proporción óptima para 
mezclar los dos tipos de carbón. Usar LINDO para la solución, interpretar la solución obtenida en lindo (valores 
de las variables, valor de la función objetivo, reduced cost si es diferente de cero, slack or surplus, dual prices 
si son diferentes de cero) 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
X1= Cantidad de carbón C1 (en toneladas) que debe contener la mezcla. 
X2= Cantidad de carbón C2 (en toneladas) que debe contener la mezcla. 
 
Función objetivo: Zmax =12.000X1 + 9.000X2 
 
Restricciones: 
 
1.800X1 + 2.100X2 ≤ 2.000 (X1+X2) 
 
 
 -200X1 + 100X2 ≤ 0 
 
La descarga de humo de las chimeneas de la planta está limitada a 20 lb por hora. 
 
 2.10X1 + 0.90X2 ≤ 20 
 
 X1, X2 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El punto óptimo (donde Z 
alcanza el máximo valor) es la 
intersección de las rectas (ec1) 
(ec2) representado por el par 
ordenado (5.1282; 10.256) 
Lo que significa que para maximizar el 
vapor generado se deben mezclar 5.13 
toneladas de carbón grado C1 y 10.26 
toneladas de cabrón C2. 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales, continuas y finales” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La máxima generación de vapor se calcula sustituyendo estos 
valores en la función objetivo 
 
Zmax= 12.000(5.1282) + 9.000(10.256) 
Zmax= 153.846 libras de vapor. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Una refinería fabrica dos tipos de combustible para avión, F1 y F2, mezclando cuatro tipos de gasolina, A, B, C 
y D. El combustible F1 incluye las gasolinas A, B, C y D en la proporción 1:1:2:4, y el combustible F2 incluye la 
proporción 2:2:1:3. Los límites de abasto de A, B, C y D son 1000, 1200, 900 y 1500 barriles/día, 
respectivamente. Los costos por barril de las gasolinas A, B, C y D son $120, $90, $100 y $150, 
respectivamente. Las combustibles F1 y F2 se venden a $200 y $250 por barril, respectivamente. La demanda 
mínima de F1 y F2 es de 200 y 400 barriles/día, respectivamente. Desarrolle un modelo de PL para determinar 
la mezcla de producción óptima de F1 y F2. Usar LINDO para la solución, interpretar la solución obtenida en 
lindo (valores de las variables, valor de la función objetivo, reduced cost si es diferente de cero, slack or surplus, 
dual prices si son diferentes de cero). 
 
Solución: 
 
X1= Numero de barriles por días de F1 
X2= Numero de barriles por días de F2 
 
Función Objetivo: Zmax = 200X1 - 120(
1
8
𝑋1 +
2
8
X2) – 90(
1
8
𝑋1 +
2
8
X2) – 100(
2
8
𝑋1 +
1
8
X2) - 150(
4
8
𝑋1 +
3
8
X2) 
 
 Zmax = 73.75X1 + 128.75X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1 F2 Barril / Dia 
A 1/8 2/8 1000 
B 1/8 2/8 1200 
C 2/8 1/8 900 
D 4/8 3/8 1500 
Interpretación de 
Datos en Lindo: 
Valores de las variables: 
X1= 5.1282 
X2=10.256 
 
Función objetivo: 
Zmax=12.000X1+9.000X2 
(Maximizar) 
Zmax=12.000(5.1282)+9.0
00(10.256) 
Zmax=153.8462 
Reduced cost: 
Los reduced cost son 0 
porque las variables son 
básicas, (es decir diferente 
de 0). 
 
Dual prices: 
Hay valores diferentes de 0 
en C1 y C2 porque se usa 
todo el recurso disponible, 
asimismo su slack or surplus 
es 0, lo que representa que 
ambos son limitantes. 
 
 
Deberes y derechos del estudiante (Aprobado por R.R. N° 049-2016-UPN-SAC del 28/06/2016) “Art. 50°. d) Una vez recibida la nota, el estudiante puede 
presentar reclamo sobre el resultado de sus evaluaciones; teniendo un plazo de 72 horas luego de la fecha establecida para que el docente ingrese la 
calificación al sistema, para el caso de evaluaciones parciales,continuas y finales” 
 
 
 
 Restricciones: 
 
De abasto: 
 
 
1
8
𝑋1 +
2
8
X2 ≤ 1000 
 
 
1
8
𝑋1 +
2
8
X2 ≤ 1200 
 
 
2
8
𝑋1 +
1
8
X2 ≤ 900 
 
 
4
8
𝑋1 +
3
8
X2 ≤ 1500 
 
Demanda: 
 
 X1 ≥ 200 
 X2 ≥ 400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretación de Datos en Lindo: 
Valores de las variables: 
X1= 200 
X2=3733.33 
 
Función objetivo: 
Zmax= 73.75X1 + 128.75X2 
(Maximizar) 
Zmax=73.75 (200) + 128.75 (3733.33) 
Zmax= 495416.7. 
 
Reduced cost: 
Los reduced cost son 0 porque las variables 
son básicas, (es decir diferente de 0). 
 
 
Dual prices: 
Hay valores diferentes de 0 en el punto D 
de la restricciones de abasto y en las 
restricciones de demanda minima 
menores a 200 porque se usa todo el 
recurso disponible, asimismo su slack or 
surplus es 0 
 
Slack or surplus 
Es la diferencia que existe el valor del 
lado izquierdo de la restricción y el valor 
del lado derecho. 
Ejm: 
El valor del lado izquierdo respecto al 
derecho dista entre 41.666 unidades 
según mi grafico en lindo.