SINTITUL-8

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TRILCE
83
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UNA VARIABLE8
* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para
todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
* CLASIFICACIÓN:
I. I. T. RECÍPROCAS:





 





 

Z n ; 
2
n R x ; 
Tanx
1Cotx1TanxCotx
Z n ; 
2
1)(2nR x ; 
Cosx
1Secx1CosxSecx
}Z n ; {n R x ; 
Senx
1Cscx1SenxCscx
II. I. T. POR DIVISIÓN:





  Zn ; 
2
)1n2(Rx ; 
Cosx
SenxTanx }Zn ; n{Rx ; 
Senx
CosxCotx 
III. I. T. PITÁGORAS:


















 







1xCscxCot
1xCotxscC
Zn ; nRx ; 1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn ; 
2
1)(2nRx ; 1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx ; 1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
Trigonometría
84
IV. I. T. AUXILIARES:
Zn ; nRx ; 
m
1CotxCscxmCotxCscx 
:Si
Zn ; 
2
)1n2(Rx ; 
n
1TanxSecxnTanxSecx 
:Si
c
bosxC 
c
anxSe 
:Entonces
bac cbCosxnxaSe 
:Si
Rx ; Senx)(1 Cosx)2(1)CosxSenx1(
Rx ; xxCosSen31xCosxSen
Rx ; xxCosSen21xCosxSen
Zn ; 
2
nR x ; xxCscSecxCscxSec
Zn ; 
2
nR x ; SecxCscxCotxTanx
22
2
2266
2244
2222






 










 





 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
TRILCE
85
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx)
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
02. Simplificar: 
Ctgx
Tgx
Secx
Cosx
Cscx
SenxE 
a) 1 b) xSec2 c) xCsc2
d) Secx e) Cscx
03. Simplificar: 
Cosx.Senx
1)CosxSenx(E
2 
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 0
04. Determinar "k" en: k
2
Senx1
Cosx
Senx1
Cosx 



a) xCos2 b) SenxCosx c) Senx
d) Cosx e) x2Sen
05. Reducir: Senx)]Tgx1(Ctgx)1Ctgx(Tgx[E 
a) 1 b) Ctgx c) Cosx
d) Tgx e) Secx
06. Simplificar: 
Cosx1
1
Cosx1
1E




a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx
d) xSec2 2 e) xCsc2 2
07. Simplificar: Tgx
TgxSecx
1E 


a) Secx b) Cosx c) Cscx
d) Ctgx e) 2Tgx
08. Simplificar: )ICx(
Senx
SenxSenxCosx21E 
a) Senx b) Cosx c) 1
d) Tgx e) Ctgx
09. Reducir: 
Senx
CtgxCscx.SecxE 
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
10. Simplificar: 
1CosxSen
1xCosxSenE
66
44


a) 5/3 b) -1 c) 2/3
d) 3/4 e) 1/3
11. Reducir: )xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644 
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n
a) 1nm 22  b) 5nm 22 
c) 3nm 22  d) 7nm 22 
e) N.A.
13. Si: Senx+Cosx = m
Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
a) 
2
m1 2
b) 
2
m1 2
c) 
2
)m1( 2
d) 
2
)m1( 2
e) 1+m
14. Si: Tgx+Ctgx = 3
Calcular: E = Secx+Cscx
a) 3 b) 9 c) 11
d) 15 e) 17
15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
16. Determinar "x" para que la igualdad:
x
1
Cot
1
Tan
1
Cos
1
222






Sea una identidad
a) 2Sen b) 2Cos c) 2Tan
d) Secx e) Cscx
17. Reducir: TgxSenx1
CosxE 


a) Senx b) Cscx c) Secx
d) Tgx e) Ctgx
Trigonometría
86
18. Si la igualdad es una identidad
Calcular: M+N
xCtg4M
CtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx N




a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19. Hallar A en la siguiente identidad:
1Cscx
A
Senx1
Senx1




a) xSen2 b) xCos2 c) xTg2
d) xCtg2 e) xSec2
20. Eliminar "x" a partir de:
Tgx + Ctgx = a
Tgx - Ctgx = b
a) 3ba 22  b) 3ba 22 
c) 4ba 22  d) 4ba 22 
e) 8ba 22 
21. Si:
6
7CosxSenx 
Calcular :
C = Senx Cosx
a) 7
1
b) 6
1
c) 14
1
d) 12
1
e) 9
1
22. Si: 23CotxTanx 
Calcular:
xCscxSecC 22 
a) 9 b) 12 c) 16
d) 18 e) 36
23. Simplificar: SenxCosxCotx
CosxSenxTanxC


a) 1 b) Tanx c) Cotx
d) xTan2 e) xCot2
24. Reducir:
CosxSenx
xCosxSenC
44


a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx
25. Simplificar:
xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242 
a) 1 b) xxCosSen 22
c) xSen2 d) xCos2
e) 2
26. Simplificar:
C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)
a) 1 b) xTan2 c) xCot2
d) SenxCosx e) Secx Cscx
27. Si: 
9
7xCosxSen 44 
Calcular: xCosxSenC 66 
a) 3
1
b) 3
2
c) 9
1
d) 9
2
e) 9
4
28. Eliminar "x" de:
Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n
a) 2)1m(n 2  b) 2)1n(m 2 
c) 1)1m(n 2  d) 4)1m(n 22 
e) 2)1m(n 22 
29. Demostrar las siguientes igualdades:
1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx
1.2 SenxCosx2xTanxCosxCotxSen 22 
1.3 )1xCsc()xSen1)(1xSec( 222 
1)xCos1( 2 
1.4 1
1Cotx
CosxSenx
1Tanx
CosxSenx 22 














1.5 Cotx
xCosCosx
xSenSenx
3
3



30. Reducir: 3
SenxCscx
CosxSecxW


a) 2
Cotx
b) Secx c) Cscx
d) Tanx e) Senx
31. Si: 
2
1aCosaSen 22 
Entonces : Tana + Cota es:
a) 3
10
b) 
3
34
c) 102
13
TRILCE
87
d) 
4
33
e) 
13
102
32. Si:
)Cosx1)(Senx1(A)CosxSenx1( 2 
Calcular: "A"
a) 1 b) 2 c)  1
d)  2 e) 4
33. Hallar el valor numérico de la expresión:
T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1)
(Cos35º + Cos55º - 1)
a) 1 b) 2 c)  2
d) 2 e) 2
34. Si: 
2
5CscaSena 
Calcular : E = Cota + Cosa
a) 33 b) 32 c) 2
33
d) 
3
32
e) 
3
3
35. Si:  Cos
4
Sen
Entonces el valor de:










CotTan
21Tan , es :
a)  1 b) 1 c) 3
d) 3 e) 
3
3
36. Calcular:
BSenACos 22 
Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios
a)  1 b) 2
1 c) 0
d) 2
1
e) 1
37. Si: xCscxSec)xCotxTan( f 4422 
Calcular: f (2) + f (3)
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
38. Si: 7xCscxSec 22 
Calcular:
)xCotxCsc)(xTanxSec(C 2222 
a) 13 b) 14 c) 22
d) 16 e) 15
39. Si: 
2
1
CosSen
Cos21 2 


Entonces el valor de:
 CosSenE , es:
a) 4
1
b) 8
1
c) 8
3
d) 4
3
e) 2
1
40. Reducir:
)CotxTanx)(1xCosxSen(C 66 
a) SenxCosx b) 3SenxCosx
c) - 3SenxCosx d) - 3
e) 3
41. Si: Tanx + Cotx = 2 y
CotxTanx
xnCotxnTan
xnCotxnTan
nn xCotxTanE





Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de 2E es :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
42. Si: Senx  Cosy = 0,5
Hallar : CosyyCosxCosP 22 
a) 4
5
b) 4
3
c) 2
1
d) 2
3
e) 4
1
43. Calcular: Tan
Si: ba ; 
ba
abbSenaCos 44 


a) b
a
b) a
b
c) b
a
d) b
a e) ab
44. Dado:
Secy2Tanx21 
Secx2Tany21 
Calcular: E = Secx + Secy
a) 
2
2
b) 12  c) 
2
23
d) 
3
2
e) 12 
Trigonometría
88
45. El valor de "E" en la identidad:
 SenECosSen 23





 
2
 ; 
2 , es :
a) 2Sen b) 2Cos c)  CosSen
d) Cos e) Sen
46. Hallar el valor de "B" sabiendo que:


CosSen
CosSenTanA
 Cos-SenBSenA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) 5
47. Si: 
m
nTana 
Entonces:
n (2Cosa + Seca) - 2mSena
Es igual a:
a) mCosa b) mSeca c) mn
d) nSeca e) nCosa
48. Si : 2xSecxCosa 222 
Encontrar el valor de:
C = Senx Tanx + 2Cosx
a) 2a2  b) 2a2  c) a
d) a e) a 
49. Si: nTanxxSec2 
Hallar: 
3
33
)CosxSenx(
xCosxSenC


a) 2n
1n


b) 1n
2n


c) 2n
1n


d) 1n
2n


e) 1n
2n


50. Simplificar la expresión:
Senx1
Cosx1
Senx1
Cosx1K



 ; 2
3x 
a) 2 b) Secx2
c) Secx2 d) Cosx2
e) Cosx2
51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación:
1Cscx
1
Senx1
1xQTanP R




Calcular: P . Q . R
a)  6 b) 2 c) 4
d) 8 e) 12
52. Si:
24
 y 
9
7CosSen 44 
Calcular:  CosSenC
a) 3 b) 5 c) 3
3
d) 3
2
e) 
3
3
53. Calcular el mínimo valor de:
xCscxSecE 44 
a) 6 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
54. Hallar: y = Senx Cosx
Si:Tanx - Senx = 1
a) 21 b) 21 c) 21
d) 12  e) 2
55. Sabiendo que  es un ángulo agudo el cual satisface
la ecuación:
5CscCtg 
Determine el valor de la expresión :
 Sen26Tg24
a) 10 b) 20 c) 15
d) 12
5
e) 13
5
56. Siendo: 2CotxTanx 
Calcular:
xxCotCosxTanxSenC 2424 
a) 3
5
b) 3
7
c) 2
d) 3 e) 3
4
57. Siendo: Senx + Cosx = n
Hallar:
1CotxCscx
1CotxCscx
1TanxSecx
1TanxSecxC




a) 1n
2
 b) 1n
2
 c) 1n
2
2 
d) 
1n
2
2 
e) 1n
1

TRILCE
89
58. Siendo: Tanx + Cotx = 3
Calcular:
CosxSenx
xCosxSenS
77


a) 27
13
b) 27
19
c) 27
29
d) 27
25
e) 27
31
59. Siendo:
2CotxTanx
Calcular:
CscxSecx
xCscxSecC
55


a) )65(3  b) )65(6 
c) )63(6  d) )63(3 
e) )63(5 
60. Sabiendo que:
IVCx ; nCosxSenx 
Reducir:
Cosx1
Cosx1
Senx1
Senx1C




a) 1n
1
 b) 1n
1
 c) 1n
2

d) 1n
2
 e) 1n
2
2 
Trigonometría
90
Claves Claves 
b
b
c
d
e
e
a
e
d
c
ba
c
d
e
a
c
d
d
c
d
d
b
d
a
a
b
a
-
d
b
b
b
b
c
e
d
e
c
c
b
b
e
c
e
b
d
e
c
b
c
e
c
d
b
b
b
c
b
d
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.