t10Derivadas -Teoremasmates2

Vista previa del material en texto

(Editorial SM) 
Derivadas. Teoremas 
2º Bachillerato 
Esquema 
Tasa de variación media en un intervalo 
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], 
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: 
f(b) – f(a) 
b – a Tm f[a, b] = 
La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una 
función, en un intervalo, por unidad de variable independiente. 
Pendiente positiva Pendiente negativa 
Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo 
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España 
entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde 
x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número 
de afiliados expresado en millones. 
 
• 
El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 
es: 
 f ( 19 ) – f ( 0 ) 
19 = 0,1241 
• 
Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el 
número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 
personas por año. 
 
 
Tasa de variación instantánea 
 
La tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el límite de las tasas 
de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más 
pequeños: 
 TVI (x) = ti(x) = h
xfhxf
h
)()(lim
0
−+
→
Derivada de una función en un punto 
Si el límite existe y es finito, 
la derivada de f(x) en x=p es 
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite. 
f '(p) = 
h→o
lim 
f(p+h) – f(p)
h 
 
h→olim 
f(p+h) – f(p)
h 
Interpretación geométrica de la derivada 
Al hacer que h → 0, ocurrirá que 
•  p + h tiende (se acerca) a p 
•  Q recorre la curva acercándose a P 
•  La recta secante a la curva se 
convierte en la recta tangente 
•  La inclinación de la recta secante tiende 
a la inclinación de la recta tangente 
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a 
la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p . 
0
( ) ( )lim ( )
h
f p h f p f p
h→
+ −
ʹ=
Ecuación de la recta tangente 
a 
f(a) 
αt
αt
Entonces: 
•  Pendiente de la tangente: mt = f '(a) 
•  Ecuación de la recta tangente: 
t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a) 
t 
Ecuación de la recta que pasa por un 
punto A(a, b) y de pendiente m: 
y – b = m (x – a) 
Ecuación de la recta normal 
Como la tangente y la normal son 
perpendiculares sus pendientes son 
inversas y cambiadas de signo. 
Entonces: 
 
 Pendiente de la tangente: mt = f '(p) 
 Ecuación de la recta tangente: 
y – f(p) = f '(p) (x – a) 
 
Pendiente de la normal: 
mn = –1/f '(p) 
Ecuación de la normal: 
y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a) 
 
Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m: 
y – f(p) = m (x – p) 
Derivadas laterales 
α
a 
β
f '(a+) = tg α > 0 
 f '(a–) = tg β < 0 
Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es 
derivable en el punto a. 
 La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, 
dado por f '(a + ) = 
 
 h
xfhxf
h
)()(lim
*0
−+
+→
 Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y 
 por la izquierda y las derivadas laterales coinciden. 
 La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si 
 
existe, dado por f '(a –) = 
 
 
 
h
xfhxf
h
)()(lim
0
−+
−−→
Teorema 
Una función derivable en un punto es continua en dicho punto. 
( ) ( )( ) ( ) f a h f af a h f a h
h
+ −
+ − = ⋅
( )
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim 
h h
f a h f af a h f a h
h→ →
+ −⎛ ⎞+ − = ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0
( ) ( )lim lim
h h
f a h f a h
h→ →
+ −
= ⋅
( ) 0 0 f aʹ= ⋅ =
0
lim ( ) ( )
h
f a h f a
→
+ = ( ) es continua en f x x a=
( ) es derivable en f x x= a
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto 
f'(0–) = 
h → 0–
lim 
f(a + h) – f(a)
h = h → 0–
lim 
– h
h = –1 
Relación continuidad y derivabilidad 
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. 
y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto 
f'(0+) = 
h → 0+
lim 
f(a + h) – f(a)
h = h → 0+
lim 
h
h = 1 
 
 
 Puesto que las derivadas laterales en 0 son 
diferentes la función no es derivable en dicho 
punto. 
= tgα 
= tg β 
Función derivada 
f '(3) = 
h→0
lim 
f(3 + h) – f(3)
h = 
h→0
lim 
(3 + h)2 – 32
h = 
h→0
lim 
h (h + 6)
 h = 6
•  Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: 
f '(x) = 
h→0
lim 
f(x + h) – f(x)
 h = 
h→0
lim 
(x + h)2 – x2
 h = 
h→0
lim 
h (h + 2x)
 h = 2x
•  Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: 
f '(2) = 
h→0
lim 
f(2 + h) – f(2)
h = 
h→0
lim 
(2 + h)2 – 22
h = 
h→0
lim 
h (h + 4)
 h = 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x 
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a 
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. 
Para obtener la derivada en x 
Consecuencias de la definición de derivada 
•  La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que 
se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada. 
Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x) 
 h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x) 
Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una 
traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las 
tres funciones son paralelas. 
Derivadas de operaciones con funciones 
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real. 
Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x. 
 
• Además se tiene: 
 
(cf)'(x) = cf '(x) 
(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x) 
 
 (f – g) '(x) = f '(x) – g'(x) 
 
(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) 
)(
)(')·()()·(')(
2
'
xg
xgxfxgxfx
g
f −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Demostración de la regla de derivación del cociente 
 
Enunciado: La derivada de un cociente 
 
)(
)()·()()·(
)()()(lim)(·)()(lim
)()(
1lim
)()()()·(lim)()·()()(lim
)()(
1lim
)()(
)()()()(
lim)()(
)()()()(
lim
)(
)(
)(
)(
lim
)()(
lim)(
2
''
000
000
00
00
'
)()·()()·(
xg
xgxfxgxf
h
hxgxgxfxg
h
xfhxf
hxgxg
h
hxgxfxgxf
h
xgxfxghxf
hxgxg
h
hxgxg
hxgxfxghxf
h
hxgxg
hxgxfxghxf
h
xg
xf
hxg
hxf
h
x
g
fhx
g
f
x
g
f
hhh
hhh
hh
hh
xgxfxgxf
−
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
−+
+
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
−+
+
=
=
+
+−+
=
+
+−+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
→→→
→→→
→→
→→
+−
)(
)(')·()()·(')(
'
2 xg
xgxfxgxfx
g
f −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Derivada de una función compuesta: regla de la cadena 
Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota 
por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)). 
La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2 
t2 = (2x–1)2 x 2x–1 = t 
R R 
f 
R 
g 
x (2x–1)2 
h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x) 
Ejemplo: 
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es 
derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es: 
(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a) 
Ejemplo: 
Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒ 
⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2 
Regla de la cadena: Demostración 
[ ]
)('))·(('
)()(lim·
)()(
))(())((lim
)()(lim·
)()(
))(())((lim
·))(())((lim
))(())((lim'))((
0)()(
00
0
0
)()(
)()(
xgxgf
h
xghxg
xghxg
xgfhxgf
h
xghxg
xghxg
xgfhxgf
h
xgfhxgf
h
xgfhxgfxgf
hxghxg
hh
h
h
xghxg
xghxg
=
−+
−+
−+
=
=
−+
−+
−+
=
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −+
=
−+
=
→→+
→→
→
→
−+
−+
Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)es: f ‘(g(x)) · g’(x) 
Derivada de la función inversa 
•  Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, 
denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x. 
•  Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: 
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) 
 
Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer 
cuadrante. 
X
Y
f(x) 
f –1(x) •  (x, f(x)) 
 (f(x), x) 
•  
 
Sea f una función definida en un inter- 
valo abierto D en el que admite fun- 
ción inversa siendo f derivable. Enton- 
ces se tiene que, para todo punto 
x del dominio de f-1 en el que f-1 es deri- 
vable y en el que f '(f – 1 (x)) ≠ 0 la deri- 
vada de f – 1 viene dada por: 
 ))(('
1)()'(
1
1
xff
xf
−
− =
Tabla de derivadas de las funciones elementales 
Función Derivada 
f(x) = sen x f '(x) = cos x 
f(x) = cos x f '(x) = – sen x 
f(x) = tan x f '(x) = 
1 
Cos 2 x 
f(x) = arcsen x f '(x) = 
1 
1 – x 2 
 
f(x) = arccos x f '(x) = 
– 1 
1 – x 2 
f(x) = arctan x f '(x) = 
1 
1 + x 2 
 
 
 
Función 
 
Derivada 
 
f(x) = c (constante) 
 
f '(x) = 0 
 
f(x) = x n 
 
f '(x) = n x n – 1 
f(x) = e x f '(x) = e x 
f(x) = a x (a > 0) f ' (x) = a x ln a 
f(x) = ln x f '(x) = 
1 
x 
f(x) = loga x, (a > 0) f '(x) = 
1 
x ln a 
 
Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano 
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
Sean ( ) y ( ) ln( ).xf x e g x x= =
 
 
 
1
1
2. Derivada función recíproca 
1 ( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
ʹ =
ʹ } ln
1( ) xg x e
ʹ =
Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial 
La derivada de es 
 
 
1
x
ln( )x
Demostración de la derivada de la función seno 
Vamos a calcular la derivada de sen( )x
 
 
 
0
0
Como 
 lim cos cos( )
2
2 lim 1
2
h
h
hx x
hsen
h
→
→
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
0
sen( ) sen( )(sen( )) = lim =
h
x h xx
h→
+ −
ʹ
Usando la definición de derivada: 
0
2 cos sen
2 2lim 
h
h hx
h→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
→→
2
2·
2
coslim
2
2
·
2
cos
lim
00 h
hsen
hxh
hsenhx
hh 
 
La derivada de sen (x) es 
Cos (x) 
Obtención de la derivada de la función arcoseno 
Vamos a calcular la derivada de arcsen( )x
 
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
 
 
 
1
1
2. Derivada función recíproca 
1 ( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
ʹ =
ʹ } 
1( )
cos(arcsen( ))
g x
x
ʹ =
Sean ( ) sen( ) y ( ) arcsen( ).f x x g x x= =
La derivada es: 
 
 
2
1
1 x−
Como: 
( )2 2cos(arcsen ) 1 sen (arcsen ) 1x x x= − = −
Obtención de la derivada de la función arco tangente 
Vamos a calcular la derivada de arctg( )x
 
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
 
 
 
1
1
2. Derivada función recíproca 
1 ( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
ʹ =
ʹ
} 2 1( ) 1 tg (arctg( ))g x xʹ = +
Sean ( ) tg( ) y ( ) arctg( ).f x x g x x= =
La derivada es: 
 
 
2
1
1 x+
Como: 
( )tg arctg x x=
Diferencial de una función 
•  
a 
f(a) 
•  
a + h 
f(a + h) 
h = Δx 
Δx = dx 
Δy = f(a + h) – f(a) 
at f '(a) 
. dx 
El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la 
tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h 
Tangente a la curva en (a, f(a)): 
su pendiente es mt = f '(a) = tg at 
Para valores de h = Δx = dx pequeños 
Δy ≈ f '(a) . Δx 
Por tanto: Δy ≈ dy = f '(a) . dx 
Y para un x cualquiera: 
 
dy = f '(x) . dx 
Una aproximación geométrica al concepto de diferencial 
•  Supongamos un cuadrado de lado x, al que 
incrementamos el lado en una cierta cantidad h. 
Su superficie se incrementará en: 
Δf = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2 
•  Si h es muy pequeño, h2 es mucho más 
pequeño. 
•  Entonces: 
 2xh = 2x dx es el diferencial de la función 
 
 f(x) = x2 y se ve que Δf ≈ 2x dx = f '(x) dx 
 
 El error que se comete al aproximar el 
incremento por la diferencial es h2. 
Máximos y mínimos relativos 
Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un 
intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x 
perteneciente al intervalo. 
•  La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo 
en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos. 
•  La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto 
en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene 
máximo absoluto en su dominio. 
•  La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto 
en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese 
mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el 
punto (1, 3). 
•  La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni 
mínimos en el intervalo (4, 5). 
•  m(3, -1) 1 5 
Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica) 
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o 
mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0 
Si la función es constante 
entonces f '(c) = 0 
Si A es máximo, la tangente 
en x = c es horizontal. Su 
pendiente es 0 
Si A es mínimo, la tangente 
en x = c es horizontal. Su 
pendiente es 0 
f '(c) = 0 
f '(c) = 0 
f '(c) = 0 
Teorema de Rolle. Interpretación geométrica 
Si una función y = f(x) cumple que: 
•  Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. 
•  Es derivable en su interior (a, b). 
•  f(a) = f(b). 
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0. 
Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores 
va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal. 
a 
f(a) 
b 
f(b) 
f '(c) = 0 
= 
c 
a 
f(a) 
b 
f(b) = 
f '(c) = 0 
c a 
f(a) f(b) 
b 
= 
f '(c) = 0 
c 
Teorema de Rolle: Demostración 
•  Demostración: 
•  f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo 
absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M. 
•  ∃ x1 ∈ [a,b] ∍ f(x1)=M. ∃ x2 ∈ [a,b] ∍ f(x2)=m. 
 
•  Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0 
•  Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al 
interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta 
como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2) ≤ f(x) por lo 
que f presenta un mínimo relativo en x2. (1) 
•  f es derivable por hipótesis. (2) 
•  De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos 
relativos f'(x2)=0 como queríamos demostrar 
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es 
derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b). 
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0. 
Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica 
Si una función y = f(x) cumple que: 
•  Es continua [a, b]. 
•  Es derivable (a, b). 
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que: 
 f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) = 
•  Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al 
menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los 
puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). 
•  Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la 
razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en 
dicho punto. 
c 
•  
•  
c' 
Pendiente de AB: 
f(b) – f(a) 
b – a 
f '(c) = f '(c') = 
f(b) – f(a) 
b – a 
c y c' son los puntos 
que verifican el teorema 
ab
afbf
−
− )()(
•  Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R. 
•  g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. 
g es derivable en (a,b) por ser suma de funcionesderivables. 
 
•  Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle 
=> f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a) 
 
•  => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0 
 
•  Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h 
 
 y por tanto: 
Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración 
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b). 
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que 
 f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). 
ab
bfafh
−
−
=
)()(
ab
afbfhcf
−
−
=−=
)()()('
Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x) 
•  1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. 
•  2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). 
•  3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. 
 
 f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a) 
 
 
De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0. 
•  h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k 
 
Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado 
 
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
=
−
−
)()(
)()(
bgag
afbfk
−
−
=
0 (c)g'y g(a)g(b) si 
)('
)('
)()(
)()(
≠≠=
−
−
cg
cf
agbg
afbf
Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en 
(a, b), existe un punto c (a, b) tal que: 
Consecuencias del teorema del 
valor medio 
Sea f (x ) una función continua en [a , b] y 
derivable en (a ,b) , y tal que f ' (c)=0 para todo 
punto c∈[a , b] ; entonces f (x ) es constante en 
[a ,b] . 
 
Sean f (x ) y g( x) dos funciones continuas en [a ,b] 
y derivables en (a ,b) ,y tal que f ' ( x)=g ' ( x) para 
todo punto x∈[a , b] ; entonces, las funciones f (x ) 
y g( x) se diferencian en una constante. 
Consecuencias del teorema del valor medio (II) 
Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es 
constante en dicho intervalo. 
Caracterización de las funciones constantes 
•  f(x) es derivable en (a, b). 
•  f(x) tiene derivada nula en (a, b). 
En consecuencia: f(x) = k en (a, b). 
•  Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos 
de (a, b) en los que es derivable (en c no es 
derivable). 
•  No es constante en (a, b). 
{0 si ( , )0 si ( , )f (x) x a cx c b∈∈ʹ = 
Consecuencias del teorema del valor medio (III) 
Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo 
abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. 
Relación entre funciones con igual derivada 
•  En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. 
•  Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene 
de la otra trasladándola paralelamente al eje OY. 
Regla de L'Hôpital (I) 
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}. 
Una aproximación geométrica al teorema: 
 Indeterminación del tipo 
0 
0 
f(C) 
g(C) = 
CA 
CB ≈ 
CA ' 
CB ' = 
f ' (a ) 
g '(a ) 
 Supongamos que 
x → u 
lim f ( x ) = 
x → u 
lim g ( x ) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u. 
 Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito). 
 
 
 = 
)(
)(lim
xg
xf
ax→ )('
)('lim
xg
xf
ax→
 se verifica que: )(
)(lim
xg
xf
ax→ )('
)('lim
xg
xf
ax→
Regla de L'Hôpital (II) 
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 
∞ 
∞ 
Indeterminación del tipo: 
 Supongamos que 
x → u 
lim f ( x ) = 
x → u 
lim g ( x ) = y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u. 
 Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito). 
 
 
 = 
)(
)(lim
xg
xf
ax→ )('
)('lim
xg
xf
ax→
 se verifica que: )(
)(lim
xg
xf
ax→ )('
)('lim
xg
xf
ax→
∞
Regla de L'Hôpital (III) 
Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 
Supongamos que hemos de calcular: 
x → u 
lim [f ( x ) . g ( x ) ] 
 
 Indeterminación del tipo 0 · ∞ 
 
↓ ↓ 
Salvando indeterminaciones del tipo 0 . • ∞ 
[ ]
 es 
0
0 es 
∞
∞
==
→→→
)(
1
)(lim
)(
1
)(lim)()·(lim
xf
xg
xg
xfxgxf
uxuxux
Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞ 
Regla de L'Hôpital (IV) 
Salvando indeterminaciones del tipo 1∞, ∞0, 00 
Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 
 A = 
x → u 
lim [f ( x ) g ( x ) ] Tomando neperianos: L A = L( 
x → u 
lim [f ( x ) g ( x ) ] ). 
 Supongamos que hemos de calcular: 
x → u 
lim [f ( x ) g ( x ) ] 
 Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ∞ ó ∞ 0 ó 0 0 . 
 De donde: L A = 
x → u 
lim L [f ( x ) g ( x ) ] , por ser la función logaritmo continua 
 Y por las propiedades de los logaritmos L A = 
x → u 
lim [g ( x ) . L f ( x ) ] 
Este límite es indeterminado 0 . ∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor 
 Tendremos: L A = M ⇒ A = e M . 
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I) 
1.– 
x→0
lim 
ex–x–1
x(ex–1) =
x→0
lim 
ex–1
ex–1 + xex = x→0
lim 
ex
2ex + xex =
1
2 
 Indet 
0
0 
L'Hôpital Indet 
0
0 
L'Hôpital 
2.– 
x→0
lim [sen 
x
2 . ctg x] =
Indet 0.∞
x→0
lim 
sen 
x
2
tg x =
 Indet 
0
0 
L'Hôpital 
x→0
lim 
1
2 cos
x
2
1+tg2x = 1
2 
3.– 
x→0
lim 
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤r
4x – 
r
2x(erx + 1) = 
 r > 0 
 Indet ∞ – ∞
x→0
lim 
rerx – r
4xerx + 4x =
 Indet 
0
0 
L'Hôpital 
x→0
lim 
r2erx
4erx + 4xrerx + 4 =
r2
8 
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II) 
4.- 
x→1+
lim x 
1
x-1 =
Indet 1∞
A ⇒ L A = L 
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
x→1+
lim (x 
1
x–1) =
x→1+
lim ⎣⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
L ⎝⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
x 
1
x–1 =
x→1+
lim 
L x
x–1 =
 Indet 
0
0 
L'Hôpital 
 
x→1+
lim 
1/x
1 = 1 
Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e 
5.- 
x→0+
lim ⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞1
sen x 
x
 = A 
Indet ∞ 0
⇒ L A = L 
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
x→0+
lim ⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞1
sen x 
x
 =
x→0+
lim ⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
L ⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞1
sen x 
x
 =
= 
x→0+
lim 
– L sen x
 1/x =
Indet 
∞
∞ L'Hôpital 
x→0+
lim 
ctg x
1/x2 = x→0+
lim 
x2
tg x =
 Indet 
0
0 
L'Hôpital 
x→0+
lim 
2x
1 + tg2x = 0 
Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1 
X
Y
Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo 
[ 
a 
] 
b x 
f(x) 
x+h 
f(x+h) 
h 
Función creciente en [a, b] 
f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 
X
Y
[ 
a 
] 
b x 
f(x) 
Función decreciente en [a, b] 
f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 
f(x+h) 
x+h 
h 
f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0 
Derivadas y curvatura: concavidad 
Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ 
debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava 
X
Y
[ 
a 
] 
b 
α1
α2
x1 x2 
tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2) 
X
Y
[ 
a 
] 
b x1 x2 
α1
α2
Derivadas y curvatura: convexidad 
X
Y
[ 
a 
] 
b x1 x2 
a1 
a2 
X
Y
[ 
a 
] 
b 
a1 
a2 
x1 x2 
tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2) 
Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es 
f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa 
Puntos de inflexión 
X
Y
P(a, f(a)) 
f" < 0 
f" > 0 
f"(a) = 0 
Son los puntos en los que la función cambia de curvatura