unidad 3 TRIGONOMETRÍA

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TRIGONOMETRÍA
Dra. Myriam Nuñez
2
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo 
completo
Ángulo 
llano
Ángulo 
recto
Un 
grado
Un 
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2  /2
3
Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas 
de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3
4
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal
66g 66m 
66s 50
g 133
g 33m 
33s 60
g 233
g 33m 
33s 100
g 166
g 66m 
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’
171º 
53’14”
S. centesimal
155g 
55m 55s 350
g 175g 90g
266g 66m 
66s 25
g 190
g 98m 
59s
Radianes 3
3

4

10
3
6
7
2

3
2
6
5
8
7
18
14
4
7
20
9
3
4
8

5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
Ĉsen
C"B
"B"A
C'B
'B'A
BC
AB
===
Ĉgcot
"B"A
C"A
'B'A
C'A
AB
AC
===
Ĉeccos
"B"A
C"B
'B'A
C'B
AB
BC
===
Ĉcos
C"B
C"A
C'B
C'A
BC
AC
===
Ĉtg
C"A
"B"A
C'A
'B'A
AC
AB
===
Ĉsec
C"A
C"B
C'A
C'B
AC
BC
===
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
C
A”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :
6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) 
DE UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuestocateto
Ĉsen ==
a
b
hipotenusa
adyacentecateto
Ĉcos ==
c
a
opuestocateto
hipotenusa
Ĉeccos ==
b
a
adyacentecateto
hipotenusa
Ĉsec ==
b
c
adyacentecateto
opuestocateto
Ĉtg ==
c
b
opuestocateto
adyacentecateto
Ĉgcot ==
Ĉcos
1
Ĉsec =
Ĉsen
1
Ĉeccos =
Ĉtg
1
Ĉgcot =
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
7
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
a
c
Ĉsen =
a
b
Ĉcos =
Ĉsen
1
a
c
a
a
c
a
Ĉeccos ===
Ĉcos
1
a
b
a
a
b
a
Ĉsec ===
Ĉcos
Ĉsen
a
b
a
c
b
c
Ĉtg ===
Ĉsen
Ĉcos
a
c
a
b
c
b
Ĉgcot ===
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Ĉcos
1
Ĉsec =
Ĉsen
1
Ĉeccos =
Ĉtg
1
Ĉgcot =
Ĉcos
Ĉsen
Ĉtg =
Ĉsen
Ĉcos
Ĉgcot =
8
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES 
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C 
1
a
c
Ĉsen0 =
1
a
b
Ĉcos0 = 1
c
a
Ĉeccos =
1
b
a
Ĉsec =
+=
b
c
Ĉtg0 +=
c
b
Ĉgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son 
menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:
9
R.T. DE LOS ÁNGULOS DE 30º y 60º 
A B
C
Sea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
2
2
2 l
2
l
x =





+
Tª de Pitágoras
4
l
lx
2
22 −=
4
ll4
x
22
2 −=
4
l3
x
2
2 =
4
l3
x
2
=
2
3l
x =
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
10
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l
2
3l
º60sen ===
2
º60cos
1
º60sec ==
3
2
º60sen
1
º60eccos ==
3
3
3
1
º60tg
1
º60gcot ===
2
1
l2
l
l
2
l
º60cos ===
3
2
32
2
1
2
3
º60cos
º60sen
º60tg ====
2
1
l2
l
l
2
l
º30sen ===
2
3
l2
3l
l
2
3l
º30cos ===
3
3
3
1
32
2
2
3
2
1
º30tg ====
2
º30sen
1
º30eccos ==
3
2
º30cos
1
º30sec ==
3
3
33
3
3
º30tg
1
º30gcot ====
R.T. DE LOS ÁNGULOS DE 30º y 60º
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
11
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222 llx +=
Tª de Pitágoras
22 l2x =
2l2x =
2lx =
45º y el ángulo C mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º
12
2
2
2
1
2l
l
º45sen ===
2
2
22
2
2
º45cos
1
º45sec ====
1
1
1
º45tg
1
º45gcot ===
1
l
l
º45tg ==
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º
45º
l
A B
C
l
45º
2l
2
2
2
1
2l
l
º45cos ===
2
2
2
º45sen
1
º45eccos ===
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
13
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados, 
el ángulo C mide −º90
−º90
AB
C
b
a
c
==− cos
a
c
)º90(sen
( ) ==− sen
a
b
º90cos
( ) ==− gcot
b
c
º90tg
( )
( )
=

=
−
=− eccos
sen
1
º90cos
1
º90sec
( )
( )
=

=
−
=− sec
cos
1
º90sen
1
º90eccos
( )
( )
=

=
−
=− tg
gcot
1
º90tg
1
º90gcot
14
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes, 
el ángulo C mide −

2
α
AB
C
b
a
c
−

2
==−

cos
a
c
)
2
(sen
==





−

sen
a
b
2
cos
==





−

gcot
b
c
2
tg
=

=






−

=





−

eccos
sen
1
2
cos
1
2
sec
=

=






−

=





−

sec
cos
1
2
sen
1
2
eccos
=

=






−

=





−

tg
gcot
1
2
tg
1
2
gcot
15
TEOREMA DE PITÁGORAS
α
AB
C
b
a
c
222 acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de 
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b
=+
Expresándolo de otra forma:
1
a
c
a
b
22
=





+





( ) ( ) 1cossen 22 =+O lo que es lo mismo:
1cossen 22 =+
Que normalmente expresaremos 
de la forma:
16
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b
=+
Expresándolo de otra forma:
( ) ( )22 eccosgcot1 =+
=+ 22 sectg1
α
AB
C
b
a
c
222 acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de 
Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b
=+
( ) ( )22 sectg1 =+
=+ 22 eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
17
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
s
e
n
 
cos 
s
e
n
 
s
e
n
 
s
e
n
 
s
e
n
 
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno 
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto 
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el 
ángulo hasta 0º el seno va 
disminuyendo, hasta llegar a ser 0, 
mientras que el coseno va 
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1
radio=1
P(x,y)
O X
Y

18
CIRCUNFERENCIA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de 
coordenadas
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo 
deberá coincidir con el 
semieje positivo de las x, el 
vértice en el origen de 
coordenadas y el otro lado 
donde corresponda
1
19
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN 
ÁNGULO CUALQUIERA
y
1
y
r
'y
radio
ordenada
sen ====
x
1
x
r
'x
radio
abscisa
cos ====
x
y
'x
'y
abscisa
ordenada
tg ===
X
Y
O
a
1
P(x,y)
Q(x’,y’)
r
20
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO 
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO
X
Y
O 1
a
A
s
e
n
 
cos 
s
e
n
 b
cos b
s
e
n
 g
cos g
s
e
n
 d
cos d
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier 
ángulo toma valores mayores o 
iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1 −
1cos1 −-1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
_
_ +
+
21
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
( ) yº180sen −=+ −= sen
( ) xº180cos −=+ −= cos
( )
x
y
º180tg
−
−
=+
x
y
= = tg
( ) −=+ sensen ( ) −=+ coscos ( ) =+ tgtg
22
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UNÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
Las razones trigonométricas de un 
ángulo mayor que una circunferencia 
( a+360ºk, donde k es un número 
entero) son las mismas que las del 
ángulo a
x
y
( )=+2sen sen
( )=+2cos cos
( )=+2tg tg
( ) =+ senº360sen ( ) =+ cosº360cos ( ) =+ tgº360tg
2p+
23
-1
-1
1
X
Y
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
a
A
A’
90º-a
x
y
( ) xº90sen =− = cos
( ) yº90cos =− = sen
( )
y
x
º90tg =− = gcot
y
x
=





−

cos
2
sen =





−

sen
2
cos =





−

gcot
2
tg
24
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES 
TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO
1sen1 −
1cos1 −
1sec 
+− tg +− gcot
1sec −
1eccos 1eccos −
++_ _
SIGNO DEL SENO Y 
DE LA COSECANTE
SIGNO DEL COSENO 
Y DE LA SECANTE
_
_ +
+
+
_
+
_
SIGNO DE LA 
TANGENTE Y 
COTANGENTE
25
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
b +b
P
B


Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. 
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. 
Trazamos MN y BM.
( ) ==b+
OB
BP
sen
=
b+b
=
OB
sencosOBcossenOB
=
+
=
OB
senOAcosAB
( ) b+b=b+ sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el 
triángulo rectángulo OAB.
=
+
OB
ANAM
26
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
b +b
P
B


Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. 
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el 
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. 
Trazamos MN y BM.
( ) =
−
=
−
==b+
OB
BMON
OB
NPON
OB
OP
cos
=
b−b
=
OB
sensenOBcoscosOB
=
−
=
OB
senABcosOA
( ) b−b=b+ sensencoscoscos
27
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
( ) =b−+sen( )=b−sen ( ) ( )=b−+b− sencoscossen
( )=b−+b= sencoscossen
b−b= sencoscossen
( ) =b−+cos( )=b−cos ( ) ( )=b−−b− sensencoscos
( )=b−−b= sensencoscos
b+b= sensencoscos
( )=b−tg
( )
( )
=
b−−
b−+
tgtg1
tgtg( )
( )
=
b−−
b−+
tgtg1
tgtg
( ) =b−+tg
=
b+
b−
=
tgtg1
tgtg
28
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS 
ÁNGULOS
( )=b+sen
( )=b+cos
( )=b+tg
( )=b−sen b−b sencoscossen
( )=b−cos b+b sensencoscos
( )=b−tg
b+
b−
tgtg1
tgtg
b+b sencoscossen
b−b sensencoscos
b−
b+
tgtg1
tgtg
29
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
( )=+sen
( )=+cos
( )=+tg
=2sen =+ sencoscossen
=− sensencoscos
=
−
+
tgtg1
tgtg
 cossen2
=2cos − 22 sencos
=2tg
−

2tg1
tg2
=2sen  cossen2
=2cos −
22 sencos
=2tg
−

2tg1
tg2
30
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
=2cos =− 22 sencos
=tg
=−− 22 sensen1 − 2sen21
=2sen2 − 2cos1
=2sen
2
2cos1 −
2
2cos1 −
=sen
=2cos =−
22 sencos =+−
22 cos1cos 1cos2 2 −
=2cos2 + 2cos1
=2cos
2
2cos1 +
2
2cos1 +
=cos
+
−

2cos1
2cos1
2
cos1
2
sen
−
=

2
cos1
2
cos
+
=

+
−
=

cos1
cos1
2
tg