unidad 8-a Limite Continuidad y Derivada

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Límite-Continuidad y Derivada
Dra. Myriam Nuñez
Límites y sus propiedades
Sea f(x) = x2 – x + 2, investiguemos el comportamiento 
de f para valores cercanos a 2.
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En la siguiente tabla se dan los valores de f(x) para 
valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.
x f(x) x f(x)
1 2,000000 3 8,000000
1,5 2,750000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,95 3,852500 2,05 4,152500
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,995 3,985025 2,005 4,015025
1,999 3,997001 2,001 4,003001
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Vemos que cuando x se acerca a 2, f(x) se acerca a 4 (por
valores mayores ó menores a 2).
Parece que podemos acercar los valores de f(x) a 4 tanto
como deseemos si tomamos una x suficientemente cerca de
2.
Expresamos este hecho al decir: “el límite de la función f(x) =
x2 – x + 2 , cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para
esta expresión es:
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Escribimos,
lím f(x) = L 
 x→a 
y decimos: 
“el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”.
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Límites Laterales
Definición: Escribimos,
lím f(x) = L 
 x→a
-
 
y decimos que :
“el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a,
es igual a L”.
Para analizar el comportamiento en x=2 tuvimos que tomar 
valores cercanos tanto a la izquierda como a la derecha del 
punto, por lo tanto definiremos:
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Análogamente, 
lím f(x) = L 
 x→a
+
 
y decimos que:
“el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a, es igual a 
L”.
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Diremos que existe lím f(x) = L 
 x→a 
si y sólo si
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Propiedades de los límites
Si b y c son números reales, n es un entero positivo y f y g 
son funciones que tienen límite cuando x tiende a c, entonces
son ciertas las siguientes propiedades:
1) lím [bf(x)] = b[lim f(x)] 
 x→ c x→ c 
 
2) lim [f(x)  g(x)] = lím f(x)  lím g(x) 
 x→ c x→ c x→ c 
 
3) lím [f(x)g(x)] = [lím f(x)][lím g(x)] 
 x→ c x→ c x→ c 
 
4) lím f(x)/g(x) = lím f(x) / lím g(x) siempre que lím g(x) ≠ 0 
 x→ c x→ c x→ c x→ c 
 
5) lím [f(x)]n = [lím f(x)]n 
 x→ c x→ c 
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Continuidad
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Excepto en el primer gráfico, las funciones graficadas 
muestran una discontinuidad en un punto debido a que el 
gráfico se “interrumpe en el punto”.
Analicemos en cada uno la causa del salto.
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Continuidad en un punto
Una función f(x) se dice continua en un punto x=a si se 
verifican las siguientes condiciones:
1. f está definida en a; o sea, existe f(a)
2. Existe el límite de f cuando x tiende a a
3. El valor del límite coincide con el valor de f(a), o sea:
)a(f)x(f
ax
lim =
→
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Continuidad en un intervalo abierto
Una función f se dice continua en un intervalo (a;b) si lo es
en todos los puntos de ese intervalo.
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Derivada en un punto.
Definición 
Sea f una función definida en un intervalo abierto (a, b).
Decimos que f es derivable en x0 si existe el límite:
en caso de que exista, se lo llama derivada de f en x0
h
)
0
x(f)h
0
x(f
0h
lim
−+
→
h
)
0
x(f)h
0
x(f
0h
lim)
0
x(f
−+
→
=
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El cociente
recibe el nombre de “cociente incremental”, y mide la
variación relativa de f cuando x pasa de x0 a x0 + h. Ya que la
variación absoluta de f cuando x se incrementa de x0 a x0 + h
está medida por: f(x0 + h) – f(x0).
h
)
0
x(f)h
0
x(f −+
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Ejemplo:
a) Calcular la derivada de f(x) = x2+1 en x0=2
b) Calcular la misma derivada, pero para x0 = -1
Observemos que el “mecanismo” no cambia, sólo los
valores por el cambio en el punto.
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Si en lugar de calcular la derivada en un punto dado lo
hacemos en general en un punto x genérico, obtenemos el
valor de f’(x) para cada x donde esté definida, por lo tanto,
obtenemos la función derivada:
h
)x(f)hx(f
0h
lim)x(f −+
→
=
Esta nueva función f ’ está definida para todos los valores
de x para los cuales existe el límite del cociente incremental
y se llama la derivada de la función original.
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Podemos calcular entonces la función derivada para ciertas
funciones elementales:
p≠ -1
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Propiedades de la función derivada:
1. k’=0, para toda k constante.
2. (kf(x))’=k f’(x) si k constante
3. (f +g)’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
4. (f.g)’ (x) = f’ (x).g (x) + f (x).g’ (x)
5. (f/g)’ (x) = (f’ (x).g (x) - f (x).g’ (x))/g2(x)
para todo x en el cual las funciones sean derivables.
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Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
xe3x)x(f +=
senxx)x(f =
x2
xln
x
)x(f +=
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Regla de la Cadena
Suponga que f es derivable en x y g es derivable en f(x).
Entonces la composición h = gof definida por h(x) = g(f(x))
es derivable en x y su derivada es:
h’(x) = D(g(f(x))) = g’(f(x)).f’(x)
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Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
3x2 )ex()x(f +=
xsen)x(f 5=
2senx)x(f =
2)3x5()x(f +=
xcos3)x(f =
)tgxln()x(f 6=
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
La derivada de f tiene la siguiente interpretación geométrica:
f ’(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
curva y = f(x) en el punto (x, f(x)) .
Por lo tanto, dado un punto x0 donde f(x) es derivable
y= f ’(x0)(x- x0 )+f(x0)
es la ecuación de la recta tangente en el punto (x0, f(x0))
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