Inecuaciones

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Inecuaciones
Inecuaciones de
primer grado en
una variable
Expresiones como: “peso máximo 225 kg”, “velocidad mínima 40 km/h”, “lo esperé
más de 15 minutos” son habituales en la vida cotidiana.
Para traducir al lenguaje matemático cualquiera de estas relaciones se hace uso de
desigualdades.
 peso (p) máximo 225 kg  p 225
 velocidad (v) mínima 40 km/h  v 40
 esperé (e) más de 15 minutos  e > 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben el
nombre de inecuaciones.
En la inecuación p 225, cualquier número que cumpla con las condiciones de la
inecuación será solución de la misma.
 p = 200 es solución de p 225 pues 200 225
 p = 225 también es solución de p 225 pues 225 = 225
 También son soluciones p = 100: p = 55, 5 p = 0.
 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relación de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0)
 En este ejemplo, los números reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)
y menores o iguales que 225, que es la condición inicial de la relación.
Gráficamente, el conjunto solución es el segmento con extremos en 0 y 225.
Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad.
Los círculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 son
solución de la ecuación, esto es pertenecen a su conjunto solución.
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = {x / 0x 225}.
En algunos casos como el del ejemplo, es relativamente fácil, hallar su conjunto
solución.
Pero generalmente para resolver una inecuación es preciso transformarla en otras
equivalentes.
Resolución de
inecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar que:
Las siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad:
 Sumar o restar un número a ambos miembros de la desigualdad.
 Multiplicar (o dividir) por un número mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad:
 Multiplicar (o dividir) por un número menor que cero.
3 > 1 pero 3 (-2) < 1 (-2) ya que – 6 < -2
0 225
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Ejemplos En los siguientes ejemplos, se encuentra en forma analítica y gráfica el conjunto de
soluciones de las inecuaciones propuestas.
Ejemplo 1. Resolver x – 3 > 7
Solución.
x – 3 > 7
x -3 + 3 > 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3.
x > 10
Los números reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayores
que 10.
Gráficamente, las soluciones quedan expresadas así.(el círculo vacío significa que se
excluye el número)
Luego S = {x / x> 10}
Ejemplo 2. Resolver 3.(1-x) -2 – x
Solución.
3.1 –3x -2 - x Distribuyendo
3 –3x -2-x
3 – 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 – 2x -2
-3 + 3 –2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
–2x – 5
(-1/2) (-2x) (-1/2)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por –1/2<0, cambia
el sentido de la desigualdad)
x 5/2
Son solución de la inecuación todos los números reales mayores o iguales
que 5/2:
S = {x / x 5/2}
Gráficamente,
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Ejemplo 3. Un problema
Para dibujar un rectángulo, los lados de un cuadrado se
aumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figura.
Si el perímetro del rectángulo resultante es menor que 39 cm
a) ¿Cuáles son las posibles dimensiones del cuadrado original?
b) Verificar que s =
2
3 es una solución.
c) ¿Qué valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un número entero?
Solución
a) Llamando s al lado del cuadrado, los lados
del rectángulo son:
 s + 5 (uno de los lados del
cuadrado aumentado en 5
cm)
 s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el perímetro del rectángulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuación que expresa que “el perímetro del
rectángulo es menor que 39 cm” es
4s + 14 < 39.
Buscamos sus soluciones:
4s + 14 < 39
4s + 14 – 14 < 39 – 14 Restando 14 a ambos miembros.
4s < 25
4s : 4 < 25 : 4 Dividiendo por 4>0 a ambos miembros se
conserva la desigualdad.
s < 25/4
Luego es solución de la inecuación el conjunto S = {x / x < 25/4}
Pero, se tiene una restricción: la longitud “s” del lado del cuadrado debe ser
mayor que cero. Entonces los “s” que responden al problema deben ser
mayores que 0 y menores que 8, esto es:
0< s < 25/4
b) s =
2
3 pertenece al conjunto solución ya que es 0<
2
3 <
4
25
c) Si la longitud del lado son números enteros, los posibles valores que puede
tomar son 1; 2; 3; 4; 5 ó 6..
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuación son de la forma
x < a x a x > a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solución, mientras
que el paréntesis o punto vacío indica que a no pertenece al conjunto solución.