MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Primer_turno_Tema_3_01_10_2019

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Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 3 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Primer turno – Tema 3 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
ℎ(𝑥) < 3 ↔ |−2𝑥 + 1| < 3 
Por definición |𝑡| < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑡 < 𝑎. 
Entonces 
|−2𝑥 + 1| < 3 
−3 < −2𝑥 + 1 < 3 
restamos 1 a cada uno de los términos de la inecuación 
−4 < −2𝑥 < 2 
dividimos por −2, con lo cual cambia el sentido de las desigualdades 
−4
−2
>
−2𝑥
−2
>
2
−2
 
2 > 𝑥 > −1 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) < 3 son los valores que pertenecen al 
intervalo (−1; 2) 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales ℎ(𝑥) < 3 siendo ℎ(𝑥) = | − 2𝑥 + 1| 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 3 2 
 
 
Solución 
La función cuadrática tiene como raíces a 𝑥1 = −3 y 𝑥2 = 4 (la gráfica de la 
función cruza al eje de las abscisas cuando la variable toma esos valores). 
Podemos expresar la función como 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−3))(𝑥 − 4) = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 
Nos falta hallar el valor de la constante "𝑎" . Para poder encontrar el valor de 
la constante necesitamos conocer un punto por el cual pasa la gráfica de la 
función cuadrática. 
El conjunto imagen es el intervalo [−7; +∞). Esto nos está diciendo que el 
vértice de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 𝑉 =
(𝑥𝑣; −7). 
La abscisa del vértice la hallamos a partir de las raíces: 
𝑥𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
 → 𝑥𝑣 =
−3 + 4
2
=
1
2
 
El vértice es el punto𝑉 = (
1
2
; −7). 
Evaluando en la función 
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) 
−7 = 𝑎 (
1
2
+ 3) (
1
2
− 4) 
−7 = 𝑎 ∙
7
2
∙ (−
7
2
) → 𝑎 =
4
7
 
La función pedida es 
𝑓(𝑥) =
4
7
(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 
Otra manera de expresar la función 𝑓 es a partir de las coordenadas del 
vértice de la parábola: 
𝑓(𝑥) =
4
7
(𝑥 −
1
2
)
2
− 7 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función cuadrática que cruza al eje de las 
abscisas en 𝑥 = −3 y en 𝑥 = 4 y su imagen es el conjunto [−7; +∞) 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 3 3 
 
 
 
 
Solución 
Sacando factor común 𝑥3 tenemos que 
𝑅(𝑥) = (𝑥4 − 𝑥3)(𝑥 + 3) = 𝑥3(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 
Este polinomio se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = −3 y 𝑥 = 1 
Analizamos el signo del polinomio en los intervalos definidos por las raíces: 
(−∞; −3) , (−3; 0) , (0; 1), (1; +∞) 
- en el intervalo (−∞; −3) el signo de𝑅 es negativo ya que 𝑅(−4) = −320 < 0. 
- en el intervalo (−3; 0) el signo de 𝑅 es positivo ya que 𝑅(−2) = 24 > 0. 
- en el intervalo (0; 1) el signo de 𝑅 es negativo ya que 𝑅 (
1
2
) = −
7
32
< 0. 
- en el intervalo (1; +∞) el signo de 𝑅 es positivo ya que 𝑅(2) = 40 > 0. 
 
El conjunto de negatividad del polinomio es: 𝐶− = (−∞; −3) ∪ (0; 1) 
 
 
 
 
 
Solución 
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ: 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dadas las funciones 
ℎ(𝑥) =
𝑥 + 2
2𝑥 − 3
− 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de negatividad del polinomio 𝑅(𝑥) = (𝑥4 − 𝑥3)(𝑥 + 3) 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 3 4 
𝑔(𝑥) = 𝑓 ∘ ℎ(𝑥) = 𝑓(ℎ(𝑥)) = (
𝑥 + 2
2𝑥 − 3
− 1) + 2 =
𝑥 + 2
2𝑥 − 3
+ 1 =
𝑥 + 2 + (2𝑥 − 3)
2𝑥 − 3
=
3𝑥 − 1
2𝑥 − 3
 
𝑔(𝑥) =
3𝑥 − 1
2𝑥 − 3
 
La función 𝑔 está bien definida si el denominador no se anula. Para hallar el 
dominio pedimos que 2𝑥 − 3 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠
3
2
 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {
3
2
} 
Para hallar el conjunto de ceros planteamos 
𝑔(𝑥) = 0 ↔ 
3𝑥 − 1
2𝑥 − 3
= 0 ↔ 3𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 =
1
3
 
Luego, 𝐶0 = {
1
3
}.