RTAS Segundo parcial TURNO2 TEMA 1_24 6 15

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TU2_TE1 
Mat Respuestas 2ºParcial TURNO2 TEMA 1.1ºC.2015 1 
 
MATEMÁTICA 
 
2º PARCIAL 
1º CUAT. 15 
 
 
 
SOBRE: 
 
 
AULA: 
 
Fecha: 23/6/15 
 
Tiempo de duración: 1h 
45min 
 
APELLIDO: 
 
CALIFICACIÓN: 
 
NOMBRES: 
 
 
DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: 
 
 
TELÉFONOS 
 
Part: 
 
Cel: 
 
 
TEMA 1 
 
E-MAIL: 
 
 Firma y aclaración 
 docente 
Consigna: La modalidad de este parcial es de "opción múltiple". Encontrarás los enunciados de 10 
problemas. Después de resolverlos tendrás que marcar con una X la respuesta correcta, en el 
casillero que corresponda. Cada problema tiene una única respuesta correcta. Se anulará la 
respuesta de aquellas preguntas en las que se marquen más de una opción. 
 
1) Los valores de las abscisas de los puntos de la gráfica de la función 
xx
2
1
)x(f 3 −= para los cuales la pendiente de la recta tangente vale 
2
1
son: 
 
 
 2y 2− 2
1
 y 
2
1
− 1 y 0 1 y 1− 2 y 2− 
 
Solución: Hacemos la derivada de xx
2
1
)x(f 3 −= , con lo cual nos queda: 1x3.
2
1
)x(f 2 −=′ , 
Luego buscamos los puntos donde la pendiente de la recta tangente vale ½, igualamos la derivada a 
½: 
2
1
1x3.
2
1
)x(f 2 =−=′ 
Ahora resolvemos la ecuación planteada: 
1
2
1
x3.
2
1 2 += 
Finalmente 1
2
3
2
3
x2 == con lo cual 1-x o 1x luego ,1x2 === 
 
2) 
La función derivada )x(f′ de la función 





−
=
1x
2
ln)x(f
2
 es igual a: 
 
 
 
2
1x2 −
 22 1x
2x




 −
−
 




 − 1x.x 2 1x2
x
−
−
 1
2x
x2
−
−
 
Solución: La derivada de la función 





−
=
1x
2
ln)x(f
2
usando la regla de la cadena nos da: 
1x
x2
1x
x2.20
.
1x
2
1
)x(f
222
2
−
−
=




 −
−
−
=′ 
 
 
 
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3) El costo fijo de una empresa que elabora cierto producto es de $7.500 y el costo 
variable está dado por la expresión 2v xx100)x(C −= . El costo marginal de 
dicha empresa es: 
 
 
7500)x(Cm =
 
x2)x(Cm −=
 
2
m xx100)x(C −=
 
x2100)x(Cm −=
 
2
m xx1007500)x(C −+= 
 
Solución: 
Para hallar el costo marginal debemos armar la función de costo total como la suma del costo fijo 
más el costo variable. 
En este caso C(x)= 5700+ 100 x – x2 
Luego derivamos: 
x2100)x(C −=′ 
x2100)x(mC)x(C −==′
 
4) 
La función 2284
4
1
xx)x(f ++−=
 
es estrictamente creciente en: 
 
 
 ( ) ( )+∞∪−−∞ ,44, ( ) ( )+∞∪− ,40,4 ( ) ( )4 , 04- , ∪−∞ ( ] [ ]4,04, ∪−∞− ( ] ( )0,44, ∪−∞− 
 
Solución: 
Para hallar el conjunto en el que 22x84x
4
1
)x(f ++−= es creciente primero calculamos )x(f ′ . 
x.2.83x.4.
4
1
)x(f +−=′ , 
Por lo tanto: x163x)x(f +−=′ 
Luego debemos analizar para que valores de x ocurre que: 0)x(f >′ . 
Es decir: 0x16
3x >+− 
Veamos donde 0x163x =+− 
Los valores que obtenemos son 4 x 4- x 0 x 162x 0x =∨=∨=⇒=∨= 
Con dichos valores estudiamos el signo de la derivada primera en los intervalos que ellos 
determinan: 
Los intervalos determinados son: 
 
 (-∞, -4) -4 (-4,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞) 
 f ´ + – + – 
 
 
Luego f es estrictamente creciente en: ( ) ( )4 , 04- , ∪−∞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) 
El área comprendida entre las curvas 




+=
++=
3x2y
3x4xy 2 es: 
 
 
 
 
 
 
3
20
 
4
3
 
3
4
 
4
 
6
 
 
 
 
Solución: 
Buscamos los puntos de intersección de las dos curvas de integración: 
2- x 0x
0 2)x.(x
0 x22x
3x23x42x
=∨=
=+
=+
+=++
 
3
4
4
3
8
 - 0 
0
22
2x2
3
3x
dx 
0
2
x2 2x
dx
0
2
3x42x3x2
=





−=
−
−
−
−





 −−
−









 ++−+
∫
∫
 
 
 
6) La ecuación de la recta tangente a la parábola ( )1;5 punto el en x4 x )x(f 2 += 
es: 
 
 
 11 - x6y = 1 - x6y = 6 - x6y = 4 - x6y = 1 x6y += 
Solución: 
( )
( )
1-6x y:es pedida tangente recta la de ecuaciòn la
1-6x y
51-x6 y 
1)- x( 6 5 -y 
5 y, 1 x luego xx).x(fy-y
:es tangente recta la de ecuacion La
641.2)1(f
4x2)x(f
:resulta 1 xen aespecializ se y (x)f derivada la busca Se
ooooo
0
=
=
+=
=
==−′=
=+=′
+=′
=′
 
 
 
 
7) 
La dx x21.x3 2∫ − tiene por primitiva a: 
 
 
 Cx21 2
3
2 +



 −− Cx21 2
3
2 +



 − Cx41
4
1 2
3
2
+



 −− 
 
C2
3
2x21
2
1
+




 −− Cx21
2
1 2
3
2
+



 +−− 
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Solución: 
La integral se resuelve por “partes” usando dx.e dv y xu x== . De allí se deduce que 
xe vdx y 1. du == y v=ex. 
 
( ) C1xeCexedxee.xdx xe xx xxxx +−=+−=−= ∫∫ 
 
 
 
 
Solución: 
Aplicando el método de sustitución: 
Cx21
2
1
C
3
2
.t 
4
3
- tt
4
3
 - t.
4
dt
3
:resulta doSustituyen
xdx
4-
dt
-4xdxdt
 x21t dxx21.x3
322
3
2
1
22
+



 −−=+==
−
=
=
−=−
∫∫
∫
 
dxx21.x3 2∫ − Cx21
2
1
 2
3
2 +



 −−= 
 
 
 
 
 
 
8) La gráfica de la función derivada f´ presenta un máximo en x=2. Por lo tanto se 
cumple que: 
 
 
 0 )2(f = 0 (2) f =′′ horizontal sea 2 xen
f a tangente recta la
= 
0 (2) f =′ 2 xen , f para
 máximo un xistae
=
 
Solución: 
 
Si una función presenta un máximo en x=2, entonces su primera derivada es cero en el 
punto de abscisa x=2, 
pues la función tiene tangente horizontal en ese punto. 
 
En este caso la función es la función derivada de f, es decir: f´(x). 
Luego la derivada de la función derivada debe anularse en x=2. 
Como (f´(x))´=f´´(x), se cumple que f´´(2)=0. 
 
 
9) La familia de primitivas de xex (x)h = está dada por: 
 
 
 Ce- xe
xx
+ 
C e 
2
x x
2
+
 C e 
x
+ Ce xe
xx
++ 
C e e 
2
x xx
2
++ 
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Solución: Aplicamos las propiedades de las integrales y planteamos: 
dx11
2x
5
3
dx11 )x(f5
4
dx11 5
2x3)x(f4
dx11
1
1 5
2x3
dx
5
)x(f4
dx11 5
2x3)x(f4
∫∫∫
∫ ∫∫
−
−
−
=
−
−
− −
−=
−
−
 
Luego reemplazamos por la condición dada ∫− =
1
1 5dx)x(f
y resolvemos la integral planteada: 
Para resolver la integral definida entre -1 y 1 aplicamos la regla de Barrow. 
5
18
5
2
42.
5
1
4)
3
)1(3(1
5
1
4
1
1
.
3
3x
5
3
5.
5
4
=−=−=−−−=
−
− 
 
 
 
10) 
Se sabe que: ∫− =
1
1
5dx )x(f . El valor de dx 
5
x3)x(f41
1
2
∫−
− es igual a: 
 
 
 
5
22
 5
8
 5
18
 5 4