3 Derivada de la función inversa

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivada función inversa 1
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Recordamos Una función g es la inversa de la función f si
x))x(g(f)x)(gf( 
Y
x))x(f(g)x)(fg( 
La función g se denota por f-1 (se lee “inversa de f”)
Gráficamente, una función y su inversa son simétricas
respecto a la recta y = x.
Conviene también recordar:
1. Si g es la inversa de f, entonces f es la inversa de g.
2. El dominio de f-1 es el conjunto de imágenes de f y el conjunto de imágenes de f-1
es el dominio de f.
3. Una función puede no tener inversa, pero si la tiene, la inversa es única.
Derivada de la
función
iinversa
Sea f una función derivable y f*1 su inversa. Para hallar la derivada de f-1, consideremos.
x))x(f(f)x)(ff( 11  
Si derivamos ambos miembros de la igualdad, vemos que:
 En el primer miembro, debemos calcular la derivada de una función
compuesta.
Por lo que es:
'11''1 ))x(f)).(x(f(f)x()ff(  
 En el segundo, es (x)’ = 1
Entonces podemos escribir;
1))x(f)).(x(f(f '11' 
Como nos interesa '1 ))x(f(  entonces despejamos:
))x(f(f
1))x(f(
1'
'1

  (con ))x(f(f 1'  0)
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Ejemplo 1.
Vamos a usar esta expresión para calcular la derivada de la función inversa de f(x) = x3
Primero, buscamos la inversa de f. Estamos seguros que existe pues f es una
función biyectiva con Dom(f) = Im(f) = .
y = x3  3 33 xy   xy3 
Cambiando y por x, es yx3  por lo que es 31 x)x(f  cuyo dominio y
conjunto de imágenes coinciden con las de f.
Nuestro propósito es calcular la derivada de 31 x)x(f  usando la expresión de
la derivada de la función inversa.
))x(f(f
1))x(f(
1'
'1

 
Como en el denominador tenemos la derivada de f, la calculamos:
f(x) = x3  2' x3)x(f 
Y además es 3 2233'1' x3)x.3)x(f))x(f(f 
Reemplazando en la fórmula, resulta:
3 21'
'1
x3
1
))x(f(f
1))x(f( 


que está definida para todo x distinto de cero.
Luego la derivada de 31 x)x(f  es
3 2
'1
x3
1
))x(f( 
Observación: Verifique, usando las reglas de derivación que el resultado es
correcto.
Funciones
trigonométricas
y sus inversas
Como hemos visto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas, por lo que no
son inyectivas ya que elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.
Si consideramos la gráfica de la función seno, es fácil ver que cualquier recta horizontal,
atraviesa el gráfico de la función en más de un punto. En estas condiciones no es posible
definir la función inversa.
Para poder hacerlo, podemos elegir un intervalo donde la función sea inyectiva, por
ejemplo el intervalo 


 
2
;
2
.
Inversa de la
función seno
En este intervalo es posible definir la inversa de la función seno. Esta función recibe el
nombre de arco seno de x. Lo denotamos arcsenx.
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Además
y = arcsenx  x = sen y
 Notemos que y es el arco cuyo
seno es el número x.
Luego si
f: 


 
2
;
2
 [-1; 1] ; f(x) = senx
su inversa es
f-1: [-1; 1]  


 
2
;
2
; f -1(x) = arcsenx
Inversa de la
función coseno
y de la función
tangente
En el caso de la función f(x) = cos x, es inyectiva en el intervalo [0; ]. En este intervalo es
posible definir la función inversa del coseno. Esta función recibe el nombre de arco coseno
y se denota arccos.
Además
y = arccosx  x = cosy
 y es el arco cuyo coseno es el
número x.
Luego si
f:   ]1;1[;0  ; f(x) = cosx
su inversa es
f-1: [-1; 1]   ;0 ; f-1(x) = arccosx
Análogamente, la inversa de la función tangente es la función arco tangente (arctg)
y = arctgx  x = tgy
 y es el arco cuya tangente es el
número x.
Luego si
f: );(
2
;
2



  ; f(x) = tgx
su inversa es
f-1: 


 
2
;
2
);( ; f -1(x) = arctgx
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Derivada de las
funciones
trigonométricas
inversas
 Derivada de arcsenx
Recordemos que cuando componemos una función con su inversa obtenemos la
función identidad
x))x(f(f)x)(ff( 11  
Entonces al componer f(x) = senx y f-1(x) = arcsenx obtenemos también la función
identidad, por lo que resulta que:
sen(arcsenx) = x
Por otro lado, si y = arcsenx entonces y  


 
2
;
2
por lo que es cosy 0.
Además por la relación pitagórica es:
sen2y + cos2y = 1  ysen1ycos 2
Vamos a usar estas relaciones para calcular la derivada de f-1(x) = arcsenx = y
  222
'
'
x1
1
)arcsenx(sen1
1
ysen1
1
cosy
1
inversa)funciónlade(derivada
)y(f
1(arcsenx)







Luego, la derivada de arcsenx es
2x1
1

Derivadas de arccosx y arctgx
De manera análoga, se puede verificar que:

2
'
x1
1(arccosx)



2
'
x1
1
)arctgx(


Resolvemos algunos ejemplos en los cuales interviene la derivada de funciones
trigonométricas inversas.
Ejemplo 2.
Calcular la derivada de:
a) f(x) = arctg(3x2)
b) f(x) = earcsenx
Solución
a) f(x) = arctg(3x2)
La función f es la composición de las funciones h(x) = arctgx y g(x) = 3x2
Sabemos que si f(x) = )x)(gh(  su derivada es )x(g).)x(g(h)x(f ¡'' 
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Calculamos )x(gy)x(h ''
x6)x3()x(g
x1
1
)arctgx()x(h
'2'
2
''



Reemplazando en )x('g).)x(g(h)x(f '' 
x6.
)x3(1
1)x(f
2
'


Luego si f(x) = arctg(3x2) es x6.
)x3(1
1)x(f
2
'


b) f(x) = earcsenx
La función f es la composición de g(x) = arcsenx y h(x) = ex
Sus derivadas son:
xx'
2
''
e)'e()x(h
x1
1
)arcsenx()x(g



Reemplazando en )x(g).)x(g(h)x(f ''' 
2
arcsenx
2
arcsenx'
x1
e
x1
1e)x(f




Ejemplo 3.
Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = arcsenx en el punto de abscisa
x = 0.
Solución .
Recordamos la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de la función.
)ax()a(f)a(fy ' 
En el ejemplo es a = 0
Calculamos:
f(a) = f(0) = arcsen0. Buscamos el ángulo que pertenece al dominio de arcsenx cuyo
seno es cero. En este intervalo senx = 0 si x = 0
Luego f(0) = 0
1
01
1)0(f)a(f
2
'' 


Ahora reemplazamos en la ecuación de la recta
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xy
)0x(10y


Entonces la ecuación de la recta tangente
a la función f(x) = arcsenx en x = 0 es
y = x