4 Estudio de funciones

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LA DERIVADA Y EL ESTUDIO DE FUNCIONES
Recordamos los conceptos que usamos en el estudio de funciones.
Intervalos de
crecimiento y
decrecimiento
 Un intervalo A incluido en el dominio de la función es un intervalo de crecimiento
de la función si para todo x1; x2 que pertenecen a A, y x1< x2 es f(x1) < f(x2)
 Análogamente un intervalo B incluido en el dominio de la función es un intervalo
de decrecimiento de la misma si para todo x1; x2 que pertenecen a A, y x1< x2 es
f(x1) > f(x2).
Máximos y
mínimos de
una función
• Maximo absoluto: Consideremos un x0 en el dominio de f. Decimos que f tiene un
máximo absoluto en x0 si f(x0) f(x) para todos los x del dominio.
• Máximo relativo: Decimos que f tiene un máximo relativo (o local) en x0 que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarse un intervalo al que pertenece x0
en donde f(x0) f(x) para todos los x del intervalo.
• Mínimo absoluto: Dado x0 en el dominio de f decimos que f tiene un mínimo
absoluto en x0 si f(x0) f(x) para todos los x del dominio.
• Mínimo relativo: Decimos que f tiene un mínimo relativo (o local) en x0 que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarse un intervalo en donde f(x0) f(x)
para todos los x del intervalo.
Relación entre
derivabilidad y
continuidad
 Si una función es derivable en un punto de su dominio entonces es continua en
ese punto.
 Recordar que no es siempre cierto que si una función es continua en un punto
de su dominio, entonces es derivable: Existen funciones continuas en un punto
que no son derivables.
 Si una función no es continua en un punto de su dominio entonces no es
derivable en ese punto.
Derivadas y la
gráfica de una
función
Si f es una función continua en un
intervalo [a; b] y derivable en (a; b)
 Si 0)x(f '  para todo x en
(a; b), f es creciente en (a; b)
 Si 0)x(f '  para todo x en (a;
b), f es decreciente en (a; b)
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 Si 0)x(f '  a la izquierda de b y
0)x(f '  a la derecha de b,
entonces b es un máximo relativo
de f.
 Si 0)x(f '  a la izquierda de b y
0)x(f '  a la derecha de b,
entonces b es un mínimo relativo
de f.
 Si 0)x(f '  a la derecha y a la
izquierda de b entonces b no es
máximo ni mínimo de f.
 0)x(f '  a la izquierda de b y a la
derecha de b, entonces b no es
máximo ni mínimo de f.
En los puntos donde la función
alcanza un máximo o un
mínimo, la recta tangente es
horizontal.
La pendiente de la recta
tangente es cero. Equivale a
decir que 0)x(f ' 
 Si x0 es máximo o un
mínimo de la función f,
entonces 0)x(f ' 
Pero puede ocurrir:
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 que la función sea derivable en x = a y
que la recta tangente en a sea
horizontal pero que la función no
tenga máximo ni mínimo en a.
Por ejemplo en la función
f(x) = (x – 3)3 + 2
del gráfico.
 La función f alcanza
un máximo o un
mínimo en donde no
es derivable.
Luego: si x = c es un máximo o un mínimo de una función f, puede ocurrir:
 No exista la derivada en x = c
 Exista la derivada en x y es 0)c(f ' 
Puntos críticos Si f es una función definida en c, y
 0)c(f ' 
 ó no existe la derivada en c
se dice que c es un punto crítico de f.
Criterio de la
primera
derivada
Sea c un punto crítico de una función continua en un intervalo (a; b) que contiene a c. Si f
es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces:
 Si 0)x(f '  a la izquierda de b y 0)x(f '  a la derecha de b, entonces b es un
máximo relativo de f.
 Si 0)x(f '  a la izquierda de b y 0)x(f '  a la derecha de b, entonces b es un
mínimo relativo de f.
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Ejemplo 1.
Si )5x(x)x(f 3
2

a) Hallar los puntos críticos de f
b) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de f
c) Dar, si existen, máximos y mínimos de f
Solución.
Para resolver el ejercicio,
 Primero buscamos el dominio de la función
 Calculamos la derivada primera
 Damos el dominio de la derivada
 Buscamos los puntos en que la derivada es cero.
 Damos los puntos críticos.
 Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos que los puntos
críticos determinan en el dominio de la función.
 Decidimos acerca del crecimiento de la función
 Determinamos, usando el criterio de la derivada primera, si existen extremos.
Lo hacemos:
 Dominio de )5x(x)x(f 3
2

La función está definida para todo número real. Por lo que es Dom(f) = 
 Buscamos la derivada
Derivamos a f como un producto.
3
2
3
3
2
3
1
3
2
1
3
2
'
x)5x(
x
1
3
2
x)5x(x
3
21.x)5x(x
3
2)x(f



Operando es: 




 
3
'
x
2x
3
5)x(f
 La derivada no está definida en x = 0 (ya que en x = 0 se anula el denominador del
primer sumando). Luego es Dom(f) =  - {0}
 Buscamos los ceros de la derivada.
0
x
2x
3
50)x(f
3
' 


 
Luego es
f’(x) = 0 si x – 2 = 0  x = 2
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 Puntos críticos.
La función tiene dos puntos críticos
o x = 2 (donde se anula la derivada)
o x = 0 (donde no está definida la derivada)
 Analizamos el signo de la derivada en los intervalos: (-; 0); (0; 2) y (2; +)
Para ello, tomamos algún x que pertenezca a cada intervalo y evaluamos la
derivada en él. Nos ayudamos con una tabla
Intervalo (-;0) (0; 2) (2; +)
Para x = - 1 1x x = 3
Signo de f’ 0
1
21
3
5)1(f
3
' 






 0
1
21
3
5)1(f
3
' 




 0
3
23
3
5)3(f
3
' 


 
 Decidimos acerca del crecimiento de la función
f(x)’ > 0 en (-; 0)  (2; +) por lo que es f creciente en (-; 0)  (2; +)
f(x)’ < 0 en (0; 2) por lo que es f decreciente en (0; 2)
 Determinamos, usando el criterio de la derivada primera, si existen extremos
En x = 0 la derivada pasa de positiva a negativa por lo que la función alcanza un
máximo en x = 0 y es Máx = (0; 0)
En x = 2 la función pasa de negativa a positiva por lo que la función alcanza un
mínimo en x = 2 y es Mín =








 3
2
2.3;2
 Observamos en el gráfico que en x = 0
donde la derivada no está definida, la
función presenta un punto anguloso .
Para decidir si en un punto crítico c hay un máximo o un mínimo se puede recurrir al
criterio de la segunda derivada, siempre que f sea derivable en c.
Criterio de la
segunda
derivada
Sea f una función tal que f’(c) = 0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto
que contiene a c.
1) Si f”(c) > 0 entonces f(c) es un mínimo relativo.
2) Si f”(c) < 0 entonces f(c) es un máximo relativo.
Si f”(c) = 0 este criterio no decide y se debe recurrir al criterio de la primera derivada.
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Ejemplo 2
Determinar los puntos extremos (máximos y mínimos de la función) x42ex3)x(f 
Solución
La función f está definida para todo número real, por lo que Dom(f) = 
Derivamos f como un producto de funciones:
)x21(xe6
ex12xe6e)4(x3xe6)x(f
x4
x42x4x42x4'




El dominio de la derivada es también el conjunto de los números reales.
Igualamos a cero la derivada para hallar los puntos críticos.
0x21ó0x0)x21(xe60)x(f x4'  
(Recordemos que e-4x es siempre distinta de cero)
Luego,
2
1
xó0x0)x(f ' 
Luego los únicos puntos críticos son
2
1
xy0x 
Vamos a usar el criterio de la segunda derivada para ver si en alguno de ellos, hay un
extremo de la función.
x4x4x4''x4' xe12)x21(xe24)x21(e6)x(f)x21(xe6)x(f  
Y la evaluamos en los puntos críticos:
 0.40.40.4'' e0.12)0.21(e0.24)0.21(e6)0(f  
6)0(f '' 
 2
1.4
2
1.4
2
1.4'' e
2
1.12.
2
11e
2
1.24.
2
11e6
2
1f

















x4'' e6
2
1f 





Como es 6)0(f ''  > 0, en x = 0 la función alcanza un mínimo.
x4'' e6
2
1f 



 < 0, en
2
1x  la función alcanza un máximo.Modalidad virtual
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Ejemplo 3
Mostrar que la función 2xx2)x(f  es creciente en el intervalo (0; 1) y decreciente en
el intervalo (1; 2)
Solución.
Empezamos buscando el dominio de f.
Como sabemos que la raíz cuadrada está definida para todo número real mayor o
igual que cero, planteamos que el radicando debe ser mayor o igual que cero:
2x – x2 0
La expresión 2x – x2 podemos escribirla como x(2 – x):
x (2 – x) 0
Nos queda así un producto que comparamos con cero. Como sabemos que
a. b 0  (a 0 y b 0) ó (a 0 y b 0)
lo usamos en para resolver x (2 – x) 0. Planteamos.
x 0 y 2 – x 0
x0 y 2 x
S1 = [0; 2]
ó x 0 y 2 – x 0
x0 y 2 x
S2 = 
Por lo que S = S1S2 = [0; 2]
Entonces Dom(f) = [0; 2]
Vemos que los intervalos en los que nos piden analizar si la función crece o decrece
están incluidos en el dominio de la función.
Para analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, debemos hallar la
derivada de la función dada por:
2xx2)x(f 
Vemos que f es una función compuesta, su derivada es:
22
'
2'
xx2
x1)x22.(
xx2
1
2
1xx2)x(f








 
(Observemos que el dominio de la función derivada es (0; 2) ya que para x = 2 y
x = 0 el denominador se anula)
Al ser el denominador siempre positivo, el signo de la derivada lo decide el
numerador. Por lo que:
 1x0x10)x(f ' 
El dominio de la derivada es el intervalo (0; 2) entonces 0)x(f '  para x < 1
y x (0; 2), por lo que es 0)x(f '  en el intervalo (0; 1). Por lo que la
función f es creciente en el intervalo (0; 1).
 1x0x10)x(f ' 
Del mismo modo, 0)x(f '  para x > 1 y x (0; 2), por lo que es
0)x(f '  en el intervalo (1; 2). Por lo que la función f es decreciente en el
intervalo (1; 2)
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Ejemplo 4
Hallar los máximos y mínimos, si existen, de la función 3
2
x3x2)x(f 
Solución:
El dominio de la función f son los números reales: Dom(f) = 
La derivada de f es:
3
3
11
3
2
'
x
22x22x
3
2.32)x(f 

El dominio de la derivada son los reales distintos de cero: Dom(f’) =  - {0}
Entonces x = 0 es un punto crítico.
Vemos si hay otro igualando a cero la derivada.
1x
2
2x
x
220
x
220)x(f 3
33
' 
Entonces en x = 1 tenemos otro punto crítico.
Luego el dominio de f queda dividido en tres intervalos:
(-; 0), (0; 1) y (1; +)
Vemos qué signo toma la derivada en cada uno de ellos:
 x = -1 (-; 0) y 4
1
22)1(f
3
' 

 por lo que )x(f ' >0 en (-; 0)

2
1x  (0; 1) y 3
3
' 222
2
1
22
2
1f 




 por lo que )x(f ' < 0 en (0; 1)
 x = 2 (1; +) y
3
'
2
22)2(f  por lo que )x(f ' > 0 en (1; +)
Concluimos:
 En x = 0 la derivada pasa de positiva a
negativa, la función f alcanza un máximo en
x = 0 y vale f(0) = 0
 En x = 1 la derivada pasa de negativa a
positiva, la función f alcanza un mínimo en
x = 0 y vale f(1) = -1
Las coordenadas del punto máximo son (0; 0) y del
mínimo (1; -1)
Observación:
En este ejemplo, no usamos el criterio de la
derivada segunda, ya que la misma no está definida
para x = 0.
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Ejemplo 5
Hallar los extremos de
2
4
x
1x)x(f 
Solución
 Dom(f) =  - {0}
 Buscamos la derivada y su dominio:
3
4
4
4
4
5
4
55
22
423
'
x
1x
x
)1x(x2
x
x2x2
x
x2x2x4
)x(
x2).1x(x.x4
)x(f










Dom(f’) =  - {0}
 Hallamos los puntos críticos. Buscamos los ceros de la derivada.
1xó1x01x0
x
1x0)x(f 4
3
4
' 
Luego, 0)x(f '  en x= 1 y x = -1.
 La recta x = 0 es una asíntota vertical de la función y de su derivada. Lo tenemos
en cuenta al considerar los intervalos donde estudiamos el signo de la derivada.
Analizamos, entonces, los intervalos:
(-; -1); (-1; 0); (0; 1) y (1; +)
Nos ayudamos con una tabla:
Intervalo (-; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; +)
Para x = - 2
2
1x 
2
1x  x = 2
Signo de f’ 0)2(f '  02
1f ' 




 0
2
1f ' 





0)2(f ' 
Conclusión f decrece en
(-; -1)
f crece en
(-1; 0)
f decrece en
(0; 1)
f crece en
(1; +)
Entonces: en x = -1 y en x = 1 la función alcanza un
mínimo y es f(-1) = f(1) = 2
Mín1 = (-1; 2) Mín2 = (1; 2)
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Ejemplo 6
En la gráfica está representada la función f’,
derivada de la función f.
a. Determiná los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de f.
b. ¿Cuáles son los extremos relativos de f?
Solución:
De la función f sólo tenemos la información que nos da su derivada a través del gráfico.
Contestamos a partir de él.
a. Determiná los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
Recordemos que;
 si f’(x) > 0 para todo x que pertenece al intervalo (a; b), entonces la función f es
creciente en el intervalo (a; b);
 si f’(x) < 0 para todo x que pertenece al intervalo (a; b), entonces la función f es
decreciente en el intervalo (a; b).
Para obtener los intervalos en los cuales la función f crece, debemos hallar en qué
intervalos la función derivada f’ es mayor que 0 o sea, positiva.
Observando la gráfica, resulta que
 f’(x) > 0 en (– 1; 1)  (2;+), con lo cual f es creciente en (– 1; 1)  (2; ).
Para obtener los intervalos en los cuales la función f decrece, debemos hallar en qué
intervalos la función derivada f’ es menor que 0 o sea, negativa.
Observando la gráfica dada, resulta que
 f’(x) < 0 en (-; – 1) (1; 2), con lo cual f es decreciente en (; –1)  (1; 2).
b. ¿Cuáles son los extremos relativos de f?
De la gráfica deducimos que la función derivada f’ está definida para cualquier número real,
por lo que es Dom(f’) = . Luego, los únicos puntos en donde puede haber máximos o
mínimos es donde la derivada se anula, y esto ocurre cuando es
x = – 1, x = 1 y x = 2
Vemos que;
 en (-; -1), f ’(x) < 0
 en (-1; 1); f ’(x) > 0
 en (1; 2); f ’(x) < 0
 en (2; +); f ’(x) > 0
Como
 en x = -1; la derivada pasa de negativa a positiva, la función f alcanza un mínimo en
x = - 1
 en x = 1; la derivada pasa de positiva a negativa por lo que la función f alcanza un
máximo en x = 1
 en x = 2; la derivada pasa de negativa a positiva, la función f alcanza un mínimo en
x = 2
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Ejemplo. 7
Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y
ecuaciones de asíntotas, si las hay, de función
1x3 ex)x(f 
Solución
a) Dominio de f
Como la función f está definida para cualquier número real es Dom(f) = 
b) Buscamos la derivada primera y su dominio
)x3(exexex3)x('f 1x21x31x2  
El dominio de la derivada es Dom(f’) =
c) Igualamos a cero la derivada para hallar los puntos críticos:
0)x3(ex0)x('f 1x2  
De donde es:
x2 = 0  3 + x = 0  x = 0 x = -3
Luego los puntos críticos son x1 = 0; x2 = -3
d) Damos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Debemos analizar qué sucede con la función en los intervalos: (-; -3), (-3; 0) y
(0;+). Para ello analizamos el signo de f’ en esos intervalos.
El signo de la derivada depende de 3 + x ya que x2 y ex+1 son siempre
mayores que cero.
Por ejemplo en el intervalo (-; -3) si tomamos x = -4 es x2 (3 + x) < 0.
Del mismo modo en los demás intervalos basta con tomar un número que le
pertenezca y ver qué sucede con el signo del producto. Haciendo esto,
resulta:
 x (-; -3)  f’(x) < 0  f es decreciente.
 x (-3; 0)  f’(x) > 0  f es creciente.
 x (0;+ )  f’(x) > 0  f es creciente.
Entonces la función f es creciente en el intervalo (-3; +) y decreciente en el
intervalo (-; -3).
e) Damos máximos y mínimos de la función.
Observamos que la función cambia de signo
alrededor de x = -3, y no lo hace en x = 0.
 en x = 0 la función no alcanza ni máximo ni
mínimo;
 en x = - 3 la función alcanza un mínimo
relativo.
Para saber cuál es el valor mínimo que toma reemplazamos por x = -3 en la función:2
2
1331x3
e
27)3(f
e
127e)3()3(fex)x(f

 
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Luego; Mínimo = 


 
2e
27;3
b) Buscamos si la función tiene asíntotas.
 No tiene asíntotas verticales pues f está definida para todo número real.
 Calculamos )x(flímy)x(flím
xx 
 

1x3
xx
exlím)x(flím ya que para valores de x cada vez más grande
tanto x3 como ex+1 se hacen cada vez más
grandes.
0exlím)x(flím 1x3
xx
 

ya que si bien x3 toma valores negativos cada vez
más pequeños para valores negativos de x cada
vez más grandes en valor absoluto; ex+1 se hace
cada vez más pequeño y se acerca a cero.
Luego 1x3 ex)x(f  tiene asíntota horizontal por la izquierda, y su ecuación es
y = 0.
La gráfica de f es, aproximadamente;