5 Aplicaciones de la derivada 1

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PRIMERAS APLICACIONES DE LA DERIVADA
La interpretación geométrica de la derivada nos permitió calcular la pendiente de la recta
tangente a la curva en un punto. Abordaremos ahora, algunas aplicaciones de la derivada
en los que interesa conocer no sólo como varía una magnitud respecto de otra, sino
conocer cuan rápido se produce esa variación, esto es, la velocidad de variación de una
variable con respecto a otra.
Velocidad y
aceleración
Supongamos que un objeto se mueve sobre la recta numérica de acuerdo con la ecuación
f(t) = t2 donde f es la función de posición del objeto a través del tiempo. Supongamos
también que f(t) se mide en metros y t en segundos.
 En el instante t1 = 1 la posición del objeto es f(1) = 1, lo que quiere decir que en un
segundo, recorrió un metro.
 En el instante t2 = 3, la posición del objeto es f(3) = 33 = 9, o sea que a los 3
segundos el objeto recorrió 9 metros.
El objeto empleó 2 segundos, t2 – t1 segundos, en recorrer una distancia de 8
metros, (9 – 1) metros = 8 metros.
La distancia recorrida la podemos expresar mediante:
f(3) – f(1) = f(t2) – f(t1)
Si calculamos el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en
recorrerlo hallamos la velocidad media en que el objeto se desplazó en este
intervalo de tiempo.
Velocidad Media =
empleadotiempo
recorridaciatandis
Para el objeto del ejemplo, la velocidad media durante 2 segundos es:
seg/m4
seg2
m8
seg)13(
m)19(
tt
)t(f)t(f
12
12 




Lo que significa que, en promedio, el objeto recorrió 4 metros, cada segundo
durante ese intervalo.
Volvamos a la posición en que estaba el objeto al segundo de empezar a desplazarse sobre
la recta. (t1 = 1, f(t) = 1) y calculemos la velocidad media un segundo después, para t2 = 2.
En este caso es f(t2) = 22 = 4.
Por lo que la velocidad media es:
seg/m3
seg1
m3
seg)12(
m)14(
tt
)t(f)t(f
12
12 





Consideramos intervalos de tiempo cada vez más pequeños, de modo que t2 = t1 + h,
donde h es un incremento del tiempo cada vez más pequeño e igual a t2 – t1
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Por ejemplo, si h = 0,1; t2 = t1 + h = (1 + 0,1)seg = 1,1 seg.
En ese intervalo, la distancia que recorrió el objeto es f(1,1) = 1,12 = 1,21.
Y volvamos a calcular la velocidad media:
seg/m1,2
seg1,0
m21,0
seg)11,1(
m)121,1(
tt
)t(f)t(f
12
12 




Si hacemos cada vez más pequeños los intervalos de tiempo, nos acercamos cada vez más
a la velocidad que tenía el objeto en el instante t1 = 1. Lo mostramos en la tabla:
t2 h = t2 – t1 f(t2) – f(t1)
12
12
tt
)t(f)t(f


1,1 0,1 0,21 2,1
1,01 0,01 0,0201 2,01
1,001 0,001 0,002001 2,001
1,0001 0,0001 0,00020001 2,0001
La tabla nos sugiere que cuanto más pequeño sea el intervalo de tiempo, esto es cuanto
más próxima a cero sea la longitud del intervalo, la velocidad promedio tiende cada vez más
a 2 m/seg.
h = t2 – t1  0, la velocidad media 2 m/seg
Si en la expresión de la velocidad media
12
12
tt
)t(f)t(f


sustituimos t2 por t1 + h, y t2 – t1 por h, resulta:
Velocidad media =
h
)t(f)ht(f 11 
Podemos definir la velocidad instantánea como:
h
)t(f)ht(f
lím 11
0h


Calculemos la velocidad instantánea del objeto que se mueve sobre la recta de acuerdo con
f(t) = t2, la velocidad en el instante t1 = 1.
h
)1(f)h1(flím
0h


Donde:
 f(1 + h) = (1+h)2 = 1 + 2h + h2
 f(1) = 12 = 1
Reemplazando en la fórmula:
2h2lím
h
)h2(h
lím
h
hh2
lím
h
1)hh21(lím
h
)1(f)h1(flím
0h0h
2
0h
2
0h0h








Por lo que la velocidad del objeto en t = 1 es de 2m/seg, lo que confirma nuestra suposición.
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En general, si f = f(t) es la función de posición de un objeto en movimiento, su velocidad
instantánea (o simplemente velocidad) en el tiempo t es
h
)t(f)ht(flím)t(v
0h


En otras palabras la velocidad instantánea es la derivada de la función posición en un
tiempo t.
Ejemplo 1.
Se deja caer una moneda desde lo alto de una torre de 1362 metros de altura. La relación
entre el tiempo (en seg) y la distancia recorrida (en metros) por la moneda está dada por la
función
f(t) = -16t2 +1362
a) Calcula la función velocidad.
b) La velocidad para t = 1 y t = 2
c) La velocidad en el instante en que llega al suelo.
Solución
a) Calcula la función velocidad.
La función velocidad la encontramos mediante:
h
)t(f)ht(flím)t(v
0h


Siendo f(t) = -16t2 + 1362, calculamos:
 f(t + h) = -16(t+h)2 + 1362 = -16(t2 +2th + h2) + 1362
 f(t) = -16t2 +1362
Reemplazando en la expresión de v(t):
t32])ht2(16[lím
h
)ht2(h16lím
h
h16th32
lím
h
1362t161362h16th32t16lím
h
)1362t16(1362)hth2t(16lím)t(v
0h0h
2
0h
222
0h
222
0h









Luego v(t) = - 32 t
b) La velocidad para t = 1 y t = 2
Como ya encontramos la expresión de la velocidad solo reemplazamos en la
fórmula v(t) = -32 t
Entonces para
 t = 1 es v(1) = -32 m/seg
 t = 2 es v(2) = -64m/seg
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c) La velocidad en el instante en que llega al suelo.
Debemos calcular primero en que instante llega al
suelo.
En ese instante es f(t) = 0 luego, es;
f(t) = 0  -16t2 +1362 = 0
Resolvemos la ecuación y hallamos;
4
1362
t
4
1362
t 21 
Como el tiempo es positivo, entonces
consideramos sólo la primer solución:
Luego para
4
1362
t  (aproximadamente 9,22
seg) la moneda toca el suelo.
La velocidad en ese momento la hallamos reemplazando en v(t) = -32 t.
13628
4
136232
4
1362v 







Por lo que la velocidad que trae la moneda cuando llega al suelo es de 13628
m/seg (aproximadamente -295, 242 m/seg)
(La velocidad negativa, refleja el hecho de que el objeto de mueve hacia abajo)
Observación. En el ejemplo, para calcular la velocidad, usamos la definición. Pero, como la
velocidad no es más que la derivada de la función que nos da la posición del móvil en un
instante t podemos calcularla usando las reglas de derivación.
Veamos:
v(t) = t32)1362t16()t(f)t(v '2' 
con lo que llegamos a la misma solución.
Así como derivando la función que nos da la posición f(t) se obtiene la velocidad v(t),
derivando esta última se obtiene la aceleración.
Esto es lo mismo que decir que la segunda derivada de la función f es la aceleración.
 f(t) función de la posición o distancia recorrida
 v(t) = )t(f ' función velocidad
 a(t) = )t(f)t(v '''  función aceleración
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Ejemplo 2
La posición de un objeto que se mueve en línea recta es
1t
2)t(f
3 
 donde t está en
segundos y f en metros.
Encontrar la velocidad y la aceleración del objeto cuando t = 1.
Solución:
La velocidad y la aceleración son respectivamente la primera y segunda derivada
de f, por lo que debemos hallarlas para poder contestar.
Si
1t
2)t(f
3 
 es:
43
23223
43
23223
'''
23
2
)1t(
t).1t).(t.36)1t(t12
)1t(
t3).1t(2).t6()1t(t12)t(f)t(v)t(a
)1t(
t6)t('f)t(v







Para hallar la velocidad cuando t = 1 reemplazamos en v(t):
5,1
4
6
)11(
)1(6
)1(v
23
2




Y para hallar la aceleración reemplazamos en a(t):
5,1
16
24
16
7248
)11(
)1).(11).()1.(36)11(12)1(a
43
23223



Por lo que cuando t = 1 la velocidad es de -1,5 m/seg y la aceleración es 1,5
m2/seg.
Para recordar Dada una función f podemos hallar la tasa de variación
media (o tasa promedio de variación o velocidad media de
cambio) en un intervalo [a; b] mediante la expresión
ab
)fa)b(fmediaVariación

 En el caso de querer comparar
la rapidez con que varía una magnitud respecto de otra en
un punto es necesario introducir la idea de tasa de
variación instantánea, que como hemos visto se calcula
usando el concepto de derivada en un punto:
ax)a(f)x(f
límInstánaneaVariación
ax 



O bien, para incrementos cada vez más pequeños de x
(x = a + h, con h0)
h
)x(f)hx(f
límInstánaneaVariación
0h



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Costo e
Ingreso
Marginal
En economía, la palabra marginal hace referencia a cómo reaccionará una variable
económica ante un pequeño cambio producido en otra de la cual depende.
Cuando se estudian los valores marginales de una función económica f se busca conocer
cómo reaccionará f(x) ante un pequeño cambio en x.
Si el incremento que sufre x es muy próximo a cero, los valores marginales los calculamos
utilizando la derivada de la función f.
Por ejemplo,
 La función C(x) relaciona el costo total (C) con la cantidad x de mercadería
producida y comercializada.
La derivada de esta función, )x(C' , define el costo marginal. Esta función permite
analizar cómo varía el costo total ante un pequeño incremento de las unidades
producidas.
 Si la función ingreso total; IT(x), relaciona la cantidad de producida -o demandada-
con el precio por unidad, el ingreso marginal (x)IT ' se define como la derivada del
ingreso total respecto a x.
Ejemplo 3.
Dada la función de demanda 3x + 4p = 10 (donde p = precio por unidad y x = cantidad de
artículos demandada) obtener las funciones de ingreso total y de ingreso marginal.
Solución.
El ingreso total IT lo obtenemos multiplicando el precio por la cantidad de artículos
demandados (o vendidos).
Esto es:
IT(x) = p . x
De la ecuación de la demanda 3x + 4p = 10 hallamos p:
x
4
3
2
5
4
x310
p 


Y reemplazamos en la fórmula del ingreso total:
IT(x) = 2x
4
3x
2
5x.x
4
3
2
5 




 
Listo, ya tenemos la función de ingreso total.
Ahora buscamos la función de ingreso marginal.
Derivamos IT(x).
x
2
3
2
5
x
4
3
x
2
5
)x(IT
'
2' 



 
Entonces, las función de ingreso total y marginal son respectivamente:
IT(x) = 2x
4
3x
2
5  y x
2
3
2
5)x(IT ' 
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Ejemplo 4
Si el costo total para una empresa está dado por C(x) = 0,001x2 + 10x + 12000, calcular
el costo total y marginal para 1000 unidades del producto.
Solución.
El costo total para 1000 unidades del producto lo encontramos, simplemente,
reemplazando en C(x):
C(1000) = 0,001.(1000)2 + 10. 1000 + 12000
= 0,001. 1000000 + 10000 + 12000
= 1000 + 10000 + 12000
= 23000
Luego el costo total de producir 1000 unidades es de $23000.
Para hallar el costo marginal de producir 1000 unidades, primero debemos
hallar la derivada de la función costo.
)x(C ' = (0,001x2 + 10x + 12000)’ = 2. 0,001 x + 10 = 0,002 x + 10
)x(C ' = 0,002 x + 10
Luego para 1000 unidades, es 12102101000.02,0)1000(C ' 
Lo que indica que si la producción se incrementa en una unidad, (de x = 1000 a
x = 1001) el costo de producir una unidad más es de $12 (si el costo C está en
pesos).
La derivada
como
velocidad de
crecimiento
Supongamos que estamos estudiando determinada población de una especie. La
función que nos da el número de individuos de la población por unidad de tiempo es:
N = f(t)
La derivada
(t)fN '' 
representa la variación del tamaño de la población por unidad de tiempo, es decir la
velocidad con que varía el número de individuos con respecto al tiempo.
Ejemplo 5.
Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de número de
acuerdo con la ecuación








2t50
t41500)t(N
donde t se mide en horas.
Hallar el ritmo con que está creciendo la población cuando t = 2.
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Solución
El ritmo con que está creciendo la población se interpreta como la velocidad en
que ésta crece en un instante dado.
Para calcularla, calculamos la derivada de la función y la evaluamos en t = 2.
Buscamos la derivada de 







2t50
t41500)t(N





































22
2
22
22
22
2'
2
'
)t50(
t4200
500
)t50(
t8t4200500
)t50(
)t2(t4)t50.(4
500
t50
t4
1500)t(N
Y es N(1 ) = 55,31
2916
184500
)250(
2.4200500
22
2










Como el número de bacterias es un entero, lo aproximamos a 32. Entonces, la
población está creciendo a un ritmo de 32 bacterias por hora.
Otros
problemas de
velocidad de
crecimiento
Ejemplo 6
Para los elefantes africanos hembras, el peso P(t) (en kg) a una edad t (en años) está
dado aproximadamente por la función
3t075,0 )e.51,01(2600)t(P 
a) Calcular el peso y la rapidez de crecimiento de un ejemplar recién nacido.
b) Suponiendo que una hembra adulta pesa 1300 kg calcule su edad y su rapidez
de crecimiento actual.
Solución
a) Peso y rapidez de crecimiento de un ejemplar recién nacido.
Si el ejemplar que nos interesa es recién nacido, significa que t = 0
Para hallar el peso, sólo sustituimos t = 0 en la fórmula
3t075,0 )e.51,01(2600)t(P 
8874,305
49,0.2600
)e.51,01(2600)t(P
3
3t075,0


 
 Por lo que una hembra recién nacida pesa 305,8874 kilos.
Calculamos ahora la rapidez de crecimiento en t = 0. Primero, buscamos la
derivada )t(P'
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'3t075,0' ])e.51,01[(2600)t(P 
Para derivar usamos primero, la derivada de una constante por una función,
y luego la derivada de la función compuesta en 3t075,0 )e.51,01(  .
Resulta:
t075,02t075,0
t075,02t075,0
t075,02t075,0'
e)e.51,01(35,298
e)e.51,01((03825,0.7800
e)075,0.51,0()e.51,01.(3.2600)t(P






Ya tenemos la función que nos da la rapidez de crecimiento del recién
nacido. La evaluamos en t = 0
71,633835
0,2401.35,298
)51,01(35,298
e)e.51,01(35,298)0(P
2
0.075,020.075,0'



 
 Esto indica que para una hembra recién nacida la rapidez de
crecimiento es de 71,633835 kg por año.
b) Suponiendo que una hembra adulta pesa 1300 kg calcule su edad y su
rapidez de crecimiento actual.
Primero tenemos que buscar la edad de la hembra adulta, reemplazando el
peso P(t) por 1300 en la ecuación;
3t075,0 )e.51,01(2600)t(P 
Una vez que tenemos la edad, reemplazamos en la función derivada que
nos da la rapidez de crecimiento y que ya calculamos en el ítem anterior.
t075,02t075,0' e)e.51,01(35,298)t(P 
Calculemos la edad que tiene el animal cuando pesa 1300kg.
3t075,0
3t075,0
)e.51,01(
2600
1300
)e.51,01(26001300




Tomando raíz cúbica en ambos miembros:
t075,0
t075,0
t075,03
e.4045,0
e.
51,0
17937,0
e.51,01
2
1








Tomando logaritmo natural en ambos miembros:
06,12tt
075,0
9050,0e.ln.t.075,0)4045,0ln( 


Luego una hembra que pesa 1300 kilos tiene aproximadamente 12,06 años.
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Ahora reemplazamos el valor de t hallado en )t(P '
5,187
4065,0.62835,0.35,298
4065,0.)4065,0.51,01(35,298
e)e.51,01(35,298
e)e.51,01(35,298)06,12(P
2
9,029,0
06,12.075,0206,12.075,0'







Entonces para una hembra de 12,06 años su ritmo de crecimiento es de 187,5
kilos por año.
Ejemplo 7.
Un globo esférico desinflado tiene un metro de radio. Cuando se infla, su radio aumenta a
razón de 0,1 metros por segundo.
a) Encontrar la función de velocidad de crecimiento del volumen del globo.
b) ¿A qué velocidad crece el volumen del globo a los 3 segundos?
Solución.
En un dibujo, intentamos interpretar cómo
varía el radio del globo, a medida que se
infla.
Observamos que por cada segundo que
pasa, este varía en la relación:
 r(t) = 1 + 0,1 . t
Así:
Si t = 1, r(1) = 1,1
Si t = 2 , r(2) = 1,2
Si t = 3, r(3) = 1,3
Por lo que al pasar el tiempo el crecimiento del radio está dado por:
r(t) = 1 + 0,1 . t
Por otro lado, el volumen del globo, al ser esférico es:
V = 3r.
3
4 
Vemos que esta expresión depende del radio.
Como el radio varía según la expresión r(t) = 1+ 0,1 t, sustituyendo en la fórmula del
volumen, nos queda este expresado en función del tiempo t:
V(t) = 3)t.1,0t.(
3
4

Entonces ahora podemos comenzar a contestar:
a) Encontrar la función de velocidad de crecimiento del volumen del globo.
Para encontrar la función de velocidad de crecimiento del volumen del globo, sólo
tenemos ahora que derivar V(t) = 3)t.1,0t.(
3
4 
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'3' ])t.1,0t.[(
3
4)t(V 
Ya que es el producto de una constante, 
3
4 , por una función.
Y 3)t.1,0t(  es un a función compuesta, por lo que su derivada es:
3. (1+ 0,1.t)2 . 0,1 = 0,3. (1 + 0,1 t) 2
Reemplazando en ;)t(V ' es 2' )t.1,0t.(3,0..
3
4
;)t(V 
Luego, la velocidad de crecimiento del volumen del globo es:
2' )t.1,0t.(3,0..
3
4;)t(V 
Contestamos ahora el ítem b) :
b) ¿A qué velocidad crece el volumen del globo a los 3 segundos?
Esto equivale a calcular ;)3(V '
 676,0)3,1(4,0)3.1,0t.(3,0..
3
4;)3(V 22'
Por lo que la velocidad con que crece el globo a los 3 segundos es de 0,676
m/seg.
Ejemplo 8.
En un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio entra agua a razón de 25 litros por
segundo. Calcular la rapidez con que sube la superficie del agua.
Solución
Intentamos interpretar el enunciado del problema.
Al pedirnos que calculemos la rapidez con que sube la superficie del agua, nos
están pidiendo que calculemos la rapidez con que varía la altura del nivel del agua
contenida en el depósito.
Por otro lado, nos dicen que el agua entra a razón de 25 litros por segundo, lo que
significa que por cada segundo, el volumen de agua que hay en el tanque es de 25
litros (ó 25 dm3).
Por lo que:
 en 1 segundo, V = 25 dm3
 en 2 segundos, V = 2. 25dm3
 en 3 segundos, V = 3. 25 dm3
 en t segundos, V = t. 25 dm3
Entonces el volumen de agua que hay
en el depósito depende del tiempo.
Podemos escribir:
V(t) = 25 t
Pero todavía no encontramos la ecuación que nos permita calcular la rapidez con
que varía la altura del nivel del agua contenida en el depósito.
Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Aplicaciones de la derivada_1 12
Veamos.
La fórmula con que calculamos el volumen de un cilindro es:
V = superficie de la base x altura.
En este caso, la superficie de la base es la superficie de un círculo (.r2) de radio
5m = 50 dm.
Por lo que
V = . (502). h = . 2500. h
V = . 2500. h
Pero, la altura del nivel de agua que tiene el depósito también es una función del
tiempo, esto es h = h(t).
Entonces, como habíamos expresado a V como V(t) = 25. t , escribimos:
25. t =. 2500. h (t)
De donde es:
100.
t
2500.
t25)t(h




Ahora sí, podemos calcular la rapidez con que varía la altura del nivel del agua
contenida en el depósito, que no es más que la derivada de la función h.
100.
1t.
100.
1)t(h
'
'









Luego, la rapidez con que varía la altura del nivel del agua contenida en el depósito
es de
100.
1

dm/ seg (aproximadamente 0,0032 dm/seg)
Observación. En este tipo de problemas, la estrategia consiste en encontrar una relación matemática en
donde se relacionen las funciones que aparecen en el contexto del problema.
Para ello, es necesario tener en claro qué es lo que se pide en el problema, y qué es lo que se sabe del
problema (datos). Para relacionar estas dos cuestiones, podemos ayudarnos con croquis o dibujos que nos
permitan interpretar mejor la situación y encontrar una ecuación general que relacione las variables en
juego. Volveremos sobre esto cuando resolvamos problemas de optimización usando derivadas,