6 Aplicaciones de la derivada 2

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APLICACIONES DE LA DERIVADA
Segunda parte
Ya hemos usado la derivada en la resolución de problema en donde es necesario conocer
la velocidad con que una variable varía en relación a otra.
En este apartado, mostramos algunos ejemplos en los que es necesario maximizar o
minimizar una cantidad (problemas llamados de optimización)
En la resolución de estos problemas, la clave está en la interpretación del mismo, ya que
una vez que logramos encontrar la función que relaciona los datos del problema,
aplicamos las reglas y propiedades de derivación que ya conocemos.
Si bien no hay reglas que podamos aplicar siempre, conviene tratar de organizar la
resolución de los mismos, siguiendo algunos pasos.
 Leer detenidamente el problema, reconocer los datos y las magnitudes que se trata
de encontrar.
 Hacer un dibujo, esquema o diagrama, que interprete la información.
 Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
 Determinar de cuál de las variables queremos obtener el máximo o el mínimo y
expresarla como una función de otra variable.
 Determinar el dominio de la función. Esto es, hallar los valores para los que el
problema planteado tiene sentido.
 Determinar el valor máximo o mínimo mediante los procedimientos conocidos.
Ejemplos
resueltos
Ejemplo 1.
Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 196 y cuya suma sea mínima.
Solución
 Tratemos de interpretar el enunciado.
Nos piden encontrar Dos números positivos a y b; a > 0 y b > 0
Tales que, su producto sea 196 a . b = 196
su suma sea mínima S = a + b, mínima
 Probamos con algunos números cuyo producto es 196:
a b a + b
1 196 197
2 98 100
4 49 53
8 24,5 32,5
10 19,6 29,6
La última fila de la tabla nos da un número que cumple estas condiciones, pero,
solo consideramos algunos ejemplos y no podemos estar seguros que estos sean
los números que hacen mínima la suma.
Debemos generalizar la búsqueda de soluciones.
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 Volvamos a la interpretación del enunciado: Tenemos.
a y b; a > 0 y b > 0
a . b = 196
S = a + b, mínima
Queremos ahora expresar una variable como función de la otra. Como es de la
suma de la que buscamos el mínimo, tratamos de hacerlo con ella utilizando la
información del producto.
De a . b = 196 podemos despejar a ó b
Hagámoslo con a.
b
196
a196b.a 
Si reemplazamos a en la suma es:
b
b
196S 
¡Listo! Nos quedó la suma expresada en función de b. Entonces la función de la
que vamos a encontrar el mínimo es:
b
b
196)b(S 
 El dominio de la función S es  - {0}.
Como además debe ser b > 0 (por el enunciado), el número b que buscamos
pertenece a (0; +)
 Buscamos el valor mínimo con los métodos conocidos
o Derivamos S:
1
b
196)b(S
2
' 
o Y buscamos los puntos críticos:
0
b
b196
01
b
196
0)b(S
2
2
2
' 


Para que el cociente sea cero debe ser
-196 + b2 = 0
Resolvemos la ecuación y encontramos dos soluciones:
b = -14 y b = 14
Como b debe ser mayor que cero, nos quedamos con el valor positivo; b = 14
 Analizamos si es un mínimo para la función f. Usamos el criterio de la primera
derivada.
o Para b = 10; 0
100
100196)10(S ' 
o Para b = 15; 0
225
225196)15(S ' 
Entonces como )b(S' pasa de negativa a positiva, en b = 14 la función alcanza un
mínimo.
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 Todavía no terminamos, ya que nos falta hallar a.
Como
b
196
a  , reemplazamos b.
14
14
196a 
 Por lo que los números positivos que verifican que el producto es 196 y su suma
mínima son a = b = 14.
Con lo que hemos resuelto el problema.
Ejemplo 2.
La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es
4
q-80
p  donde q es la
cantidad de unidades demandadas y p es el precio por unidad.
¿Para qué valor de q se tendrá un máximo ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo?
Solución
Recordemos que la función ingreso total la encontramos haciendo:
IT = precio por unidad x cantidad de unidades demandadas
podemos escribir:
IT = p . q
Como nos dan la ecuación del precio, la sustituimos en la ecuación anterior.
4
qq20q.
4
q-80IT
2

¡¡Listo!! Ya tenemos el ingreso total expresado en función de una sola variable (q)
Nuestra función a maximizar es:
4
qq20)q(IT
2

 Además el dominio de IT es Dom (IT) =  aunque a nosotros sólo nos interesa el
conjunto de los números naturales ya que la cantidad de unidades producidas es
entera.
 Vamos a buscar la primera derivada.
q
2
120)q(IT
q
2
120
4
q220)q(IT
'
'


 Y buscamos los puntos críticos igualando a cero la derivada.
40q0q
2
1200)q(IT' 
El único punto crítico que tenemos es q = 40 que cumple las condiciones que
pusimos para el dominio de la función ingreso.
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 Para analizar si es máximo, podemos usar el criterio de la derivada segunda. La
hallamos.
2
1)q(ITq
2
120)q(IT "' 
Y la evaluamos en el punto crítico, q = 40
2
1)14(T " 
Como la derivada segunda es negativa en q = 40, entonces concluimos que la
función alcanza un máximo en q = 40.
 Nos falta encontrar cuál es ese valor máximo.
Para ello, reemplazamos q = 40 en la función de ingreso
4
qq20)q(IT
2

400400800
4
)40(40..20)40(IT
2

Lo que significa que cuando se producen 40 unidades el ingreso es de $400.
 Contestamos al problema:
o El ingreso es máximo cuando se producen 40 unidades.
o El ingreso máximo es de $400
Ejemplo 3.
Un rectángulo está limitado por los ejes y
por la recta
2
x6y  como se ve en la
figura.
¿Qué longitud debe tener el rectángulo
para que su área sea máxima?
Solución
Interpretamos el enunciado.
 ¿Qué buscamos? La longitud (perímetro) del rectángulo OMQN
Como el perímetro P es igual a la suma de las longitudes de los lados tenemos que:
P = 2(long de OM + long de MQ)
Por simplicidad llamamos OM a la longitud de OM y MQ a la longitud de MQ
 ¿Qué debe cumplir? El área que encierra el perímetro debe ser máxima.
Sabemos que el área (A) del rectángulo es
A = OM x MQ
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 ¿Qué datos tenemos?
Si observamos el gráfico vemos que;
o El vértice O, es el origen de coordenadas, por lo que es O = (0; 0)
o El vértice M está sobre el eje de abscisas, por lo que es M = ( M; 0)
o El vértice N está sobre el eje de ordenadas, por lo que es N = (0; N)
o El vértice Q tiene por coordenadas a M y N por lo que es Q = (M; N)
Pero además Q está sobre la recta de ecuación
2
x6y 
Por lo que también podemos escribir sus coordenadas como:




 
2
x6;xQ
 ¿Cómo podemos relacionar la información?
Veamos qué pasa con las coordenadas de Q. Las escribimos de dos maneras
diferentes:
Q = (M; N) y 




 
2
x6;xQ
Pero como es el mismo punto las coordenadas deben ser iguales, entonces tiene
que ser:
M = x y
2
x6N 
¡¡Bien!!! Logramos encontrar también las expresiones de M y N. Por lo que
podemos escribir:
 M = ( M; 0) = (x; 0)
 N = (0; N) = 



 
2
x6;0
 Vemos si podemos hallar las longitudes de los lados OM y ON utilizando estos
datos.
El lado OM, está sobre el eje de abscisas. Los extremos del segmento son x = 0 y
x = M, por lo que es:
OM = |M – 0| = |M| = M (ya que M es positiva)
Y además como M = x por lo que hicimos antes la longitud de OM es:
OM = x
El lado ON está sobre el eje de ordenadas. Los extremos del segmento son y = 0
e y = N por lo que su longitud es:
ON = |N – 0| = |N| = N (ya que M es positiva)
Y como N =
2
x6  reemplazando es longitud de ON:
ON =
2
x6 
Luego las longitudes de los lados del rectángulo son:
OM = x y ON =
2
x6 
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 Ahora podemos escribir el perímetro y el área utilizando estos resultados.




 
2
x6x2)x(P
2
x6.x)x(A 
Con lo que ambos, nos quedaron expresados en función de x.
 Como nos piden que el área sea máxima, trabajamos con esta función en la forma
habitual para buscar máximos.
Derivamos A(x)
x3x
2
1x
2
13
2
1x
2
x6)x(A ' 





Entonces:
x3)x(A ' 
Hallamos puntos críticos:
3x0x30)x(A ' 
Para saber si es máximo uso la derivada segunda: 1)x(A " 
Y es A” (3) = -1.
Por lo que por el criterio de la derivada segunda, en x = 3 la función área tiene un
máximo.
Lo que significa que para que el área sea máxima, debe ser x = 3.
 Nos queda por calcular el perímetro del rectángulo para que el área sea máxima.
Como habíamos hallado que




 
2
x6x2)x(P
Reemplazamos, por x = 3.
5,18
2
3632)3(P 



 
Aunque no lo piden, podemos calcular cuánta valdrá el área:
5,4
2
9
2
36.3)3(A 
 Contestamos al problema:
Para que el área del rectángulo sea máxima el perímetro debe ser de 18,5 unidades
de longitud.
En este caso, el área máxima es de 4, 5 unidades de área y los lados del rectángulo
miden 3 y 1, 5 unidades de longitud.
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Ejemplo 4
Las páginas de una revista deben contener 81 centímetros cuadrados de texto, con
márgenes de 2, 5 centímetros por todas partes.
Si se quiere utilizar la mínima cantidad de papel, ¿Qué dimensiones deben tener cada
página?
Solución
En el gráfico intentamos representar la
situación.
 Lo que buscamos son las
dimensiones (largo = L y ancho =
A) del rectángulo blanco.
Y el largo y ancho de este
rectángulo son iguales a los
respectivos largo (g) y ancho (h)
del rectángulo gris a los que le
sumamos 2, 5 cm de margen.
Podemos escribir;
A = h + 2,5
L = g + 2,5
(No escribimos las unidades de medida
para facilitar el cálculo)
 ¿Qué otro dato tenemos?
Tenemos cuánto mide el área (S) del rectángulo gris y además conocemos cómo
calcularla.
S = g . h = 81
Entonces podemos despejar cualquiera de los dos lados del rectángulo y escribirlo
en función del otro. Por ejemplo,
g =
h
81 (h > 0)
 ¿Cómo relacionamos esta información con la hoja de la revista?
Nos interesa que el área (R) de la hoja de la revista sea mínima.
R = L . A debe ser mínima.
Ahora, relacionamos los datos,
o L = g + 2, 5 y g =
h
81 por lo que es L =
h
81 + 2, 5
o A = h + 2, 5
Por lo tanto:
R = L . A =  5,2h5,2
h
81




 
De este modo, logramos escribir el área de hoja de papel en función del largo de
la parte gris (h) y la función a minimizar es:
R(h) =  5,2h5,2
h
81




  ; siendo h> 0
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 Ahora buscamos los puntos críticos.
Calculamos la derivada de R(x).
 
5,2
h
5,202
5,2
h
81
h
5,202
h
81
5,2
h
81
5,2h
h
81
)h(R
2
2
2
'



Y buscamos los puntos críticos igualando a cero la derivada.
9hh81h
5,2
5,202
5,2
h
5,202
05,2
h
5,202
0)h(R
22
22
'


Entonces el único punto crítico es h = 9. Vemos si es mínimo usando el criterio de
la derivada segunda.
0
9
405
)9("Ry
h
405
)h("R
33

Luego el valor de h que hace mínima el área de la hoja de papel es h = 9.
 Contestamos al problema.
Como nos piden las dimensiones de la hoja, debemos darlas.
Al ser L =
h
81+ 2, 5 reemplazando h tenemos que L = 11,5
Al ser A = h + 2, 5, reemplazando h tenemos que A = 11,5
Por lo que:
para que se utilice un mínimo de papel, la hoja de la revista debe ser un cuadrado
cuyos lados sean de 11, 5 cm
Ejemplo 5
¿Qué puntos de la recta y = -2x + 3 están más cerca del punto (-3; -1)?
Solución
Interpretamos “los puntos de la recta que
están más cerca del punto (-3; -1)” como los
puntos de la recta que están a menor
distancia del punto (-3; -1).
Como la recta tiene infinitos puntos podríamos
trazar infinitos segmentos con un extremo en
A y el otro extremo sobre un punto de la recta.
De todos estos segmentos, el que tiene menor
longitud es el segmento perpendicular a la
recta, que nombramos AB.
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Pero este segmento es el que nos da la distancia del punto a la recta.
Entonces para calcular qué punto de la recta está más cerca del punto (-3; -1)
debemos hallar la distancia entre A y B.
 Del punto A tenemos sus coordenadas (es dato), A = (-3; -1)
 Y del punto B sabemos que está sobre la recta de ecuación y = -2x+3.
Como cualquier punto de la recta tiene la forma (x; -2x+3), entonces
B = (x; -2x + 3)
 Planteamos la ecuación de la distancia entre los puntos A y B
d(A; B) = 2222 )4x2()x3()]3x2(1[)x3( 
Por lo que la d(A; B) nos quedó expresada en función de x.
Vamos a minimizar la función:
25x10x5)4x2()x3()x(d 222 
(Afirmamos que es dom(d) = , ¿por qué?)
 Ahora buscamos para qué valor de x es mínima la función.
Derivamos.
25x10x5
5x5)10x10(
25x10x5
1
2
1)x(d
22
'




(verifique que 25x10x5 2  es distinto de cero para todo x)
Buscamos los puntos críticos:
1x05x50
25x10x5
5x50)x(d
2
' 


Y utilizamos el criterio de la primera derivada para decidir si es un mínimo para d,
en los intervalos: (-; 1) y (1; +). Observamos que el que decide el signo de la
derivada es el numerador 5x – 5, ya que el denominador es siempre mayor que
cero
 x = 0 (-; 1), y es d’(0) < 0
 x = 2 (1; +), y es d’(0) > 0
Como la función pasa de negativa a positiva, afirmamos que en x = 1 la función
alcanza un mínimo.
 Vemos cuál es ese valor mínimo, reemplazando en la fórmula de la distancia.
20251.101.5)1(d 2 
Por lo que la distancia mínima es 20 .
Pero nos piden el punto de la recta y = -2x + 3 que hace mínima la distancia.
Como B = (x; -2x+3) reemplazamos por x = 1. Luego es B = (1; 1)
 Y contestamos;
El punto de la recta que está más cerca del punto (-3; -1) es B = (1; 1)