Claves Matematica Primer Parcial Primer turno Tema 3

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Material e laborado por la cátedra de Matemática - UBAXXI 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 3 
TEMA 3 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Determinar analíticamente el valor de la constante 𝑐 ∈ ℝ para que el conjunto solución de la inecuación 
|−2𝑥 + 𝑐| ≤
3
2
 sea igual al intervalo[−
1
2
; 1] 
Respuesta 
Los extremos del intervalo del conjunto solución deben cumplir con las igualdades 
|−2 ∙ (−
1
2
) + 𝑐| =
3
2
 𝑦 |−2 ∙ 1 + 𝑐| =
3
2
 
 
Busquemos el valor de 𝑐 ∈ ℝ que verifique ambas condiciones. 
Primero resolvemos la ecuación 
|−2 ∙ (−
1
2
) + 𝑐| =
3
2
 
|1 + 𝑐| =
3
2
 ⟺ 1 + 𝑐 =
3
2
 ó 1 + 𝑐 = −
3
2
 
1 + 𝑐 =
3
2
 ⟺ 𝑐 =
3
2
− 1 ⟺ 𝑐 =
1
2
 
1 + 𝑐 = −
3
2
 ⟺ 𝑐 = −
3
2
− 1 ⟺ 𝑐 = −
5
2
 
Los valores de “𝑐” que son solución de la primera ecuación son 𝑐 =
1
2
, 𝑐 = −
5
2
 
Ahora resolvemos la segunda ecuación 
 |−2 ∙ 1 + 𝑐| =
3
2
 
|−2 + 𝑐| =
3
2
 ⟺ −2 + 𝑐 =
3
2
 ó − 2 + 𝑐 = −
3
2
 
−2 + 𝑐 =
3
2
 ⟺ 𝑐 =
3
2
+ 2 ⟺ 𝑐 =
7
2
 
−2 + 𝑐 = −
3
2
 ⟺ 𝑐 = −
3
2
+ 2 ⟺ 𝑐 =
1
2
 
Los valores de “𝑐” que son solución de la segunda ecuación son 𝑐 =
7
2
, 𝑐 =
1
2
 
El único valor de “𝑐” que es solución de las dos ecuaciones es 𝑐 =
1
2
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 3 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Se sabe que el polinomio 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 11𝑥 + 30 satisface 𝑅(2) = 0. 
Hallar el conjunto de negatividad y el conjunto de positividad. 
 
Respuesta 
Para hallar los intervalos de positividad y negatividad del polinomio debemos conocer primero todas las 
raíces del polinomio. 
Se sabe que 𝑥 = 2 es raíz del polinomio. Entonces podemos dividir al polinomio 𝑅(𝑥) por (𝑥 − 2) 
 
 
 
 
 
𝑅(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 15) 
Buscamos ahora las raíces de la cuadrática 𝑥2 − 2𝑥 − 15 
𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ (1) ∙ (15)
2 ∙ 1
=
2 ± √4 + 60
2
=
2 ± 8
2
 
𝑥1 = 5 ; 𝑥2 = −3 
 
El conjunto de ceros del polinomio es: 
𝐶0 = {−3; 2; 5} 
 
Debemos analizar el signo del polinomio en los intervalos 
(−∞; −3) (−3; 2) (2; 5) (5; +∞) 
En el intervalo (−∞; −3) el signo del polinomio es negativo ya que 𝑅(−4) < 0 
En el intervalo (−3; 2) el signo del polinomio es positivo ya que 𝑅(0) > 0 
En el intervalo (2; 5) el signo del polinomio es negativo ya que 𝑅(3) < 0 
En el intervalo (5; +∞) el signo del polinomio es positivo ya que 𝑅(6) > 0 
 
Los intervalos de positividad del polinomio son: (−3; 2) ; (5; +∞) 
Los intervalos de negatividad son: (−∞; −3) ; (2; 5) 
 1 -4 -11 30 
2 2 -4 -30 
 1 -2 -15 0 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 3 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar la ecuación de la parábola que pasa por el punto (1; 5) y su vértice coincide con el de la parábola 
𝑦 = 5𝑥2 + 7𝑥 − 3 
Respuesta 
Calculamos el vértice de la parábola 𝑦 = 5𝑥2 + 7𝑥 − 3 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
7
2 ∙ (5)
= −
7
10
 
𝑦𝑣 = 5 (
7
10
)
2
+ 7 (
7
10
) − 3 =
245
100
+
49
10
+ 3 
𝑦𝑣 =
153
20
 
Entonces, el vértice de la parábola es el punto 
𝑉 = (
7
10
;
153
20
) 
Si expresamos la ecuación de la parábola que estamos buscando en forma canónica tenemos que 
 𝑦 = 𝑎 . (𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
𝑦 = 𝑎 (𝑥 −
7
10
)
2
+
153
20
 
Sabemos que la gráfica de la parábola pasa por el punto (1; 5), entonces podemos despejar el valor de la 
constante “𝑎” de la ecuación 
5 = 𝑎 (1 −
7
10
)
2
+
153
20
 
𝑎 (
3
10
)
2
= 5 −
153
20
 
9
100
𝑎 = −
53
20
 ⟺ 𝑎 = −
53
20
∙
100
9
= −
265
9
 
 
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 
𝑦 = −
265
9
 (𝑥 −
7
10
)
2
+
153
20
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 3 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Determinar el dominio y el conjunto imagen de la función 
𝐹(𝑥) = √16 − 4𝑥2 + 3 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. 
La función estará bien definida si el argumento de la raíz cuadrada es un número positivo. Entonces pedimos que 
16 − 4𝑥2 ≥ 0 ⟺ −4𝑥2 ≥ −16 ⟺ 𝑥2 ≤ 4 ⟺ |𝑥| ≤ 2 ⟺ 𝑥 ∈ [−2; 2] 
El dominio de la función es el intervalo [−2; 2] 
 
Para hallar el conjunto imagen debemos tener en cuenta que √𝑡 ≥ 0 (con 𝑡 ≥ 0). 
Entonces, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐹) se verifica que 
√16 − 4𝑥2 ≥ 0 
√16 − 4𝑥2 + 3 ≥ 3 
𝐹(𝑥) ≥ 3 
Luego, el conjunto imagen de la función es el intervalo [3; +∞)