Ejercicio19_TP5

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Matemática
P
S
a
b
19. La cantidad de agua f recogida (en millones de litros) en cierto pantano, en un tiempo
(en meses) viene dada a través de la expresión
12t0;
16)-(t
10)t(f
2



a. ¿En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b. ¿En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c. ¿Cuál fue esa cantidad máxima?
ráctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 19 1
OLUCION Y COMENTARIOS
. ¿En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
Para hallar en qué periodo de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida, debemos encontrar el
o los intervalos de crecimiento de la función f, teniendo en cuenta que 0  t  12, es decir que
Dom(f) =  0 ;12 .
Comencemos obteniendo la función derivada f’, siendo f(t) =
 2
10
t 6 1 
:
2222
2
]1)6t[(
)6t(20
]1)6t[(
)6t(210]1)6t[(0)t('f




Como f’(t) existe para cualquier valor real de t y Dom(f) = 0 ;12 , entonces Dom(f’) = (0 ; 12), con lo
cual f es derivable en (0 ; 12).
Tenemos que analizar qué condición debe cumplir t, siendo 0 t 12, para que f’ sea mayor que 0.
Observá que en
22 ]1)6t[(
)6t(20)t('f

 , la expresión   22t 6 1  es positiva, con lo cual para que
se cumpla que f’(t) > 0 debe ser – 20 (t – 6) > 0.
Luego, como el número – 20 es menor que cero, debe cumplirse que t – 6 < 0, o sea, t < 6.
Por lo tanto,
t (0; 6) ; f’(t) > 0  f es creciente en el intervalo (0; 6)
En consecuencia, el periodo de tiempo en el cual aumentó la cantidad de agua recogida
corresponde al intervalo (0; 6).
. ¿En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
Para hallar el instante en el que se obtuvo la cantidad máxima de agua, debemos encontrar el valor
de t en el cual la función f tiene un máximo absoluto, teniendo presente que 0 t 12, o sea,
Dom(f) =  0 ;12 .
Comenzaremos hallando el máximo relativo de la función f para, luego, analizar si ese máximo
relativo es o no máximo absoluto.
De acuerdo con el ítem a, la función f crece en el intervalo 0 ; 6 . Analicemos si en t = 6 la función f
tiene un máximo relativo.
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Práctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 19 2
Como f’(6) = 0, entonces t = 6 es un punto crítico. (1)
De acuerdo con el ítem a
t (0; 6) ; f’(t) > 0  f es creciente en el intervalo (0; 6) (2)
Analizamos si la función crece o decrece en el intervalo (6; 12).
Como el signo de f’ depende del numerador y siendo – 20 menor que cero, entonces;
t (6; 12) ; f’(t) < 0  f es decreciente en el intervalo (6; 12). (3)
Luego, por (1), (2) y (3), resulta que la función f tiene un máximo relativo en t = 6.
Analicemos ahora si en t = 6 la función f tiene o no un máximo absoluto.
Recordemos que para una función f: A  y x0 A, decimos que f tiene un máximo absoluto en x0
si f(x0) f(x) para todo otro x de A.
Como el dominio de la función f es un intervalo cerrado, Dom(f) =  0 ;12 , debemos analizar si en
los extremos de dicho intervalo la función f tiene un máximo absoluto, o si, en cambio, el extremo
relativo hallado anteriormente es, además, extremo absoluto.
Para ello, tenemos que comparar la imagen de t = 0 y t = 12 con la imagen de t = 6, la cual es
máximo relativo.
Como f(t) =
 2
10
t 6 1 
, resulta que: f(0) = 10
37
; f(12) = 10
37
y f(6) = 10
Entonces: f(6) f(0) y f(6) f(12).
Por lo tanto, el extremo relativo hallado inicialmente es, además, extremo absoluto. En
consecuencia, en t = 0 y t = 12 no hay un máximo absoluto. La función f, siendo Dom(f) =  0 ;12 ,
tiene un único máximo absoluto en t = 6.
Luego, la cantidad máxima de agua se obtuvo a los seis meses.
c. ¿Cuál fue esa cantidad máxima?
De acuerdo con el ítem b, f(6) = 10.
Por lo tanto, la cantidad máxima de agua recogida es diez millones de litros.