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Liceo Marta Donoso Espejo 
 
Guía de estudio para 4º año Medio 
Tema: Ecuaciones cuadráticas en dos variables. 
 
Este material tiene el propósito de presentar las ecuaciones cuadráticas en dos 
variables, mostrar sus gráficas y a aprender a trazarlas en un sistema de coordenadas y 
finalmente incorporar los procedimientos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones 
cuadráticas en dos variables. 
 
La forma general de una ecuación cuadrática en dos variables es: 
 
022 =+++++ feydxcybxyax donde a,b,c,d,e,f son constantes y a,b,c distintos 
de 0. 
 
Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas en dos variables son: 
9
4
4
032
253
22
2
22
2
=+
=
=
=+++−
=+
yx
xy
xy
yxyxyx
xyx
 
 
1) Representa gráficamente estas ecuaciones en un sistema de coordenadas. 
2) Determina para cada una de ellas el valor de acb 42 − 
3) Relaciona el valor obtenido de acb 42 − en cada ecuación con su 
correspondiente gráfica. 
 
Sistemas de ecuaciones cuadráticas en dos variables. 
 
Tal como ocurría en los sistemas de ecuaciones lineales, la o las soluciones de un 
sistema de ecuaciones cuadráticas se expresa gráficamente en la intersección de las 
gráficas de las ecuaciones involucradas. 
 
I. Sistema formado por una ecuación cuadrática y una ecuación lineal 
 
62
922
=−
=+
yx
yx 
Un método de resolución se describe a continuación: 
 
Paso 1: Despeja la variable y en la ecuación lineal (o despeja la variable x); 
Paso 2: Sustituye la expresión obtenida en la ecuación cuadrática. 
Paso 3: Resuelve la ecuación en x obtenida (o la ecuación en y) 
Paso 4: Sustituye cada valor encontrado para x, en la ecuación lineal dada, 
y resuelve. 
Indica la o las soluciones obtenidas como par ordenado de números reales. 
Ejemplo: Resuelve el sistema 
62
922
=−
=+
yx
yx por el método descrito. 
 Liceo Marta Donoso Espejo 
 
P1) 62 −= xy 
P2) 9)62( 22 =−+ xx 
P3) 936244 22 =+−+ xxx 
3;5/9
027245 2
==
=+−
xx
xx 
P4) 5/9=x : 
5
126)5/9(2 −=−= yy 
 3=x : 06)3(2 =−= yy 
Las soluciones del sistema son: )0,3(,
5
12,
5
9
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − . 
 
Ejercicios. Resolver, por el método indicado, los siguientes sistemas: 
1) 
72
122
=+
=
yx
xy
 2) 
1225
753 2
=+
=−
yx
yx 3) 
172
722
−=−
=+−
yx
yxyx 
 
II. Los sistemas formados por dos ecuaciones cuadráticas es posible reducirlos 
a los siguientes casos: 
 
Caso A) 
12
2522
=
=+
xy
yx 
 
Caso B) 
1143
3852
22
22
=−
=+
yx
yx
 
 
Caso C) 
6232
42
22
22
=−−
=+−
yxyx
yxyx
 
 
Observación. Estos sistemas están formados por dos ecuaciones 
cuadráticas homogéneas, es decir todos sus términos excepto la constante 
tienen grado 2. Los métodos algebraicos para resolverlos se mostrarán en 
clase. 
 
Ejercicios. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
 1) 
4
164 22
=
=+
xy
yx 2) 
12
4022
=
=+
xy
yx 
 
 3) 
5743
52
22
22
=+
=−
yx
yx
 4) 
10
7
22
22
=+
=+−
yx
yxyx
 
 
 5) 
4
22
=
+=+−
xy
yxyxyx 6) 
11218
5169
22
22
−=−
=+
yx
yx 
 
7) 
33
132
+=+
−=−+
xyxy
xyyx
 8) 
( )
( ) 113
63
22
22
−=−
+=+
xyx
yyx