guia-6-ecuacion-cuadratica-3-2020

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Escuela Industrial Superior de Valparaíso 
Departamento Matemática 
 
 
 
 
Nombre: ______________________________________ Curso: 3º ______ Fecha: _______ 
 
Objetivo(s) de Aprendizaje(s) o Aprendizaje(s) 
Esperado(s) (Programa de estudio) 
Objetivo(s) de la guía 
(propios) 
OA 4 
Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica o usando herramientas 
tecnológicas, ecuaciones cuadráticas de la forma: 
 ax2 = b 
 (ax + b)2 = c 
 ax2 + bx = 0 
 ax2 + bx = c 
(a, b, c son números racionales, a ≠ 0) 
 
 
 
Objetivo : Resolver ecuaciones de segundo grado 
completas e incompletas 
 Utilizar la fórmula para resolver ecuaciones 
cuadráticas 
 
 
INSTRUCCIONES GENERALES DE LA ACTIVIDAD: 
1-. Esta guía puedes imprimirla o copiarla en el cuaderno 
2-. Si tienes dudas puedes escribir a carola.macaya@gmail.com 
3. Debes enviar la guía en formato digital (fotografía o escáner) 
 
 
En la guía anterior resolvimos ecuaciones cuadráticas incompletas mediante dos 
métodos, ahora estudiaremos una fórmula para resolver cualquier tipo de ecuación 
cuadrática. 
 
Formula general para resolver ecuaciones cuadráticas 
Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 podemos determinar las soluciones de la ecuación cuadrática 
mediante la siguiente formula: 
𝒙 = 
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄
𝟐 ∙ 𝒂
 
 
 
 
 
Ejemplo 
Determinar las soluciones de la ecuación 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución de la ecuación: 𝑥2 = −1 𝑦 𝑥1 = 3 
 
Guía Nº 6 : Ecuación cuadrática 
Unidad 0 : “Función y ecuación cuadrática” 
Variable o 
incógnita Nos indica que debemos 
sumar y restar, podemos 
obtener dos soluciones 
Todo lo que está adentro 
de la raíz se llama 
Discriminante de la 
ecuación 
Si graficamos la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
podemos observar que a 
parábola intercepta al eje x 
en x= -1 y en x =3 
mailto:carola.macaya@gmail.com
Análisis del discriminante de una ecuación cuadrática 
 
Algebraicamente se puede determinar cómo serán las soluciones de una ecuación 
cuadrática tan solo calculando el discriminante. 
 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒓𝒊𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆(∆) = 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
Podemos descubrir los siguientes casos: 
𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 > 0 (un número positivo) la ecuación tendrá dos 
soluciones 
𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 = 0 la ecuación tendrá dos soluciones iguales 
𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 < 0 (un número negativo) la ecuación no tendrá 
solución en el conjunto de los números reales 
 
 
Ejemplo 
𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 > 0 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 0 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 < 0 
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
𝑎 = 1; 𝑏 = −1 𝑐 = −6 
∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6) 
∆= 1 − (−24) = 𝟐𝟓 
Como el 25 es un número 
positivo la ecuación tiene 2 
soluciones 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
𝑎 = 1; 𝑏 = −2 𝑐 = 1 
∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 
∆= 4 − (4) = 𝟎 
Como el discrimante es cero 
, la ecuación tiene dos 
soluciones iguales 
 
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 
𝑎 = 1; 𝑏 = 2 𝑐 = 3 
∆= (2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (3) 
∆= 4 − (12) = −𝟖 
Como el discriminante es 
menor que cero (negativo) 
la ecuación no tiene 
solución en el conjunto de 
los números reales. 
Resolveremos estas ecuaciones utilizando la formula general 
𝒙 = 
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄
𝟐 ∙ 𝒂
 
 𝑎 = 1; 𝑏 = −1, 𝑐 = −6 
 X = 
−(−𝟏) ±√𝟐𝟓
𝟐∙𝟏
=
𝟏± 𝟓
𝟐
 
 
𝒙𝟏 =
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟔
𝟐
= 𝟑 
 
𝒙𝟐 =
𝟏 − 𝟓
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐 
 
𝑎 = 1; 𝑏 = −2, 𝑐 = 1 
X = 
−(−𝟐) ±√𝟎
𝟐∙𝟏
=
𝟐± 𝟎
𝟐
 
 
𝒙𝟏 =
𝟐 + 𝟎
𝟐
=
𝟐
𝟐
= 𝟏 
 
𝒙𝟐 =
𝟐 − 𝟎
𝟐
=
𝟐
𝟐
= 𝟏 
 
𝑎 = 1; 𝑏 = 2, 𝑐 = 3 
 
X = 
−(𝟐) ±√−𝟖
𝟐∙𝟏
= 
No podemos calcular una 
raíz cuadrada con su 
cantidad sub radical 
negativa 
Por esto la ecuación no 
tiene solución por ahora , 
en una próxima unidad 
podremos trabajar con otro 
conjunto numérico y 
definir sus soluciones 
La parábola tiene dos 
intercepto con el eje x : 
 ( 3,0) y (-2,0) 
La parábola tiene un 
intercepto con el eje x 
 ( 1,0) 
 
La parábola no tiene 
intercepto con el eje x. 
 
 
 
Ejercicios: Analice el determinante y luego resuelva las siguientes ecuaciones 
cuadráticas utilizando la formula general. 
𝒙 = 
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄
𝟐 ∙ 𝒂
 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑏)𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 c)𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 
a= b= c= a= b= c= a= b= c= 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
Aplicar formula 
𝒙 = 
−𝒃 ± √𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒊𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆
𝟐 ∙ 𝒂
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
Soluciones: Soluciones: Soluciones: 
𝑑)𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 − 6 𝑒)𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥 𝑓)𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 10𝑥 + 8 
a= b= c= a= b= c= a= b= c= 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
Soluciones: Soluciones: Soluciones: 
 
g) 𝑓(𝑡) = 2𝑡 − 𝑡2 h) 𝑓(𝑝) = −7 + 𝑝2 − 6𝑝 i) 𝑓(𝑟) = 2𝑟2 − 5 
a= b= c= a= b= c= a= b= c= 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
 
Discriminante: 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
Aplicar formula 
 
 
 
 
 
 
 
( las soluciones pueden ser raíces 
no exactas) 
Soluciones: Soluciones: Soluciones: