Circuito RLC

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1. Sea el circuito R-L-C en serie conectada con fuente U(t).
a) Obtener el modelo matemático que expresa el voltaje de la bobina.
Para obtener un modelo matemático primero se debe de identificar el fenómeno o el problema a modelar, en este caso vamos a modelar es el comportamiento del voltaje en la bobina de un circuito RLC en respuesta a una corriente variable.
Luego deberemos definir las variables relevantes, que en este caso nos interesan:
Ahora expresamos nuestro modelo basándonos en la ley de Faraday, quedándonos una ecuación diferencia ya que realmente nos interesa la el producto de la inductancia de la bobina con la variación de la corriente con respecto del tiempo, quedándonos nuestro modelo así:
2. Calcular la función de transferencia en lazo abierto.
Para calcular la función de transferencia en lazo abierto, primero se debe transformar la ecuación diferencial al dominio de Laplace. La función de transferencia en lazo abierto se define como la relación entre el voltaje de salida (voltaje en la bobina) y el voltaje de entrada (voltaje de la fuente):
Acá tendremos que volver a la ley de Kirchhoff de voltajes, la cual establece que nuestro circuito en serie tiene una ecuación dada como:
U(t)=VR​+VL​+VC​
Donde:
· U(t) es el voltaje de la fuente
· VR​ es el voltaje en la resistencia (R)
· VL​ es el voltaje en la bobina (L)
· VC​ es el voltaje en el capacitor (C)
Los voltajes en cada componente se pueden expresar en función de la corriente I(t) y sus derivadas:
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de Kirchhoff, obtenemos:
U(t)=RI(t)+LdtdI(t)​+C1​∫I(t)dt
Ahora para calcular la función de transferencia tendremos que usar la transformada de Laplace es una técnica matemática que se utiliza para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales, transformándolas de un dominio de tiempo a un dominio de frecuencia (denominado dominio de Laplace).
Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial. La transformada de Laplace de una derivada es sF(s) - f(0), donde F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el valor inicial de la función. La transformada de Laplace de una integral es F(s)/s. Aplicando estas reglas, obtenemos la ecuación en el dominio de Laplace:
En un circuito R-L-C en serie, la corriente es la misma en todos los componentes, por lo que podemos simplificar la ecuación anterior como:
La función de transferencia en lazo abierto se define como la relación entre la salida y la entrada en el dominio de Laplace, asumiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero. En este caso, la salida es el voltaje en la bobina, Vl(s), y la entrada es el voltaje de la fuente, U(s). Si asumimos que la corriente inicial i(0) es cero, la función de transferencia H(s) es:
3. Calcular la función de transferencia en lazo cerrado.
Para calcular la función de transferencia en lazo cerrado de un circuito R-L-C en serie con retroalimentación negativa, necesitamos considerar la función de transferencia en lazo abierto que ya hemos calculado, y luego aplicar la fórmula de la función de transferencia en lazo cerrado.
La función de transferencia en lazo abierto, que denotaremos como G(s), es la que calculamos en la pregunta anterior:
Para términos prácticos y para este ejemplo asumiremos que el circuito tiene una retro alimentación negativa. En un sistema de control en lazo cerrado con retroalimentación negativa, la función de transferencia en lazo cerrado se calcula utilizando la fórmula de Black:
Donde k es el factor de retroalimentación. En este caso, asumiremos que k=1 para simplificar los cálculos.
Sustituyendo G(s) en la fórmula de Black, obtenemos:
4. Diagrama de bloque de la función de transferencia lazo abierto y cerrado.
Diagrama de bloque en lazo abierto.
El diagrama de bloque en lazo abierto es bastante simple. Consiste en una entrada, la función de transferencia en lazo abierto G(s) y una salida. La entrada se conecta a la función de transferencia, y la función de transferencia se conecta a la salida.
U(s)
Vl(s)
G(s)
Diagrama de bloque en lazo cerrado
Para el diagrama de bloque en lazo cerrado, asumiremos que el sistema tiene retroalimentación negativa con un factor de retroalimentación k=1. En este caso, el diagrama de bloque en lazo cerrado incluye un sumador que combina la entrada y la señal de retroalimentación, la función de transferencia en lazo abierto G(s) y un bloque de retroalimentación.
U(s)
Vl(s)
G(s)
En este diagrama, la señal de retroalimentación se toma de la salida Vl(s) y se suma a la entrada U(s) con un signo negativo (retroalimentación negativa). La función de transferencia en lazo cerrado se calcula utilizando la fórmula de Black, como se mencionó en una respuesta anterior.
5. Diagrama de Bloque a partir del sistema de primer orden
Un sistema de primer orden se caracteriza por tener una única constante de tiempo y está representado por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. En términos de la función de transferencia, un sistema de primer orden puede ser representado por la siguiente ecuación:
Donde:
H(s) es la función de transferencia.
K es la ganancia del sistema.
T es la constante de tiempo.
s es la variable de Laplace.
El diagrama de bloque de un sistema de primer orden es bastante simple. Consiste en una entrada, la función de transferencia H(s), y una salida. La entrada se conecta a la función de transferencia, y la función de transferencia se conecta a la salida.
R(s)
C(s)
H(s)
En este diagrama, R(s) es la entrada (o la señal de referencia), H(s) es la función de transferencia del sistema de primer orden, y C(s) es la salida (o la respuesta del sistema).