integrales

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Universidad Nacional Experimental 
De los Llanos Occidentales 
“Ezequiel Zamora” 
Unellez- Barinas 
Subproyecto: Cálculo II 
 
Docente Responsable: Dr Olga Hidalgo 
Resolver las siguientes integrales impropias, adjuntar las respuestas en un archivo word, 
siguiendo la siguiente nomenclatura apellido_nombre. 
El trabajo debe llevar portada, índice, introducción, desarrollo, conclusión, referencias 
bibliográficas, letra arial 12, interlineado 1.5. 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJECICIO: 
 
 
= Lim 
a→ -∞ ∫
𝒙 𝒅𝒙
(𝒙𝟐+𝟏) 𝟓 𝟐⁄
𝟎
𝒂
 = 
 
U= 𝒙𝟐 + 𝟏 
du= 2xdx → 
𝒅𝒖
𝟐
= xdx 
lim a →-∞ 
 𝒅𝒖
 𝟓 𝟐⁄
 = Lim a →-∞∫
𝒖−𝟓⁄𝟐 
𝟐
 
𝟎
𝒂
𝒅𝒖 = 
 
lim 
𝟏
𝟐
 u -3⁄2 du= |𝟎
𝒂
 lim 
𝟏
𝟐
 
−𝟐 
𝟑 𝒖 
𝟑
𝟐
 |𝟎
𝒂
= 
a →-∞ 
−𝟑
𝟐
 
 
lim 
a →-∞ 
−𝟏
𝟑(𝒙𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
|
 𝟎
 𝒂
= 
 
lim 
a→-∞ 
−𝟏
𝟑(𝟎𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
- (
−𝟏
𝟑(𝒂𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
)= 
 
lim 
−𝟏
𝟑(𝟎𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
 - (
−𝟏
𝟑(𝒂𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
) 
a →-∞ 
 
−𝟏
𝟑((−∞)𝟐+𝟏)𝟑 𝟐⁄
 = 
−𝟏
𝟑
 + 
𝟏
𝟑 (∞+𝟏) 𝟑 𝟐⁄ 
= 
 
−𝟏
𝟑 
 + = 
−𝟏
𝟑
 la integral converge en el punto 
−𝟏
𝟑
. 
 
 
Demostrar que ∫ 𝑒−𝑠𝑥
∞
0
cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠
𝑠2+𝑎2
 
 
Primero calcular la integral indefinida. 
 
𝑢 = cos(𝑎𝑥) 
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑑𝑥 
𝑣 =
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
 
 
∫ 𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = 
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) − ∫
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥(−𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥))𝑑𝑥 
 
∫
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥(−𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥))𝑑𝑥 = 
 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
 
𝑢 = −𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑎2 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
𝑣 =
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 
 
 
∫
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥(−𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥))𝑑𝑥 =
𝑎
𝑠
𝑒−𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) − ∫
𝑎2
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) − (
𝑎
𝑠
𝑒−𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) − ∫
𝑎2
𝑠
𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥) 
(1 +
𝑎2
𝑠2
) ∫ 𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
−1
𝑠
𝑒−𝑠𝑥(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)) 
∫ 𝑒−𝑠𝑥 cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
−𝑒−𝑠𝑥(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + asen (𝑎𝑥))
𝑎2 + 𝑠2
 
 
Calcular los límites de integración. 
lim
𝑏→∞
 
−𝑒−𝑠𝑥(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥))
𝑎2 + 𝑠2
 
 
lim
𝑏→∞
−𝑒−𝑠𝑏(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑏) + 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑏))
𝑎2 + 𝑠2
 − (
−𝑒−𝑠0(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎0) + 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑎0))
𝑎2 + 𝑠2
) 
−𝑒−𝑠∞(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎∞) + 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑎∞))
𝑎2 + 𝑠2
− (
−𝑒−𝑠0(𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑎0) + 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎0))
𝑎2 + 𝑠2
) 
0 − (
−𝑠
𝑠2 + 𝑎2
) 
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
 
0