Informacion Sobre Las Funciones

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1) Concepto.
Las funciones son conceptos fundamentales en matemáticas y tienen una amplia variedad de aplicaciones en diferentes áreas. En términos simples, una función es una relación entre dos conjuntos de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto.
2) Elementos clave para entender las funciones:
· Definición Formal: Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla o asignación que asocia a cada elemento x en A exactamente un elemento y en B. Se denota como f:A→B.
· Notación: La notación f(x) representa el valor que la función f asigna al elemento x en el dominio. f(x) es el "y" correspondiente a la "x".
· Dominio y Rango: El dominio es el conjunto de todos los valores posibles de x para los cuales la función está definida. El rango es el conjunto de todos los valores posibles de y que la función puede producir.
· Gráficos de Funciones: Muchas veces, las funciones se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas. Cada punto en la gráfica corresponde a un par ordenado (x,y), donde x está en el dominio y y es el valor de la función.
· Tipos de Funciones: Hay diferentes tipos de funciones, como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, entre otras. Cada tipo tiene propiedades y comportamientos específicos.
· Funciones Inversas: Para muchas funciones, es posible encontrar una función inversa que deshace la operación de la función original.
· Composición de Funciones: Se puede combinar una función con otra mediante la composición, donde el resultado de una función se utiliza como entrada para la otra.
· Transformaciones de Funciones: Las funciones pueden experimentar transformaciones, como traslaciones, reflexiones y dilataciones, que afectan su apariencia gráfica.
Las funciones son esenciales en matemáticas aplicadas, física, economía, informática y muchas otras disciplinas.
3) Dominio.
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada (o valores de x) para los cuales la función está definida. En otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variable independiente.
Al determinar el dominio, es importante tener en cuenta cualquier restricción que pueda haber en la función. Por ejemplo, no puedes tener el logaritmo de un número negativo o la raíz cuadrada de un número negativo en funciones reales.
4) Rango:
El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida (o valores de y) que la función puede producir en relación con los valores del dominio. Es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variable dependiente.
Al analizar el rango, es útil observar el comportamiento de la función y cómo se relaciona con los valores del dominio. Algunas funciones pueden tener un rango limitado, mientras que otras pueden abarcar todo el conjunto de números reales.
5) Simetría:
a. Simetría Par: Una función es simétrica par si f(x)=f(−x), lo que significa que la gráfica de la función es simétrica respecto al eje vertical.
b. Simetría Impar: Una función es simétrica impar si f(−x)=−f(x), indicando simetría respecto al origen.
6) Monotonía:
a. Una función es creciente si f(a)≤f(b) cuando a≤b.
b. Una función es decreciente si f(a)≥f(b) cuando a≤b.
7) Puntos Críticos y Máximos/Mínimos Locales:
a. Puntos Críticos: Son los valores de x donde la derivada de la función es cero o no está definida.
b. Máximos Locales: Puntos donde la función tiene un valor más alto en un intervalo cercano.
c. Mínimos Locales: Puntos donde la función tiene un valor más bajo en un intervalo cercano.
8) Asíntotas:
a. Asíntotas Verticales: Son líneas verticales que la gráfica de la función se acerca pero nunca toca.
b. Asíntotas Horizontales: Son líneas horizontales que la gráfica se acerca a medida que x se aleja hacia infinito.
9) Período y Frecuencia:
a. Período: En funciones trigonométricas, es la distancia entre dos repeticiones completas de la función.
b. Frecuencia: Inversa del período.
10) Continuidad y Discontinuidad:
a. Continuidad: Una función es continua si no tiene saltos ni agujeros en su gráfica.
b. Discontinuidades Removibles: Puntos de discontinuidad que pueden eliminarse mediante la redefinición de la función en ese punto.
c. Discontinuidades de Salto: Puntos donde hay un salto en el valor de la función.
d. Discontinuidades Infinitas: Puntos donde la función se vuelve infinita.
11) Concavidad y Puntos de Inflexión:
a. Concavidad: La dirección en la que se curva la gráfica de una función.
b. Puntos de Inflexión: Puntos donde la concavidad cambia.
12) Composición de Funciones:
a. (g∘f)(x): Se lee "g compuesta con f" y significa que primero aplicas f y luego g.
13) Transformaciones Geométricas:
a. Traslaciones, reflexiones y dilataciones que afectan la posición y forma de la gráfica de una función.
14) Ecuaciones Diferenciales:
a. Relación entre una función y sus derivadas, utilizada para describir fenómenos cambiantes en el tiempo.
15) Tipos de Funciones.
Hay varios tipos de funciones matemáticas, y cada una tiene propiedades y comportamientos específicos. Algunos tipos más comunes:
· Función Lineal: f(x)=mx+b, donde m y b son constantes. La gráfica es una línea recta.
· Función Cuadrática: f(x)=ax2+bx+c, donde a, b, y c son constantes, y a≠0. La gráfica es una parábola.
· Función Exponencial: f(x)=a⋅bx, donde a y b son constantes y b es un número positivo que no es igual a 1. Estas funciones crecen (o decrecen) de manera exponencial.
· Función Logarítmica: f(x)=logb​(x), donde b es la base del logaritmo. Es la función inversa de la función exponencial.
· Función Trigonométrica: Incluye funciones como el seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec), y cosecante (csc). Estas funciones están basadas en las razones trigonométricas en un triángulo.
· Función Raíz Cuadrada: f(x)= donde x debe ser un número no negativo. La gráfica es la mitad superior de la parábola 
· Función de Valor Absoluto: f(x)=∣x∣ ∣, que devuelve el valor absoluto de x. La gráfica es en forma de "V".
· Función Polinómica: donde n es un número entero no negativo, y son constantes.
· Función Racional: donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)=0.
· Función Modular (o Valor Absoluto Generalizado): f(x)=∣g(x)∣, donde g(x) es cualquier función.
Estos son solo algunos ejemplos, y hay muchas más funciones y variaciones. Cada tipo de función tiene propiedades distintivas y aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas y las ciencias.
Ejemplos: