Cap 09

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199 
Matrices y 
Determinantes 
 
MATRIZ 
 
Una matriz es un arreglo rectangular de números 
reales ordenados en filas y columnas. 
 
Columnas 
 
 
 ........ 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
L
L
M M M M
L
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn m×n
a a a a
a a a a
a a a aA=
a a a a
 
 
Notación: Las matrices se denotan con letras 
mayúsculas, tal como A, B, C, D,........... etc. 
En forma abreviada una matriz se denota por: 
 
; 1,2,3,...
 1,2,3,...
i j m x n
A a i m
j n
 = = 
=
 
 
Orden de una matriz 
El orden de una matriz está dado por el producto 
indicado m x n , donde “m” indica el número de 
filas y “n” el número de columnas. 
 
Ejemplos: 
3x2852
625
A 





= ; 
3x3154
018
644
B










= 
A es una matriz de orden 2x3 
B es una matriz de orden 3x3. 
 
Tipos de matrices 
 
• Matriz Rectangular. 
La matriz de orden m x n, con nm ≠ , recibe 
el nombre de matriz rectangular. 
Ejemplo. 
2 3
1 3 1
2 0 8 x
A
− 
=  
 
 
• Matriz Fila. 
La matriz de orden 1x n, se denomina matriz 
fila o vector fila. 
Por ejemplo. 
 
A = (2 1 5 6), 
Es una matriz fila de orden 1 x 4. 
• Matriz Columna. 
La matriz de m filas y una columna recibe el 
nombre de matriz columna de orden m x 1. 
 
Ejemplo: 














−
=
1
0
1
2
A 
 Es una matriz columna de orden 4 x 1 
 
• Matriz Cuadrada. 
Una matriz es cuadrada si el número de filas 
es igual al número de columnas (m =n) 
 
Ejemplo: 
3 3
1 3 1
3 2 5
2 0 4 x
A
 
 = − 
−  
 
 
 Diagonal principal: 
Está formada por todos los elementos de 
igual subíndice de la matriz A. 
 
11 22 331 ; 2 ; 4a a a= = = 
 
Traza de una matriz. Se define como la 
suma de los elementos de la diagonal 
principal. 
Esto es : 
Traz (A) 
=
= = + + + +∑ L11 22 33
1
n
i i nn
i
a a a a a 
Traz (A) = 1 + 2 + 4=7 
 
Propiedades de la traza 
Si A y B son matrices cuadradas del mismo 
orden y λ escalar entonces se tiene: 
 
• )B(Traz)A(Traz)BA(Traz +=+ 
• )B(Traz)A(Traz)BA(Traz −=− 
• )A(Traz)A(Traz λ=λ 
• )AB(Traz)AB(Traz = 
 
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 
 
1. Matriz Triangular Superior. 
Si los elementos ubicados por debajo de la 
diagonal principal son ceros, decimos que, A es 
una matriz triangular superior, esto es: 
0;i ja i j= ∀ > 
Filas 
 
 
 
 
 
200 
 
Ejemplo: 
 A = 










700
240
135
 
 
2. Matriz Triangular Inferior. 
Si los elementos ubicados sobre la diagonal 
principal son ceros, decimos que, A es una 
matriz triangular inferior, esto es: 
0i ja = ; ∀ i j< 
Ejemplo: 
A = 










−
171
052
003
 
 
3. Matriz Diagonal. 
Es aquella matriz cuadrada donde al menos un 
elemento de la diagonal principal no es cero y 
los demás son todos ceros, es decir: 
= ∀ ≠0; i ja i j 
Ejemplo: 
 M= 










1700
050
001
 ; N= 





00
02
 
 
 
4. Matriz Escalar. 
Es una matriz diagonal donde todos los 
elementos de la diagonal principal; son iguales a 
un número diferente de cero; 
 Es decir: ,i ja k i j= ∀ = 
Donde: k escalar. 
 
Ejemplo: 










=
k00
0k0
00k
R ; S= 





20
02
 
 
5. Matriz Identidad. 
Es toda matriz escalar cuyos elementos de la 
diagonal principal es igual a 1. 
 
Ejemplo: 
3I = 










100
010
001
 ; 2I = 





10
01
 
 
6. Matriz Nula. 
Es la matriz cuyos elementos son ceros, esto es:
 0; ,i ja i j= ∀ 
 
S = 










000
000
000
 
7. Transpuesta de una Matriz ( TA ). 
Es la matriz que se obtiene, al intercambiar 
filas por columnas. 
 
Ejemplo: 
 Sea: Q = 
3x2243
358






⇒ 
2x3
T
23
45
38
Q










= 
 
 Propiedades. 
Sea A y B matrices conformables en la adición 
y multiplicación, entonces se tiene: 
• TTT BA)BA( +=+ 
• TTT BA)BA( −=− 
• A)A( TT = 
• ( ) T Tk A K A= , k : escalar 
• TTT AB)AB( = 
• ( ) Tn nI I= 
 
8. Matriz Simétrica. 
Una matriz A es simétrica si y solo si es igual a 
su transpuesta TA A= , es decir: 
; ,j i i ja a i j= ∀ 
Ejemplo: 
A = 










61711
1745
1152
 ⇒ TA = 










61711
1745
1152
 
Luego, A es simétrica. 
 
9. Matriz Antisimétrica. 
Una matriz A es Antisimétrica si y solo si: 
TA A= − , es decir: 
 
 ; 
 
 0 ; 
j i i j
j i
a a i j
a i j
= − ∀ ≠
 = ∀ =
 
 
Ejemplo: 
A =










−
−−
0169
1604
940
⇒ TA = 










−−
−
0169
1604
940
 
 
Como TA A= − , entonces A es una matriz 
Antisimétrica. 
 
IGUALDAD DE MATRICES 
Se dice que dos matrices A y B son iguales cuando 
son del mismo orden y sus elementos 
correspondientes son iguales. 
 
Ejemplo: 
Dadas las matrices 
 
7 3 1
0 2 0 1
x y x y z
x y x x
+ − −  
=   −   
, Luego: 
7yx =+ , 3yx =− , 1z −= .De donde se deduce 
que: 
 x = 5, y = 2, z = -1 
 
 
 
 
 
201 
 
OPERACIONES CON MATRICES 
 
1. ADICIÓN DE MATRICES 
Sean las matrices ( )i j m x nA a= ; ( )i j m x nB b= 
Definimos a la matriz suma de A y B como: 
A + B = ( )i j i j m x na b+ 
 
Ejemplo: 
Dadas las matrices: 
 
 A = 
3x2243
358





 B = 
3x2046
251





 
 
⇒ =+ BA 





+++
+++
024463
235518 = 
3x2289
5109





 
 
Nota: 
 
 
 
 
 
Propiedades de la adición de matrices 
Dadas las matrices A, B y C del mismo orden, 
entonces se cumple: 
 
• A + B = B + A Conmutativa 
• (A + B) + C = A + (B + C) Asociativa 
• AA00A,A =+=+∀ Elemento Neutro 
• 0)A(A,A =−+∀ Elemento inverso 
Aditivo. 
 
2. DIFERENCIA DE MATRICES 
Dadas dos matrices A y B del mismo orden 
m x n, la diferencia entre A y B es otra matriz 
C del mismo orden, tal que 
( )i j i j m x nC a b= − 
 
Ejemplo: 
Dadas las matrices A = 





20
810
 , B 





− 212
511
 
 
 
10 11 8 5
0 ( 12) 2 2
A B
− − 
− =  − − − 
 
10 11 8 5
0 ( 12) 2 2
A B
− − 
− =  − − − 
 
 
3. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR 
UNA MATRIZ 
 
Dada una matriz A y un escalar λ , el 
producto de λ por A se define por: 
 ( ) ( )i j m x n i j m x nA a aλ λ λ= = , 
Cada componente de A se multiplica por el 
escalar λ . 
 
 Ejemplo: 
 Si λ = 5 y A = 










− 51
24
32
 
Hallar λ A. 
 
 ⇒ 5 










−
=










−
=










− 255
1020
1510
5.5)1.(5
2.54.5
3.52.5
51
24
32
 
 
Propiedades del producto de un escalar por 
una matriz 
Dadas las matrices A y B de orden m x n y 
escalares , Rλ κ ∈ , entonces se tiene: 
• ( ) ( )A B A Bλ λ λ+ = + 
(Distributiva respecto a la adición de matrices). 
• ( )k A A k Aλ λ+ = + , 
(Distributiva respecto a la suma de escalares) 
• ( ) ( ) ( )k A A k k Aλ λ λ= = 
(Asociativa escalar) 
• 1.A = A ( Elemento Neutro) 
 
4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 
 
• Multiplicación de Matrices 
Dadas las matrices: 
( )i j m x pA a= y ( )i j p x nB b= 
Definimos la matriz ( )i j m x nAB c= . Donde 
el elemento jic se calcula multiplicando la 
i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B. 
1 1 2 2
1
.....
n
i j i j i j i p p j i p p j
p
c a b a b a b a b
=
= + + + =∑
 i = 1, 2,3,...m 
 j = 1, 2,3,...n 
 
Ejemplo: Sean las matrices 
3x2101
321
A 





−
= y 
2x321
12
01
B










−
= 
⇒ AB = 
2x22212
2111
cc
cc








 
 Donde: 
11c = 1(1) + 2(2) +3(-1) = 2 
12c = 1(0) + 2 (1) + 3 (2) = 8 
12c = -1(1) + 0(2) + 1(-1) = -2 
22c = -1(0) + 0( 1) + 1( 2) = 2 
 
Luego, 
2x222
82
B.A 





−
= 
 
¡NO OLVIDAR! 
 
 
 
 
*Para multiplicar dos matrices se debe tener en cuenta:# de columnas de la primera matriz = # de filas de la segunda matriz. 
Esto significa que la matriz es conformable respecto al producto. 
 
*El orden de la matriz producto será: # de filas de la primera matriz x 
# de columnas de la segunda matriz. 
En la adición de matrices se tiene en cuenta lo siguiente: 
• Las matrices a sumar deben ser del mismo orden 
• Se suman los elementos correspondientes 
 
 
 
 
 
202 
 
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a31 
a22 a13 – a11 a32 a23 - a21 a12 a33 
 
 
• Multiplicación de una Matriz fila por una 
Matriz columna. 
A = ( )n321 aaaa L ; B = 
















n
3
2
1
b
b
b
b
M
 
Definimos: 
1 1 2 2 3 3. ( ... )n nA B a b a b a b a b= + + + + 
 
Ejemplo: Sean las matrices: 
4x1)2101(A −= y B = 
1x4
6
0
2
1














−
 
 
11)6(2)0()1()2(0)1(1B.A −=−+−++= 
 
Propiedades de la multiplicación de matrices 
 
Si A, B y C son matrices conformables 
respecto de la suma y producto, entonces se 
tiene: 
 
• ( ) ( )A B C A B C= 
• ( )A B C A B A C+ = + 
• ( )A B C A C B C+ = + 
• AB B A≠ 
• 0AB= , no implica que 0 0A B= ∨ = 
• 2AA A= 
• ,A B A C= no implica que B C= 
• A I = I A 
• 1. n nA A A += y .m n m nA A A += 
 
DETERMINANTE 
 
El determinante de una matriz es la función que 
aplicada a una matriz cuadrada de orden “n” la 
transforma en un número real, esto es: 
 
RM:det nxn → 
 detA A A=a 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 2° 
ORDEN 
 
Sea 






=
2212
2111
aa
aa
A 
⇒ 12212211
2221
1211 a.aa.aaa
aa
A −== 
 
Ejemplo: 
 
Si A = 





−
−
320130
205120 ⇒ 
 
A = 120 ( - 320 ) - 130 (- 205 ) = - 11750 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3° 
ORDEN 
Sea ( )
3 3i j x
A a= 
3x3333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A










= 
 
Reglas prácticas para su cálculo 
 
• Regla de Sarrus 
 | A | = 
232221
131211
333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 
 A = 
 
 
Ejemplo: Sea 
1 2 3
1 0 4
2 1 5
A
 
 = − 
 − 
. 
 
A = 1 (0) (5) + 2 (4) (-2) + (-1) (1) (3) – 
(-2) (0) (3)-(-1) (2) (5) - (1) (1) (4) 
 
 = -13 
 
• De la estrella 
 A = 
***
***
***
 + 
***
***
***
 
 
 ( i ) ( ii ) 
 
i) El producto de sus valores salen con sus 
mismos signos 
 ii) El producto de sus valores se le cambian de 
signos. 
 
 El determinante resulta la suma de sus 
valores. 
 
• Regla de Laplace (Menores Complementarios) 
 
Menor complementario: El menor 
complementario de un elemento i ja de la 
matriz A es el determinante de la matriz que 
 
 
 
 
 
203 
 
resulta al eliminar la fila i y la columna j de la 
matriz A. 
 
Ejemplo: 
Sea 
1 2 3
1 0 4
2 1 5
A
 
 = − 
 − 
 
El menor complementario del elemento 12a es: 
1 4
3
2 5
−
=
−
 
 
Para calcular el determinante de un matriz de 
orden 3 usando la Regla de Laplace se procede 
de la siguiente manera: 
 
a) Se elige una fila o columna y se le antepone 
signos de acuerdo al siguiente esquema: 
+−+
−+−
+−+
 
b) Se toma cada elemento de la fila o columna 
elegida y se multiplica por su menor 
complementario. 
 
c) El determinante es la suma algebraica de los 
resultados obtenidos en el paso b). 
Ejemplo: Calcular el determinante de 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
Solución: 
 
Eligiendo la primera fila, se tiene que: 
 
A = a11
3332
2322
aa
aa
 - a12 
3331
2321
aa
aa
 
 + a13 
3231
2221
aa
aa
 
 
 
PROPIEDADES 
 
1. Si se intercambian dos filas (ó columnas), 
entonces el determinante cambia de signo. 
 
2. Si los elementos de dos filas (ó columnas), son 
proporcionales, entonces el determinante es 
cero. 
 
3. Si todos los elementos de una fila (ó columna) 
son ceros, entonces el determinante es cero. 
4. Si todos los elementos de una fila (o columna) 
se multiplican por un escalar k ≠ 0, entonces el 
determinante queda multiplicado por el escalar. 
5. Si a todos los elementos de una fila (o columna) 
se le suma el múltiplo de otra fila (o columna), 
entonces el determinante no altera. 
6. El determinante de una matriz triangular es el 
producto de los elementos de la diagonal 
principal. 
7. A.BB.AB.A == 
8. TA A= 
9. nn AA = 
10. Sea A una matriz de orden n ; se cumple 
escalar;AA n λλ=λ 
 
Matriz singular 
 
Una matriz es singular si su determinante es cero 
Si su determinante es diferente de cero entonces 
es no Singular. 
Ejemplo: Sea la matriz A = 





126
21
 
Calculando su determinante: 01212A =−= 
Entonces A es singular. 
 
Ejemplo: Si A = 





− 21
31
 
Como su determinante es: 532A =+= 
Entonces A es no singular. 
 
MATRIZ INVERSA 
 
Sea A una matriz cuadrada no singular, si existe 
una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal 
que A. B =B .A = I. Entonces definimos a B como 
matriz inversa de A y lo denotamos por 1A− . 
 
Teorema 
Una matriz cuadrada posee inversa si y sólo si es 
no singular. 
 
0AA 1 ≠⇔∃ − 
 
Teorema 
Sea A una matriz invertible, entonces la matriz 
inversa está dada por: 
 
1 1 ( )A Adj A
A
− = 
 
 
 
 
 
204 
 
 
( )Adj A : Es la adjunta de la matriz A. 
 
• Cálculo de la matriz inversa de orden 2 
 
Sea la matriz 






=
2212
2111
aa
aa
A ; A ≠ 0 
 
22 12
21 11
( )
a a
Adj A
a a
− 
=  − 
 
 ⇒ 22 121
21 11
1 a aA
a aA
− − =  − 
 
 
Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz 






−−
=
93
105
A 
Solución: 
 
9 (10)
( )
( 3) 5
Adj A
− − 
=  − − 
 ∧ A = -15 
 
⇒ 1
9 101
3 515
A−
− − 
=  −  
 = 












−−
−
−
−
−
15
5
15
3
15
10
15
9
 
 
1
3 2
5 3
1 1
5 3
A−
 
 
=  
 − −  
 
 
Propiedades de la inversa de una matriz 
 Sean A y B matrices cuadradas no singulares y 
λ un escalar distinto de cero, entonces se tiene: 
 
• 
11A A −− = 
• 111 A.B)B.A( −−− = 
• IA.AA.A 11 == −− 
• 111 A.)A.( −−− λ=λ 
• ( 1A− ) 1− = A 
• 1( ) ,nAdj A A −= donde n es el orden 
de la matriz A. 
 
Determinante de la matriz de Vandermonde 
 
( )
1 2
2 2 2
1 2
1
1 1 1
1 2
1 1 1
n
n i j
j i n
n n n
n
a a a
a a a a a
a a a
≤ < ≤
− − −
= −∏
K
K
K
M M O M
K
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
1. Calcular a + b – c : si 
 
 










−
−
−
=










+










c15c
10ab
a21c
198
1415
215
95
411
72
 
 
Solución: 
 
2 5 7 21 7 28 21
11 15 4 14 26 18 10
5 8 9 19 13 28 15
c a
b a
c c
+ + −     
     + + = = −     
     + + −     
 
 
 721c =− 26b = 1810a =− 
 
Donde se obtiene: 
 28a = 26b = y 28c = . 
 
Entonces tenemos: 26cba =−+ 
2. Si : A = 










25169
543
111
 Calcular : A 
Solución: 
 
El determinante se puede escribir así: 
 
222 543
543
111
A = 
(Determinante de Vandermonde) 
 
2)45()35()34(A =−−−= 
3). Si la matriz A = 









 −−
3010
1206
3421
x
xy
 
Es simétrica, calcular 22 yx18E += 
 
Solución: Por definición: jiij aa = 
 
Luego: 
 
 
 
 
Entonces: E = 18(-7)2 + (-21)2 = 1323 
 
 
 
 
 




−=−=→−=
−=→−=
21)7(3yx3y0
7x42x6
 
 
 
 
 
 
205 
 
4. Considere 1x;.....xxx1)x(f 32 <++++= 
 Hallar la traza de )A(f . 
 
Solución: 
 
1)x1()x(f
x1
1)x(f −−=⇔
−
= 
 






−
−
−
=





=






=−=
−
−
24
37
1214
1
74
32
)x(f
10
01
Icon,)AI()A(f
1
1
 
 
7 2 3 2
( )
2 1
f A
− 
= − 
 
 
∴   ( )Traz f A = 2
91
2
7
=+ 
5. Construir la matriz 
3 3ij
A a
×
 =   ; cuyos 
elementos satisfacen la relación ji2aij += ; 
luego determine lasuma de los elementos de la 
matriz. 
 
Solución: 
La matriz será de la forma: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3 3x
a a a
A a a a
a a a
 
 = 
 
 
 
 
Donde sus elementos se calculan de la siguiente 
manera: 
71)3(2a
51)2(2a
31)1(2a
31
21
11
=+=
=+=
=+=
 
82)3(2a
62)2(2a
42)1(2a
32
22
12
=+=
=+=
=+=
 
 
 
93)3(2a
73)2(2a
53)1(2a
33
23
13
=+=
=+=
=+=
 
 
Luego, 
3 3
3 4 5
5 6 7
7 8 9 x
A
 
 = 
 
 
 
Donde la sumatoria de los elementos de la 
matriz es: 54 
 
6. Calcular: 
1 2 1 1
5 10 25 1
10 20 100 1
15 31 225 1
 
Solución: 
Aplicaremos la propiedad 5 de determinantes a 
las filas ( if ) así: 
2 32f f− + : significa que a la fila 2 la 
multiplicaremos por -2 y la sumaremos a la 
tercera. 
El resultado será almacenado en la fila 3. El 
propósito es obtener la mayor cantidad de 
elementos nulos. 
 
2 32
1 2 1 1
5 10 25 1
10 20 100 1
15 31 225 1
f f− +→ 
 
2 43
1 2 1 1
5 10 25 1
0 0 50 1
15 31 225 1
f f− +→
−
 
 
1 25
1 2 1 1
5 10 25 1
0 0 50 1
0 1 150 2
f f− +→
−
−
 
 
 
1 2 1 1
0 0 20 4
0 0 50 1
0 1 150 2
−
−
−
 
 
Ahora usaremos la Regla de Laplace: 
1 2 1 1
0 20 4
0 0 20 4
0 50 1
0 0 50 1
1 150 2
0 1 150 2
−
−
= −
−
−
−
 
0 20 4
20 4
0 50 1 180
50 1
1 150 2
−
−
= − = =
−
−