Cap 07

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188 
Análisis Combinatorio 
Potenciación 
Binomio de Newton 
 
FACTORIAL DE UN NÚMERO 
 
Se define al factorial de un número natural “n” 
como el producto que resulta de multiplicar todos 
los números naturales desde la unidad hasta el 
número “n”. 
Se denota como: n ! ó n y se lee “ factorial de n “. 
Así : 
 n ! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x ..... x n 
 
Ejemplo : 
5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 
 
Observación: Por convención se asume que : 0 ! = 1 
 
PROPIEDADES: 
1) Degradación : 
)!1n(n!n −= 
!)kn()1kn....()3n()2n()1n(n!n −+−−−−= 
 
2) Para dos números naturales a y b (a, b ≥ 1 ) . Si 
a ! = b ! entonces a = b 
3) (n + 1) ! + n ! = (n + 2) . n ! 
4) (n + 1) ! – n ! = n (n !) 
5) n ! + (n + 1) ! + (n + 2) ! = !n)2n( 2+ 
 
Observaciones : 
 
1. Si se cumple que 1!n = , entonces : n = 1 v n = 0 
2. Las operaciones aritméticas dentro de 
factoriales, no están definidas; es decir : 
 
(a ± b) ! ≠ a ! ± b ! (a . b) ! ≠ a ! x b ! 
!b
!a!
b
a
≠




 nn )!a(!)a( ≠ 
 
Ejemplo: Reducir E = 
!17!16
!18
!21
!22!21
+
+
+ 
Solución : Se observa que : 
 21 ! + 22 ! = (1 + 22) 21 ! = 23 . 21 ! 
 16 ! + 17 ! = 18 . 16 ! 
Entonces : E = 
!16.18
!18
!21
!21.23
+ 
E = 
!16.18
!16.17.1823 + 
 E = 23 + 17 = 40 
NÚMERO COMBINATORIO 
 
 
 
Siendo n y k números naturales, el número 
Combinatorio de n en k se denota por nkC y se 
define como: 
 
!k!)kn(
!nC nk −
= nk0 ≤≤ 
 
PROPIEDADES : 
 
1. nC n1 = ; 1C
n
n = ; 1C n0 = 
3. Combinatorios complementarios : 
n
kn
n
k CC −= 
4. Suma de números combinatorios : 
1n
1k
n
1k
n
k CCC
+
++ =+ 
4. Degradación de indices: 
 4.1. Ambos índices 1n 1k
n
k Ck
nC −−= 
 4.2. Indice superior 1nk
n
k Ckn
nC −
−
= 
 
4.3. Indice inferior n 1k
n
k Ck
1knC −
+−
= 
5. Igualdad de Números Combinatorios 





=+∧=
=∧=
⇔=
nqkmn
o
qkmn
CC mq
n
k 
6. Nn;2C..........CCC nnnn2
n
1
n
0 ∈=++++ 
7. Nn;1C..........CCC nnn3
n
2
n
1 ∈=±−+− 
8. parn;2C..........CCC 1nnnn4
n
2
n
0 ==++++
− 
9. imparn;2C..........CCC 1nnnn5
n
3
n
1 ==++++
− 
 
Ejemplo: Calcular 10 10 10 100 1 2 10...A C C C C= + + + + 
Solución : Por la propiedad 6 obtenemos: 
10 10 10 10 10
0 1 2 10... 2C C C C+ + + + = 
Entonces: A=1024 
 
Ejemplo: Calcular 11 11 11 111 3 5 11...T C C C C= + + + + 
 
 
 
 
 
189 
 
Solución : Por la propiedad 7 obtenemos: 
11 11 11 11 11 1 10
1 3 5 11... 2 2C C C C
−+ + + + = = 
Entonces: T=1024 
 Ejemplo: Calcular “n” en 
5
7
C
CC
2n
4
1n
3
n
2 =
+
+
+
 
Solución : 
 
5
7
C
3
1n
4
2n
3
1n1C
5
7
C
4
2n
C
3
1nC
n
2
n
2
1n
3
n
2
n
2
=





 +





 +





 ++
⇒=





 +
+
+
+
 
Simplificando se obtiene : 
5
7
2n3n
)4n(4
2 =++
+ ⇒ 066nn7 2 =−+ 
donde: 3n = y 
7
22n −= 
Luego n = 3 
 
 
COEFICIENTE BINOMIAL 
Si n ∈ R y K ∈ N, la notación 





k
n
 se lee 
“coeficiente binomial, de n en k” y se define por : 
 
 
!k
)1kn(...)3n()2n()1n(n
k
n
factoresk
444444 8444444 76
−
+−−−−
=




 
 
Ejemplo: Efectuar: 
a) 1
!5
)5()4()3()2()1(
5
1
−=
−−−−−
=




 −
 
b) 
128
5
!4
3
2
12
2
11
2
1
2
1
5
2
1
−
=





 −




 −




 −
=










 
c) 0
6.5.4.3.2.1
)2(.)1(.0.1.2.3
6
3
=
−−
=




 
 
 
 
 
PROPIEDADES : 
1) La suma de dos coeficientes binomiales : 
 





+
+
=





+
+





1k
1n
1k
n
k
n
 
2) nkCk
n
=




 para n ∈ N ∧ n ≥ k 
 
3) 0
k
n
=





 para n ∈ N ∧ k > n 
4) Degradación de : 
Ambos índices: 





−
−
=





1k
1n
k
n
k
n
 
 
Indice superior: 




 −
−
=





k
1n
kn
n
k
n
 
 
Indice inferior: 





−
+−
=





1k
n
.
k
1kn
k
n
 
 
BINOMIO DE NEWTON 
 
La potencia de un binomio es de la forma : 
n)ax( + y se denomina Binomio de Newton. 
 
Ejemplo: 
10
2
a
2x3 




 + (exponente natural) 
2/1)x1(x1 +≡+ (exponente fraccionario) 
( ) 1x1
x1
1 −−≡
−
 (exponente negativo) 
 
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON, 
PARA n ∈ N 
 
n22n1nnn a
n
n
......ax
2
n
ax
1
n
x
o
n
)ax( 





++





+





+





=+ −− 
 
Observaciones : En el desarrollo de n)ax( + 
notamos que : 
• Es un polinomio completo y homogéneo de grado n 
• Posee (n + 1) términos 
 
TÉRMINO GENERAL DE n)ax( + 
Para calcular el término de lugar )1k( + se utiliza la 
siguiente fórmula: 
 
kknn
k1k axCT
−
+ = 
 
Ejemplo: Calcular el quinto término del desarrollo 
de 72 )y2x( + 
 
 
 
 
 
190 
 
 
Solución: n = 7 ∧ k + 1 = 5 ⇒ k = 4 
 
 
( )
46
5
4644727
45
yx560T
)y16()x(35y2)x(CT
=
== −
 
 
Ejemplo: Calcular el término 14 del desarrollo de : 
E(x) = 
66
3x
x
1





 − 
Solución: 
 n = 66 k + 1 = 14 ⇒ k = 13 
 13313661661314 )x()x(CT −=
−− 
 3953661314 xxCT
−−= 
1466
1314 xCT
−−= 
Término central del desarrollo de (x + a) n 
 
Caso 1: Si n es par, el lugar del término central es: 
2
2nc TT += 
 
Caso 2: Si n es impar, existen dos términos 
centrales, cuyos lugares son: 
 
2
1n1c TT += y 
2
3n2c TT += 
 
 
Ejemplo: Hallar el término central de: 
423 )y3x2( − 
 
Solución: 
 222434212
2
24c )y3()x2(CTTT −===
−
++ 
 
 463 yx216T −= 
 
 
Ejemplo: Hallar los términos centrales de : 
 
5
2y
4
3x2 




 + 
Solución: 
43
2
2255
212
2
151c yx45y4
3)x2(CTTT =




=== −++ 
62
3
2355
313
2
352c yx8
135y
4
3)x2(CTTT =




=== −++ 
Término contado a partir del final 
 
knkn
k1k axCT
−
+ = 
 
 
Ejemplo: Halle el quinto término contado a partir 
del final del desarrollo de 732 )yx2( − . 
Solución: 
( ) ( )
98
5
33427
4141k
yx560T
yx2CTT
−=
−== ++ 
 
Observaciones: 
1. La suma de los exponentes de: nqp )yx( + es 
2
)1n(n.)qp(onentesexp ++=∑ 
2. La suma de los coeficientes de nqp )yx( β+α 
es : 
∑ β+α= n)(escoeficient 
 
Ejemplo: En la expansión de: ( )523 y3x2 + . Hallar la 
suma de sus exponentes y la suma de sus 
coeficientes. 
 
Solución: 
En la potencia 523 )y3x2( + se tiene que: 
3p = ; 2q = ; 5n = 
Luego: 
 a) ( ) 75
2
)15(523.exp =




 +
+==∑ 
 b) 31255)32(.coef =+=∑ 
 
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON, 
PARA EXPONENTE NEGATIVO 
 
El desarrollo de n)x1( + para −∈ Zn y 1x < , 
es de la forma: 
 
......x
4
n
x
3
n
x
2
n
x
1
n
0
n
)x1( 432n +





+





+





+





+





=+
 
Nota: Se observa que el número de términos de su 
desarrollo es ILIMITADO 
 
 
 
TÉRMINO GENERAL DE n)x1( + 
 
 
 
 
 
191 
 
El término general se determina por: 
 k1k xk
n
T 





=+ 
donde: 
1k + : lugar que ocupa el término pedido. 
n : exponente del binomio 
 
Ejemplo: Hallar la expansión de 2)x1( −− , 
 | x | < 1 
Solución : 
....x
3
2
x
2
2
x
1
2
0
2
)x1( 322 +




−
−




 −
+




 −
−




 −
=− − 
....x)4(x3x)2(1)x1( 322 +−−+−−=− − 
....x4x3x21)x1( 322 ++++=− − 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
 
1. Principio de la adición : 
 Si un evento “A” ocurre de “m” maneras 
diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” 
maneras diferentes, siendo ambos mutuamente 
excluyentes (No pueden ocurrir A y B 
simultáneamente); entonces la ocurrencia de 
los eventos: “A o B” sucede de )nm( + maneras 
diferentes. 
 
 Ejemplo: Una persona desea viajar de 
Huancayo a Chiclayo por vía aérea, usando 2 
líneas de transporte aéreo o por vía terrestre 
a través de 3 líneas de ómnibus 
 ¿De cuántas formas puede realizar el viaje de 
Huancayoa Chiclayo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del diagrama se obtiene que el número de 
formas en que puede realizar el viaje es: 
532 =+ 
 
2. Principio de la multiplicación 
 Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras 
diferentes y después de haber ocurrido 
cualquiera de ellos, otro evento “B” puede 
ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la 
ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de 
(m x n) maneras diferentes 
 
 
Ejemplo: Luis tiene 2 polos distintos y 3 
pantalones diferentes. ¿De cuántas maneras 
distintas puede vestirse utilizando dichas prendas? 
 
Solución: Utilizando el esquema de diagrama 
del árbol para mostrar los diferentes casos que se 
presentan, se tiene : 
 Polo Pantalón 
 M -------- AM 
 A N -------- AN 
 P -------- AP 
 
 M -------- BM 
 B N -------- BN 
 P -------- BP 
Del diagrama se obtiene que el número de maneras 
distintas de vestir es: 2 x 3 = 6 
 
 
PERMUTACIONES 
 
Es el arreglo u ordenación de todos los elementos 
de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de 
otro por el orden de ubicación de sus elementos. 
 
Para n objetos diferentes, el número de 
permutaciones nP está dado por: 
 
nP = n ! 
 
Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 
niños formando una fila ?. 
Solución : 3 ! = 6 maneras posibles 
 
Ejemplo: La Directora del C.P.U., inspecciona 5 
aulas diferentes del curso de Algebra. Para 
supervisar a los profesores sin que éstos sepan en 
qué orden lo hará, varía el orden de las 
inspecciones. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 
 
 
Solución : El número de maneras diferentes que la 
Directora puede supervisar las aulas está dado por: 
 
5P = 5 ! = 120 
 
 
PERMUTACIÓN CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
192 
 
Es el arreglo que se puede hacer con los elementos 
de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva 
cerrada de forma circular 
El número de permutaciones circulares de n 
elementos, está dado por: 
 
 
c
nP = ( n – 1 ) ! 
 
Ejemplo: Alrededor de una torta circular de 
cumpleaños, se ubican 6 velas diferentes. ¿De 
cuántas maneras pueden ser ubicadas? 
 
Solución : El número de maneras está dado por :
 120!5!)16(Pc6 ==−= 
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN 
 
El número de permutaciones de n objetos en el que 
se repiten alguno de ellos esta dado por: 
 
!k...!k!k!k
!nP
m321
n
)mk...3k,2k,1k(
= 
 
Donde 
m321 k,.......,k,k,k : Número de veces que se 
repite cada elemento. 
 
nk.......kkk m321 =++++ : Número total de 
elementos. 
 
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden 
permutar 2 bolas rojas, 5 amarillas, 3 azules?. 
 
Solución : 2520
!3!5!2
!10P 10 3,5,2 == 
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se 
pueden ordenar las letras de la palabra Socorro? 
Solución : La letra O , se repite 3 veces 
 La letra r , se repite 2 veces 
 La letra S , se repite 1 vez 
 La letra C , se repite 1 vez 
 
 Luego : 420
!1!1!2!3
!7P7 1,1,2,3 == 
 
VARIACIONES 
 
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse 
con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo 
en cuenta el orden de sus elementos. 
El número de variaciones está dado por: 
 
 
! ;
( )!
n
k
nV n k
n k
= ≥
−
 
 
Nótese que una variación es un caso particular de 
una permutación. 
 
Ejemplo: Con los colores del arco iris ¿Cuántas 
banderas bicolores distintas se puede formar? 
 
Solución : Como el arco iris tiene 7 colores y el 
orden de los colores influye en el resultado, el 
número de banderas está dado por: 
426.7
!5
!5.6.7
!)27(
!7V 72 ===−
= 
 
COMBINACIONES 
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse 
con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo 
que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos 
en un elemento. 
El número de combinaciones está dado por: 
 
 
! ;
( )! !
n
k
nC n k
n k k
= ≥
−
 
 
Ejemplo: Un estudiante del CPU de la UNPRG, 
tiene que resolver solamente 8 preguntas de 10 en 
un examen de admisión. ¿Cuántas maneras de 
escoger las preguntas tiene el estudiante? 
 
Solución: El estudiante puede empezar a resolver 
por cualquiera de las 10 preguntas, Entonces el 
número de maneras de escoger las 8 preguntas es: 
45
!8!2
!8.9.10
!8!)810(
!10C 108 ==−
= 
 
 
 
 
 
193 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
1. Reducir: 
1n
C........
3
C
2
C
CE
n
n
n
2
n
1n
0 +
++++= 
Multiplicando por (n+1) se tiene: 
n
n
n
2
n
1
n
0 C1n
)1n(........C
3
)1n(C
2
)1n(C)1n(E)1n(
+
+
+
+
+
+
++=+
 
Por consecuencia de degradación de índices: 
1n
1n
1n
3
1n
2
1n
1 C........CCCE)1n(
+
+
+++ +++=+ 
Sumando y restando al segundo miembro 1n0c
+ 
tenemos: 
1n
0
1n
1n
1n
3
1n
2
1n
1
1n
0 cc......ccccE)1n(
++
+
++++ −++++=+ 
 
1C........CCCCE)1n( 1n 1n
1n
3
1n
2
1n
1
1n
0 −++++=+
+
+
++++ 
 12E)1n( 1n −=+ + 
 Por lo tanto:
1n
12E
1n
+
−
=
+
 
2. Hallar el termino independiente de de x, en: 
9
2
x3
1x
2
3





 − 
Resolución: De la formula general : 
kkn
1k yxk
n
T −+ 





= 
Calcularemos el término que ocupa el lugar k+1 
k
1
k9
2
1k x3
1x
2
3
k
9
T 




 −











= −
−
+ 
( ) k318
kk9
1k x3
1
2
3
k
9
T −
−
+ 




 −











= 
Para que el término sea independiente el grado 
de la variable debe ser igual a cero. Entonces: 
 0k318 =− 
entonces k = 6 , luego calculando el término 
independiente : 
669
16 3
1
2
3
6
9
T 




−











=
−
+ 
33
63
7
2.3
1.
3.2.1
7.8.9
3
1
2
3
6
9
T =




−











= 
18
7T7 = 
 
 
3. En el desarrollo de: n23 )yx3( − , hallar “n” si la 
suma de coeficientes es 1024 
Solución: 
De la formula: nqp )yx( β+α entonces: 
n
coef )( β+α=∑ 
Reemplazando valores tenemos: 
10242)13( nncoef ==−=∑ 
 
10n 22 = ⇒ 10n = 
4. Un club dispone de 15 jugadores: 8 varones y 7 
damas. Se desea formar un equipo de 11 
jugadores, donde participan 6 varones. De 
cuantas maneras se puede formar dicho equipo. 
Solución: 
Obsérvese que la selección de los jugadores no 
implica orden alguno, en consecuencia se trata 
de una combinación. 
Además tenemos que de los 8 varones se 
considera 6 y para tener 11 jugadores se 
completan con 5 damas: 
 
 jugadores Varones y Damas 
15 8 7 
 Equipo 86C . 
7
5C 
Por complementarios 82C . 
7
2C 
Entonces el número de maneras que se puede 
formar el equipo es: 588
2.1
6.7.
2.1
7.8
= 
 
5. Simplificar: 
[ ] !829
!8!91!8
)!8.()!7(9
)!9.()!7.()!8(E
+
= 
Solución: 
!8.2!8.9!8
!8!91!8
)!8.()!7(9
)!8.9.()!7.()!8(E
+
= 
!8.2!8.9!8
!8!8!91!8
)!8.()!7(9
!8.9.)!7.()!8(E
+
= 
!8.2!9!8
!8!91!8.2
)!8.()!7(9
9.)!7.()!8(E
+
= =8!