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Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Matemáticas IV para CSH
El modelo de Leontief
Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa
5 de Marzo de 2012
Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
El modelo de Leontief
El análisis de cuadros de insumo producto, fue desarrollado
por W. Leontief en 1936, como un instrumento de
interpolación de las interdependencias de los diversos
sectores de la economía.
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El modelo de
Leontieff
El cuadro de transacciones interindustriales:
Compras (↓) Demanda Demanda Demanda
\ intermedia final bruta
Ventas (→) x = (xij) y = (yi) X = (Xi)
Sect.1
Sect. 2
Sect. 3
Sect. 1 Sect. 2 Sect. 3
600 400 1400
1500 800 700
900 2800 700
600
1000
2600
3000
4000
7000
Ésta es una tabla de transacciones intersectoriales, que
muestra cómo se interrelacionan todas las industrias, en el
sentido de que cada una adquiere productos fabricados por
las demás a fin de levar a cabo su propio proceso.
La columna j de la matriz x = (xij) representa las compras
que el sector j a realizado a los otros sectores. Las
columnas de la matriz (xij) representan la demanda
intermedia, y corresponden a los insumos que los sectores
adquieren para fabricar otros productos, i.e. corresponden a
los bienes que no llegan al consumidor final.
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El modelo de
Leontieff
El vector columna y = (yi) representa las compras que los
consumidores finales efectuan a los sectores de
producción. Este vector columna recibe el nombre de
demanda final o utilización final, ya que corresponde a los
bienes que no se utilizan como insumos intermedios para
producir otros bienes, esto es, satisfacen una necesidad de
algún consumidor final.
La matriz x = (xij) corresponde a las ventas que el sector i
ha efectuado al sector j .
El vector columna X = (Xi) es el valor bruto de la
producción de cada sector, es decir, la producción bruta de
cada uno de los sectores.
Estas cifras se calculan sumando las ventas de cada sector
ha efectuado a cada uno de los sectores de la economía.
La producción bruta de cada sector es igual a la suma de
las ventas de demanda intermedia y las ventas de la
demanda final.
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El modelo de
Leontieff
Como la producción bruta de cada sector es igual a la suma
de las ventas a la demanda intermedia más las ventas a la
demanda final, las relaciones se pueden expresar como
sigue:
Xi =
3
∑
j=1
xij + yi para i = 1, 2, 3
o en términos matriciales


X1
X2
X3

 =


x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33




1
1
1

+


y1
y2
y3


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El modelo de
Leontieff
Para seguir la cadena de reacciones directas e indirectas
que tienden a modificar todo el flujo de transacciones
interindustriales, debemos elaborar una segunda tabla,
denominada la matriz de coeficientes técnicos o matriz de
insumo - producto.
En cada transacción existen dos sectores: el sector
vendedor, que indicamos con el subíndice i y el sector
comprador que representamos con el subíndice j .
Relacionando cada xij (ventas del sector i al sector j) con la
producción bruta Xj del sector comprador, definimos asi el
coeficiente técnico
aij =
xij
Xj
.
Cada coeficiente aij representa los requerimentos de
insumos del sector i necesarios para producir una unidad
del producto j .
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El modelo de
Leontieff
Nota:
Se supondrá que existe proporcionalidad directa entre la
producción bruta del sector j y el volumen total de los
insumos que este sector adquiere de los demás sectores
proveedores. En otras palabras los insumos que venden los
sectores proveedores varían en la misma proporción en que
se modifica la producción bruta del sector que los adquiere.
Si se acepta esto, se está admitiendo que los coeficientes
técnicos aij son constantes, y por lo tanto se tiene la
ecuación
xij = aijXj ,
que indica que las compras que un sector j efectúa a otro
sector i , se calculan multiplicando la producción bruta de
ese sector Xj , por un coeficiente constante, aij .
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El modelo de
Leontieff
Como
(xij) =


600 400 1400
1500 800 700
500 2800 700

 , y (Xi) =


3000
4000
7000


entonces
(aij) =






600
3000
400
4000
1400
7000
1500
3000
800
4000
700
7000
900
3000
2800
4000
700
7000






=


0.2 0.1 0.2
0.5 0.2 0.1
0.3 0.7 0.1


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Como xij = aijXj entonces:
Xi =
3
∑
j=1
xij + yi
=
3
∑
j=1
aijXj + yi
lo cual se puede escribir matricialmente como:
X = AX + y
es decir


X1
X2
X3

 =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




X1
X2
X3

+


y1
y2
y3


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El modelo de
Leontieff
La matriz de Leontieff y su
inversa
Como la matriz A = (aij) es constante durante un ciero
periodo de tiempo, podemos utilizar el sistema de
ecuaciones
X = AX + y
para determinar el nivel de producción bruta que se
requiere en cada sector para satisfacer la demanda final
prevista para el periodo siguiente.
Supongamos que se trata de satisfacer un aumento en la
demanda final para el próximo periodod e actividad de 400
unidades en el sector 1, 200 unidades en el sector 2, y 200
unidades en el sector 3: ¿ cuáles deben se los valores de
X1, X2 y X3 que permitirán satisfacer estos incrementos?
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El modelo de
Leontieff
Operando algebraicamente sobre la expresión X = AX + y
tenemos:
X = AX + y
X − AX = y
IX − AX = y
(I − A)X = y
IX = (I − A)−1y
X = (I − A)−1y
donde I denota la matriz identidad.
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El modelo de
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Observaciones:
1 Como (I − A)−1 debe existir, det(I − A) 6= 0.
2 Cada elemento de (I − A)−1 debe ser no negativo, pues de lo
contrario un incremento en la demanda final resultaría en un
decremento en la producción en algún punto del proceso de
producción. Se puede demostrar que, a fin de que los niveles
positivos de producción bruta estén asociados a cualquier conjunto
dado de demandas positivas, se requieren las siguientes
condiciones:
1 1 > aij ≥ 0.
2 det(I − A) > 0.
3 Cualquier subconjunto de k industrias de las n consideradas debe
ser capaz de satisfacer las demandas interindustriales y las
externas a las k industrias. Todos los menores principales del
determinante de Leontief det(I − A) deben ser positivos.1
1Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define Mi como una
submatriz de A tal que esté compuesta por las i primeras filas y columnas
de A. Los menores principales de A son los determinantes de las matrices
M1,M2, . . . ,Mn.
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Leontieff
La matriz de Leontief y su inversa
La matriz (I − A) se denomina la matriz de Leontief y la
matriz (I − A)−1 es la matriz inversa de Leontief, o matriz de
coeficientes de requerimientos directos e indirectos por
unidad de demanda final.
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Leontieff
En nuestro ejemplo:
I − A =






1 0 0
0 1 0
0 0 1






−






600
3000
400
4000
1400
7000
1500
3000
800
4000
700
7000
900
3000
2800
4000
700
7000






Efectuando la operación y simplificando tenemos que la
matriz I − A es igual a:


4/5 −1/10 −1/5
−1/2 4/5 −1/10
−3/10 −7/10 9/10

 =


0.8 −0.1 −0.2
−0.5 0.8 −0.1
−0.3 −0.7 0.9


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El modelo de
Leontieff Usando algún método para calcular (I − A)−1 tenemos
(I − A)−1 =


325/177 115/177 85/177
80/59 110/59 30/59
5/3 5/3 5/3


∼


1.836158 0.649717 0.480226
1.355932 1.864406 0.508474
1.666667 1.666667 1.666667


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Laura
Hidalgo SolísEl modelo de
Leontieff Antes de utilizar la matriz inversa de Leontief con fines de
proyección, verificaremos que los datos esán correctos para
el año que estamos considerando. Para esto se debe
cumplir que X (0) = (I − A)−1y (0), donde X (0) y y (0) son las
matrices de las columnas que indican la demanda bruta y la
demanda final en nuestra tabla original, esto es:
X (0) =


3000
4000
7000

 , y (0) =


600
1000
2600


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Leontieff
Reemplazando los valores tenemos:
(I − A)−1y (0) =






325
177
115
177
85
177
80
59
110
59
30
59
5
3
5
3
5
3












600
1000
2600






=


3000
4000
7000

 = X (0)
Pero, ¿qué sucede si utilizamos la aproximación decimal
para (I − A)−1?
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Leontieff
En este caso tenemos que (I − A)−1y (0) es casi igual a:
X (0) ≃


1.836158 0.649717 0.480226
1.355932 1.864406 0.508474
1.666667 1.666667 1.666667




600
1000
2600


Esto es:
X (0) =


3000
4000
7000

 ≃


2999.999400
3999.996400
7000.001400


Por lo que, al trabajar con la expresión decimal, tenemos qu
e el vector practicamente coincide con los datos originales,
y se puede trabajar la matriz inversa de Leontief usando
esta aproximación.
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Leontieff
Ahora, tomando en cuenta los incrementos previstos en la
demanda final, se tiene que satisfacer para el aõ próximo
los niveles
y (1) = y (0) +∆y =


600
1000
2600

+


400
200
200

 =


1000
1200
2800


que al sustituirlos en la ecuación matricial
X (1) = (I − A)−1y (1)
permiten obtener los siguientes niveles estimados:
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Leontieff
X (1) =






325
177
115
177
85
177
80
59
110
59
30
59
5
3
5
3
5
3












1000
1200
2800






=


701000/177
296000/59
25000/3


≃


3960.451977
5016.949153
8333.333335

 ≃


3960
5017
8333


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Leontieff
Por otra parte, si hubieramos utilizado la epresión de la
matriz inversa de Leontief para realizar este cálculo
obtenemos:
X (1) ≃


1.836158 0.649717 0.480226
1.355932 1.864406 0.508474
1.666667 1.666667 1.666667




1000
1200
2800


=


3960.451200
5016.944400
8333.335000

 ≃


3960
5017
8333


Lo cual nos da una muy buena aproximación para la
solución del problema
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El modelo de
Leontieff Comparando el vector X (1) con el X (0), se obtienen las
cifras del incremento de producción de cada sector,
necesarios para satisfacer el incremento previsto en la
demanda final:
∆X = X (1) − X (0) =


3960
5017
8333

−


3000
4000
7000

 =


960
1017
1333


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Leontieff
Esto significa que para satisfacer los incrementos previstos
de demanda final sectorial de
∆Y =


400
200
200


se deben generar en el sistema de producción los
siguientes incrementos de producción bruta:
∆X =


960
1017
1333


Cabe notar la falta de proporcionalidad entre el incremento
en la demanda final ∆Y y el incremento en la producción
bruta ∆X correspondiente al mismo sector. Esto se debe a
la complejidad de las interrelaciones relativamente
importantes.
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Algoritmo
Dado un cuadro de transaciones interindustriales, o
intersectoriales entre n sectores:
Compras (↓) Demanda Demanda Demanda
Ventas (→) intermedia final bruta
1 Se construyen las matrices:
1 x = (xij) ∈ Mn×n de demanda intermedia, donde xij
representa las ventas que el sector i ha hecho al sector
j .
2 y = (yi) ∈ Mn×1 de demanda final, donde yi representa
la demanda final correspondiente al sector i .
3 X = (Xi) ∈ Mn×1 de producción bruta, donde Xi
representa la producción bruta del sector i .
2 Si (1) ∈ Mn×1 representa la matriz cuyas entradas son
todas 1, entonces se cumple la relación:
X = x · (1) + y
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El modelo de
Leontieff
3 Se define la matriz A = (aij) ∈ Mn×n de coeficientes
técnicos, donde aij =
xij
Xj
.
4 La matriz A de coeficientes técnicos satisface la
relación:
X = AX + y .
5 Se construye la matriz de Leontief (I − A) ∈ Mn×n.
6 Se obtiene la matriz inversa de Leontief (I − A)−1.
7 Si denotamos por X (0) la matriz de producción bruta
original, y por y (0) la matriz de demanda final original,
entonces debe cumplirse la relación:
X (0) = (I − A)−1y (0).
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8 Si se proyecta un incremento ∆y en la demanda final,
se define y (1) = y (0) +∆y .
9 Se obtinen los niveles estimados de producción bruta
X (1) = (I − A)−1y (1).
10 Si se compara el vector columna X (1) con el vector
columna X (0), se obtienen las cifras del incremento de
producción de cada sector necesarios para satisfacel el
incremento previsto en la demanda final:
∆X = X (1) − X (0).
Esto significa que para satisfacer los incrementos ∆y
previstos de demanda final sectorial, se deben generar
en el sistema de producción los incrementos ∆X de
producción bruta.
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Ejercicio 1
Se han obtenido los siguientes datos respecto de la
operación global de una economía nacional a nivel de sus
tres sectores fundamentales, que se resumen en este
cuadro de transacciones interseccionales:
Sectores A I S Prod. Prod.
final bruta
A 80 160 0 160 400
I 40 40 20 300 400
S 0 40 10 50 100
Construya la matriz de insumo-producto, la matriz de
Leontief y su inversa. Con estos elementos y suponiendo
que se desea incrementar un 15% el producto del sector
industrial y un 12% el del sector de servicios, ¿cuál será el
incremento requerido en la producción bruta del sector
agrícola?
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Leontieff
1 Definimos
x :=


80 160 0
40 40 20
0 40 10

 , y =


160
300
50

 , X =


400
400
100


2 Verificamos que X = x · (1) + y es decir:


400
400
100

 =


80 160 0
40 40 20
0 40 10




1
1
1

+


160
300
50


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Leontieff
3 Se define la matriz A = (aij) ∈ Mn×n de coeficientes
técnicos, donde aij =
xij
Xj
.
A =






80
400
160
400
0
100
40
400
40
400
20
100
0
400
40
400
10
100






=






1
5
2
5 0
1
10
1
10
1
5
0 110
1
10






=


0.2 0.4 0
0.1 0.1 0.2
0 0.1 0.1


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El modelo de
Leontieff 4 Se verifica que la matriz A, de coeficientes técnicos,
satisface la relación X = AX + y .
AX + y =


0.2 0.4 0
0.1 0.1 0.2
0 0.1 0.1




400
400
100

+


160
300
50


=


240
100
50

+


160
300
50

 =


400
400
100

 = X
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El modelo de
Leontieff
5 Se construye la matriz de Leontief (I − A):


4/5 −2/5 0
−1/10 9/10 −1/5
0 −1/10 9/10

 =


0.8 −0.4 0
−0.1 0.9 −0.2
0 −0.1 0.9


6 Se obtine la matriz inversa de Leontief (I − A)−1:


395
298
90
149
20
149
45
298
180
149
40
149
5
298
20
149
170
149

 ≃


1.325 0.604 0.013
0.151 1.208 0.268
0.017 0.134 1.141


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El modelo de
Leontieff
7 Se verifica que X (0) = (I − A)−1y (0), lo haremos de dos
formas, primero con la expresión exacta:


395
298
90
149
20
149
45
298
180
149
40
149
5
298
20
149
170
149




160
300
50

 =


400
400
100


y posteriormente con la aproximación:


1.325 0.604 0.013
0.1511.208 0.268
0.017 0.134 1.141




160
300
50

 =


393.850
399.960
99.970

 ≃


400
400
100


lo cual nos da una buena aproximación de X (0).
Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
8 Se proyecta un incremento ∆y =


0
45
6

 en la
demanda final, se define y (1) = y (0) +∆y =


160
345
56

.
Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
9 Se obtinen los niveles estimados de producción bruta
X (1) = (I − A)−1y (1).
X (1) =


395
298
90
149
20
149
45
298
180
149
40
149
5
298
20
149
170
149




160
345
56


=


63770/149
67940/149
16820/149

 ≃


427.986
455.973
112.886


O usando la matriz que nos da la aproximación de la
matriz inversa de Leontief tenemos que X (1) =


1.325 0.604 0.013
0.151 1.208 0.268
0.017 0.134 1.141




160
345
56

 =


421.108
455.928
112.846


Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
10 Si se compara el vector columna X (1) con el vector
columna X (0), se obtienen las cifras del incremento de
producción de cada sector necesarios para satisfacer
el incremento previsto en la demanda final:
∆X = X (1) − X (0) =


63770/149
67940/149
16820/149

−


400
400
100


=


4170/149
8340/149
1920/149

 ≃


27.99
55.97
12.89

 .
Esto significa que para satisfacer los incrementos ∆y
previstos de demanda final sectorial, se deben generar
en el sistema de producción los incrementos ∆X de
producción bruta. En particular, se requiere un
incremento de 27.99 uniades monetarias en la
producción bruta del sector agrícola.
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IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Ejercicio 2
Supóngase que en un sistema económico con tres
industrias las demandas externas son respectivamente 10,
25 y 30. Considere que la matriz de coeficientes técnicos es
A :=


0.20 0.50 0.15
0.40 0.10 0.30
0.25 0.50 0.15

 .
Encuentre la producción en cada industria para equilibrar
con exactitud la oferta con la demanda.
Solución: La matriz de Leontief está dada como
I − A =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

−


0.20 0.50 0.15
0.40 0.10 0.30
0.25 0.50 0.15


=


0.80 −0.50 −0.15
−0.40 0.90 −0.30
−0.25 −0.50 0.85


Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
La inversa de la matriz de Leontief es:
(I − A)−1 ≃


2.789 2.265 1.291
1.880 2.910 1.359
1.925 2.378 2.356


Y como X = (I − A)−1y entonces:
X ≃


2.789 2.265 1.291
1.880 2.910 1.359
1.925 2.378 2.356




10
25
20

 =


110.335
118.730
125.820

 .
Se concluye así que las producciones requeridas para
igualar la disponibilidad con la demanda son,
aproximadamente, X1 = 110.335, X2 = 118.730 y
X3 = 125.820.
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IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Ejercicio 3
Encuentre el vector columna X de producción en el modelo
de Leontief si y =


30
20
40

 y además A =


1
5
1
5 0
2
5
2
5
3
5
1
5
1
10
2
5

.
Como X = (I − A)−1y , debemos obtener primero la matriz
de Leontief, y calcular su inversa.
La matriz de Leontief es
I − A =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

−


1
5
1
5 0
2
5
2
5
3
5
1
5
1
10
2
5


=


4/5 −1/5 0
−2/5 3/5 −3/5
−1/5 −1/10 3/5


Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
La matriz inversa de Leontief es
(I − A)−1 =


25/14 5/7 5/7
15/7 20/7 20/7
20/21 5/7 50/21


de donde
X = (I − A)−1y =


25/14 5/7 5/7
15/7 20/7 20/7
20/21 5/7 50/21




30
20
40


=


675/7
1650/7
2900/21

 ≃


96.42857143
235.7142858
138.0952381


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IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Ejercicio 4
Considere una economía de tres industrias A, B y C,
representadas por la siguiente tabla:
Consumidor (↓) Demanda Demanda Producción
\ intermedia externa total
Productor (→) x = (xij) y = (yi) X = (Xi)
A
B
C
A B C
90 150 225
135 150 300
270 200 300
75
15
130
540
600
900
Los datos son en millones de dólares de productos.
Obtenga la matriz de coeficientes tecnológicos, la matriz de
Leontief y la inversa de la matriz de Leontief
correspondientes a este sistema de entradas y salidas.
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IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
La matriz de ventas entre las industrias es x = (xij), el
vector columna de demanda externa es y = (yi) y el vector
columna de producción total es X = (xi), donde:
x =


90 150 225
135 150 300
270 200 300

 , y =


75
15
130

 , X =


540
600
900


La matriz de coeficientes tecnológicos es A = (aij) donde
aij =
xij
Xj
:
A =






90
540
150
600
225
900
135
540
150
600
300
900
270
540
200
600
300
900






=






1
6
1
4
1
4
1
4
1
4
1
3
1
2
1
3
1
3






Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
La matriz de Leontief es
I − A =






1 0 0
0 1 0
0 0 1






−






1
6
1
4
1
4
1
4
1
4
1
3
1
2
1
3
1
3






=






5
6 −
1
4 −
1
4
−14
3
4 −
1
3
−12 −
1
3
2
3






Matemáticas
IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
La inversa de la matriz de Leontief está dada como
(I−A)−1 =






336
109
216
109
234
109
288
109
372
109
294
109
396
109
348
109
486
109






≃


3.083 1.982 2.147
2.642 3.413 2.697
3.633 3.193 4.459


y notamos que se cumple la condición X = (I −A)−1y , pues






336
109
216
109
234
109
288
109
372
109
294
109
396
109
348
109
486
109








75
15
130

 =


540
600
900


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IV para CSH
Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Por otra parte, si utilizamos la aproximación para la matriz
inversa, obtenemos
X ≃


3.083 1.982 2.147
2.642 3.413 2.697
3.633 3.193 4.459




75
15
130

 =


540.065
599.955
900.040


Matemáticas
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Laura
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El modelo de
Leontieff
Supongamos que, debido a una crisis económica, se
proyecta que el próximo año la demanda externa cambie a
50 para A, a 20 para B y a 60 para C, ¿Como variará la
producción total de esta economía?.
Como
y (1) =


50
20
60


entonces
X (1) = (I − A)−1y (1) =






336
109
216
109
234
109
288
109
372
109
294
109
396
109
348
109
486
109








50
20
60


=


35160/109
39480/109
55920/109

 ≃


322.5688074
362.2018349
513.0275230


Matemáticas
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Laura
Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Por lo que
∆X = X (1) − X (0) ≃


322.5688074
362.2018349
513.0275230

−


540
600
900


=


−217.4311926
−237.7981651
−386.9724770


Lo cual significa que la pérdidas proyectadas, en millones
de dólares, son de −217.4311926 para la industria A, de
−237.7981651 para la industria B y de −386.9724770 para
la industria C.
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IV para CSH
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El modelo de
Leontieff
Ejercicio 5
Se pide consejo a un economista para asesorar a un país
cuya economía consiste de tres industrias. Las demandas
internas de estas industrias están expresadas en la matriz
de coeficientes técnicos
A =


0.2 0.4 0.2
0.7 0.3 0.8
0.3 0.4 0.1

 .
El economista se horroriza con estos datos y comenta que
el país está en un serio problema económico. ¿Por qué
llega a esa conclusión?
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El modelo de
Leontieff
La matriz de Leontief asociada es
I − A =


0.8 −0.4 −0.2
−0.7 0.7 −0.8
−0.3 −0.4 0.9

 , det(I − A) = −0.198
y su matriz inversa está dada como:
(I − A)−1 ≃


−1.566 −2.222 −2.323
−4.393 −3.333 −3.939
−2.475 −2.222 −1.414


De acuero a nuestras observaciones sobre el modelo de
Leontief, cada elemento de (I − A)−1 debe ser no negativo,pues de lo contrario, un incremento en la demanda final
resultaría en un decremento en la producción en algún
punto del proceso de producción.
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Hidalgo Solís
El modelo de
Leontieff
Referencias
Stanley I. Grossmann, Aplicaciones de Álgebra Lineal,
Grupo editorial Iberoamérica, S.A. de C.V., México, D.F.,
1988.
Ariel Kleiman & Elena K. de Kleiman, Matrices.
Aplicaciones matemáticas en economía y
administración. Ed. Limusa, Grupo Noriega Editores,
México, D.F. 1995.
Jean E. Weber. Matemáticas para administración y
economía. Ed. Harla, México, 1984.
	El modelo de Leontieff