Anual Uni_Semana 2_Geometría

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Tema: TRIÁNGULOS II
. CLASIFICACION DE TRIANGULOS
. LINEAS NOTABLES 
. TEOREMAS CON BISECTRICES
PLANA DE GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
RECONOCER LOS DIFERENTES TIPOS DE TRIÁNGULOS.
CONOCER LAS LÍNEAS NOTABLES Y ÁNGULOS 
DETERMINADOS POR ELLAS EN EL TRIÁNGULO.
APLICAR TODO LO APRENDIDO EN PROBLEMAS TIPO 
EXAMEN DE ADMISONES.
Museo de FRAM NORUEGA.
Estructura de puentes
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS EJEMPLO
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻
Si 𝜃𝜃 < 90°,𝛼𝛼 < 90°,𝛽𝛽 < 90°
𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑐𝑐
Entonces el ∆ es acutángulo.
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝑶𝑶𝑻𝑻𝑻𝑻𝑶𝑶𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻
Si 𝜃𝜃 > 90°
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝒂𝒂 > 𝒃𝒃; 𝒂𝒂 > 𝒄𝒄
Entonces el ∆ es obtusángulo.
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝑹𝑹𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻
T. de Pitágoras:
𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎2
Si 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90°
Además:
𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 = 90°
𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝑏𝑏𝑐𝑐
𝑎𝑎
Entonces el ⊿ es rectángulo.
𝒃𝒃 > 𝒂𝒂; 𝒃𝒃 > 𝒄𝒄
En el grafico, AM=6 y ML=5. calcule AL
𝐴𝐴
𝐿𝐿
𝑀𝑀
𝛼𝛼 90°-𝛼𝛼
𝜔𝜔
𝜔𝜔
6
𝑥𝑥
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑥𝑥
5
• 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑃𝑃𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡
∅
∅ + 𝜔𝜔 = 90° − 𝛼𝛼 + 𝜔𝜔
∅ = 90° − 𝛼𝛼
• 𝐸𝐸𝑃𝑃 ⊿𝐴𝐴𝑀𝑀𝐿𝐿(𝑇𝑇.𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑡𝑡)
𝑥𝑥2 + 52 = 62
∴ 𝑥𝑥 = 11
NOTA
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
𝜃𝜃
𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑐𝑐
Si 𝜃𝜃 < 90°
𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2→
Si 90° < 𝜃𝜃
→ 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 < 𝑎𝑎2
𝑚𝑚
𝑃𝑃
𝑐𝑐
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑎𝑎𝑐𝑐
𝑏𝑏
 Si el ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 es acutángulo
 Como se quiere determinar una relación con elementos 
cuadráticos, lo más conveniente sería aprovechar el teorema de 
Pitágoras. 
 Trazamos 𝐴𝐴𝑃𝑃 perpendicular al 𝐴𝐴𝐴𝐴, tal que 𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝑐𝑐
 Construimos un ⊿rectángulo 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴, tal que 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑚𝑚
 Por teorema de Pitágoras:
𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = 𝑚𝑚2………(1)
 Además el ∆𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴 es isósceles:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃
 Entonces en el ∆𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴 se observa:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝜃𝜃 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 + ⋯
 Por teorema de correspondencia:
Como 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 < 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃
→ 𝑎𝑎 < 𝑚𝑚 elevamos al cuadrado
𝑎𝑎2 < 𝑚𝑚2………..(2)
 Reemplazamos (1) en (2):
 𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2
α θ α+θ
DEMOSTRAR: 𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2
𝜃𝜃
→ 𝜃𝜃 < 90°
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
EJEMPLO:
En el grafico, Calcule el números valores enteros de x. 
Si 𝜃𝜃 < 90°.
𝜃𝜃
𝑥𝑥6
8
RESOLUCIÓN:
𝜃𝜃
𝑥𝑥6
8
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃:𝑃𝑃𝑛𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑥𝑥
• 𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃𝑡𝑡𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑃𝑃𝑎𝑎
8 − 6 < 𝑥𝑥 < 6 + 8
2 < 𝑥𝑥 < 14
𝑥𝑥 = 3; 4; … . . 13
• 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜃𝜃 < 90°
𝑥𝑥2 < 62 + 82→
𝑥𝑥2 < 36 + 64
𝑥𝑥 < 10
𝐸𝐸𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡
2 < x < 10
𝑥𝑥 = 3; 4; 5; 6; 7; 8 𝑦𝑦 9
∴ 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎 7 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑆𝑆𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑃𝑃𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃 𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑥𝑥.
∴ 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑡𝑡 9
∴ 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑡𝑡 3
Entonces recuerda que,
en los problemas debes
estar muy atento al tipo
de ángulo que se van a
presentar
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS EJEMPLO
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑶𝑶𝑨𝑨𝑨𝑨𝑻𝑻𝑹𝑹𝑻𝑻𝑻𝑻
Si 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 ≠ 𝑐𝑐, 𝑎𝑎 ≠ 𝑐𝑐
𝜃𝜃 ≠ 𝛽𝛽, 𝛽𝛽 ≠ 𝛼𝛼,
𝜃𝜃 ≠ 𝛼𝛼
𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑐𝑐
Entonces el ∆ es escaleno
Además:
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝑶𝑶𝑰𝑶𝑶𝑨𝑨𝑹𝑹𝑻𝑻𝑹𝑹𝑶𝑶
Si 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎
𝐴𝐴𝐴𝐴: BASE
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
Entonces el ∆ es isósceles
Además:
𝜽𝜽 es agudo
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑬𝑬𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑹𝑹𝑻𝑻𝑻𝑻
60° 60°
60°
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
Si 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎
Entonces el ∆ es equilátero
𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑃𝑃𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑡𝑡𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑒𝑒𝑃𝑃𝑐𝑐𝑡𝑡𝑃𝑃𝑣𝑣𝑎𝑎𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃. 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑃𝑃 𝑥𝑥.
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝐴𝐴
80° 𝑥𝑥
RESOLUCIÓN:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝐴𝐴
80° 𝑥𝑥
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃:𝑥𝑥
• ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝑃𝑃𝑡𝑡𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥
𝑥𝑥2𝑥𝑥
• ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝑃𝑃𝑡𝑡𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
• ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 80° = 180°
∴ 𝑥𝑥 = 25°
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
EJEMPLOS:OBERVACIONES
𝑥𝑥
2𝜃𝜃
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2𝜃𝜃 = 180°
𝑥𝑥 = 90° − 𝜃𝜃
= 90° − 𝜃𝜃
Como el ∆ es isósceles:
90°− 4𝜃𝜃
8𝜃𝜃
6𝜃𝜃
90°− 3𝜃𝜃
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎
60°
60°
90°− 𝜃𝜃
𝑎𝑎 𝑏𝑏
2𝜃𝜃
90°− 𝜃𝜃
Si un ∆ tiene medidas
angulares de la forma 2𝜃𝜃 y
90° − 𝜃𝜃:
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
60°
𝑎𝑎
𝑎𝑎
Trazar
𝑎𝑎
El ∆ es equilátero
Del gráfico mostrado, calcule el valor de 𝑥𝑥
𝜃𝜃
2𝜃𝜃
3 5 3
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑥𝑥
RESOLUCIÓN: Vamos a completar medidas
angulares, para aprovechar las
medidas de 𝜃𝜃 y 2𝜃𝜃.
90° − 𝜃𝜃
 De la observación, el 
∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 es isósceles
→ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3
3  En ⊿𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: T. de Pitágoras:
𝑥𝑥2 = 32 + 5 3
2
∴ 𝑥𝑥 = 2 21
𝜃𝜃
2𝜃𝜃
3
5 3
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑥𝑥
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA 1TEOREMAS
𝜔𝜔
𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝛽𝛽
𝜃𝜃 Se cumple:
𝜃𝜃 =
𝛽𝛽
2
𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝛾𝛾
Se cumple:
𝛾𝛾 =
𝜔𝜔
2
1
2
𝜃𝜃 + 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝛽𝛽
𝜃𝜃
 Como los triángulos 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
son isósceles, completamos
medidas angulares:
𝜃𝜃 + 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼
→ 2𝜃𝜃 = 𝛽𝛽
∴ 𝜃𝜃 =
𝛽𝛽
2
 De , se tiene:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
LINEAS NOTABLES
CEVIANA
Es el segmento de recta que tiene por extremos un vértice
del triángulo y un punto del lado opuesto o de su prolongación.
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝐴𝐴𝑁𝑁,𝐴𝐴𝑀𝑀: Cevianas interiores
𝐴𝐴𝑃𝑃: Ceviana exterior 
relativo a 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐿𝐿: Ceviana exterior 
relativo a 𝐴𝐴𝐴𝐴
Nota:
Cuando en un problema se
presenta el siguiente
gráfico, que hacer….
Caso I
Caso II
2𝜃𝜃 𝜃𝜃2𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜃𝜃
Trazar la ceviana 
interior
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑎𝑎
Trazar la ceviana 
exterior
2𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐
𝑐𝑐
LINEAS NOTABLES
EJEMPLO
𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑎𝑎𝑔𝑔𝑃𝑃𝑐𝑐𝑃𝑃,𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 . 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑃𝑃 𝑥𝑥.
𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝐴𝐴
40°
𝑥𝑥
20°80°
RESOLUCIÓN
𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝐴𝐴
40°
𝑥𝑥
20°
80°
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃:𝑥𝑥
Caso I
2𝜃𝜃 𝜃𝜃2𝜃𝜃
𝜃𝜃
Trazar la 
ceviana interior
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑎𝑎
• 𝑆𝑆𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑣𝑣𝑃𝑃𝑎𝑎𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐴𝐴𝑀𝑀(𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝑎𝑎)
𝑀𝑀
𝑎𝑎
80°
• 𝐴𝐴𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃 𝐼𝐼:
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑎𝑎
𝑚𝑚∡𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 40°
40°
𝑎𝑎
• 𝑆𝑆𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐴𝐴:
∆𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑡𝑡𝑃𝑃𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑎𝑎
60°
𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝛽𝛽
𝜃𝜃 Se cumple:
𝜃𝜃 =
𝛽𝛽
2
nota
• 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑎𝑎:
𝑥𝑥 = 60°
2
∴ 𝑥𝑥 = 30°
LINEAS NOTABLES
MEDIANA
Es aquella ceviana que biseca al lado al cual es relativo.
𝑎𝑎 𝑎𝑎
En el gráfico:
→ 𝑶𝑶𝑩𝑩: Mediana relativa 
a 𝐴𝐴𝐴𝐴.
𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐴𝐴
40
2020
38
19
19
Ejemplos:
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝐾𝐾
𝑅𝑅
𝑃𝑃 𝑄𝑄
BISECTRIZ 
EXTERIOR
BISECTRIZ 
INTERIORBISECTRIZ Es aquella ceviana que biseca al
ángulo interior o exterior.
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝐿𝐿
𝑀𝑀 𝐿𝐿
𝑇𝑇
En el gráfico:
→ 𝑷𝑷𝑻𝑻: Bisectriz interior.
𝑚𝑚∢𝑅𝑅𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝑚𝑚∢𝑄𝑄𝑃𝑃𝐿𝐿
En el gráfico:
→ 𝑻𝑻𝑻𝑻: Bisectriz exterior.
𝑚𝑚∢𝑀𝑀𝑇𝑇𝐾𝐾= 𝑚𝑚∢𝑍𝑍𝑇𝑇𝐾𝐾
𝑍𝑍
Tener en cuenta
que:
𝑀𝑀𝑇𝑇 < 𝑇𝑇𝐿𝐿
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑥𝑥
𝒙𝒙 = 𝟗𝟗𝟗𝟗°
Se cumple:
Propiedad:
LINEAS NOTABLES
MEDIANA
Es aquella ceviana perpendicular al lado al cual es relativo.
NOTA: La ubicación de la altura depende del tipo de 
triángulo.
En el gráfico, indique
que línea notable es 𝐴𝐴𝐴𝐴
Aplicación:
Se observa en B:
𝛼𝛼 + 𝛼𝛼 = 180°
→ 𝛼𝛼 = 90°
∴ 𝑨𝑨𝑶𝑶: Altura.
Resolución:
MEDIATRIZ
Es aquella recta perpendicular a un segmento en su punto medio.
𝑀𝑀
𝑁𝑁
ℒ
𝑄𝑄𝑎𝑎
𝑎𝑎
En el gráfico:
ℒ⃡ ⊥ 𝑀𝑀𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑁𝑁
→ 𝓛𝓛: Mediatriz de 𝑀𝑀𝑁𝑁
Aplicación:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑀𝑀
ℒ
𝑥𝑥
50°
En el gráfico, ℒ es mediatriz a
𝐴𝐴𝐴𝐴. Calcule x
Resolución:
• 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃 ℒ 𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴
→ �ℒ ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑃𝑃𝑃𝑃
• 𝐴𝐴𝑃𝑃𝑡𝑡 ⊿:
𝑥𝑥 + 50° = 90°
∴ 𝑥𝑥 = 40°
TEOREMAS CON BISECTRICES
α β
α β
𝑥𝑥
β
βα
α
𝒙𝒙 =
𝜽𝜽
𝟐𝟐
𝒙𝒙 = 𝟗𝟗𝟗𝟗° +
𝜽𝜽
𝟐𝟐
Teorema 𝟏𝟏
Teorema 𝟐𝟐
𝑥𝑥
θ
θ
DEMOSTRACIONES
𝑥𝑥
𝜃𝜃
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑄𝑄
 En el ∆APC por ángulo exterior:
𝛽𝛽 = 𝛼𝛼 + 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 = 𝛽𝛽 − 𝛼𝛼
 En el ∆ABC por ángulo exterior:
2𝛽𝛽 = 2𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 → 𝜃𝜃 = 2𝛽𝛽 − 2𝛼𝛼
𝜃𝜃 = 2(𝛽𝛽 − 𝛼𝛼)
𝜃𝜃 = 2𝑥𝑥
∴ 𝑥𝑥 = 𝜃𝜃/2
 En el ∆𝐴𝐴𝑄𝑄𝐴𝐴, por suma de las medidas de 
los ángulos internos:
𝑥𝑥 + 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180° … (𝑃𝑃)
 En el ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴:
2𝛼𝛼 + 2𝛽𝛽 + 𝜃𝜃 = 180°
→ 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼 = 90° −
𝜃𝜃
2
… (𝑃𝑃𝑃𝑃)
 Finalmente (𝑃𝑃𝑃𝑃) en (𝑃𝑃):
∴ 𝑥𝑥 = 90° + 𝜃𝜃
2
𝜃𝜃 𝑥𝑥
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝐴𝐴 𝑃𝑃
TEOREMAS CON BISECTRICES
𝒙𝒙 = 𝟗𝟗𝟗𝟗° −
𝜽𝜽
𝟐𝟐
𝒙𝒙 =
𝒂𝒂 + 𝒃𝒃
𝟐𝟐
𝜃𝜃 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑥𝑥
Teorema 𝟑𝟑
Teorema 𝟒𝟒
EJEMPLO
2𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝜃𝜃
3𝑥𝑥
2𝑥𝑥∅
∅
Del grafico, calcule x.
RESOLUCIÓN:
2𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝜃𝜃
3𝑥𝑥
2𝑥𝑥∅
∅
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃:𝑥𝑥
𝛼𝛼
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴 • 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎 3
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90° −
2𝜃𝜃
2
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90° − 𝜃𝜃
90°-𝜃𝜃
• 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚𝑎𝑎 < 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡
2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 90° = 360°
5𝑥𝑥 = 270°
∴ 𝑥𝑥 = 54°
TEOREMAS CON BISECTRICES
𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑥𝑥
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝒙𝒙 =
𝒂𝒂 + 𝒃𝒃
𝟐𝟐
𝒙𝒙 =
𝒂𝒂 − 𝒃𝒃
𝟐𝟐
Teorema 𝟓𝟓
Teorema 𝟔𝟔
EJEMPLO
Del grafico, calcule x.
𝛼𝛼 𝛼𝛼 ∅ ∅
24°30°
𝑥𝑥
𝜃𝜃𝜃𝜃
RESOLUCIÓN:
𝛼𝛼 𝛼𝛼 ∅ ∅
24°30°
𝑥𝑥
𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃:𝑥𝑥
𝑦𝑦
• 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑎𝑎 5
𝑦𝑦 = 30° + 24°
2
→ 𝑦𝑦 = 27°
• 𝐸𝐸𝑃𝑃
𝑥𝑥 + 𝜃𝜃 = 𝑦𝑦 + 𝜃𝜃
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
∴ 𝑥𝑥 = 27°
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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