BertJanssen-RelatividadGeneral-234

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Un vector contravariante V µ y un vector covariante Vµ son objetos de 4 componentes que trans-
forman bajo una transformación de Lorentz Λµν como
V ′µ = ΛµνV
ν , V ′µ = (Λ
−1)νµVν . (A.6)
Contracción con la métrica ηµν convierte un vector covariante en contravariante y vice versa,
Vµ = ηµνV
ν , V µ = ηµνVν . (A.7)
Un tensor de rango (m, n) T µ1...µmν1...νn es un objeto de 4
m+n componentes que transforma como
T ′µ1...µmν1...νn = Λ
µ1
ρ1 ... Λ
µm
ρmΛ
λ1
ν1 ... Λ
λn
νnT
ρ1...ρm
λ1...λn . (A.8)
Contracción con la métrica ηµν cambia el rango de un tensor, por ejemplo:
ηλσT
µνρλ = T µνρσ, ηρλT
µνρλ = T µνρρ = T
µν . (A.9)
A.2. Geometrı́a diferencial
Bajo un cambio general de coordenadas yα = yα(xµ), un tensor de rango (m, n) transforma
como
T µ1...µmν1...νn =
∂xµ1
∂yα1
...
∂xµm
∂yαm
∂yβ1
∂xν1
...
∂yβn
∂xνn
T α1...αmβ1...βn (A.10)
Contracción con la métrica gµν cambia el rango de un tensor, por ejemplo:
gλσT
µνρλ = T µνρσ, gρλT
µνρλ = T µνρρ = T
µν . (A.11)
La derivada covariante de un vector contravariante V ν y de un vector covariante Vν viene dada
por
∇µV ν = ∂µV ν + ΓνµρV ρ, ∇µVν = ∂µVν − ΓρµνVρ, (A.12)
y de un tensor de rango (m, n) por
∇ρT µ1...µm ν1...νn = ∂ρT µ1...µm ν1...νn + Γµ1ρλT λµ2...µmν1...νn + . . . (A.13)
+ Γµmρλ T
µ1...µm−1λ
ν1...νn − Γλρν1T
µ1...µm
λν2...νn − . . . − ΓλρνnT
µ1...µm
ν1...νn−1λ.
La conexión transforma bajo un cambio general de coordenadas yα = yα(xµ) como
Γγαβ =
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
∂yγ
∂xρ
Γρµν −
∂2yγ
∂xµ∂xν
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
, (A.14)
de modo que la derivada covariante de un tensor de rango (m, n) es un tensor de rango (m, n+1).
Un tensor T µ1...µmν1...νn es transportado paralelo a lo largo de la curva C, si la derivada cova-
riante del tensor a lo largo de la curva es cero,
uρ∇ρT µ1...µmν1...νn = 0, (A.15)
donde uµ es el vector tangente a la curva C.
Un variedad tiene una curvatura intrı́nsica si el transporte paralelo de vectores y tensores
entre dos puntos depende de la curva entre estos dos puntos. Concretamente
[∇µ,∇ν ]Sρ1...ρmλ1...λn = Rµνσρ1Sσρ2...ρmλ1...λn + ... + RµνσρmSρ1...ρm−1σλ1...λn (A.16)
−Rµνλ1σSρ1...ρmσλ2...λn + ... − Rµνλn σSρ1...ρmλ1...λn−1σ − T σµν∇σSρ1...ρmλ1...λn ,
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	Convenios
	Geometría diferencial