Angulo trigonométrico y sistemas de medición angular

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LEAA 1 
ANGULO TRIGONOMÉTRICO 
Y SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR 
 
ANGULO TRIGONOMÉTRICO 
DEFINICIÓN: 
El ángulo trigonométrico es aquel que se 
genera por la rotación de un rayo (en un 
mismo plano) alrededor de un punto fijo 
llamado vértice, desde una posición inicial 
hasta una posición final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS: 
 O: Vértice del ángulo 
OA : Lado inicial. 
'OA : Lado Terminal 
θ : ángulo trigonométrico 
 
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS 
➢ Si el giro del rayo es en sentido 
antihorario, el ángulo se considera 
positivo. 
➢ Si el giro del rayo es en sentido horario, 
el ángulo se considera negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS: 
➢ Si a un ángulo se invierte el sentido, 
entonces su signo cambia 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES 
Para medir los ángulos pueden existir 
diversos sistemas de medición, dependiendo 
en cuántas partes se divide el ángulo de una 
vuelta (A una de esas partes se llama unidad 
de medida) o comparando la longitud del 
radio con la longitud del arco que subtiende 
el ángulo central. 
 
I. SISTEMA SEXAGESIMAL “S” 
(INGLES) 
La unidad de medida es el grado sexagesimal 
“1º”, que es igual a la 360 ava parte del 
ángulo de una vuelta. 
1 grado sexagesimal = 1º 
1 minuto sexagesimal = 1’ 
1 segundo sexagesimal = 1’’ 
Equivalencias: 
1vuelta 360º= 
1º 60 '= 1' 60''= 1º 3600''= 
 
II. SISTEMA CENTESIMAL “C” 
(FRANCES) 
La unidad de medida es el grado centesimal 
“1g”, que es igual a la 400 ava parte del 
ángulo de una vuelta. 
 
O A 
A’ 
 > 0 
O A 
A’ 
 
 < 0 
 
A 
A’ 
O 
 
O 
– 
 
O 
– 
 
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 2 
1 grado centesimal = 1g 
1 minuto centesimal = 1m 
1 segundo centesimal = 1s 
Equivalencias: 
g1vuelta 400= 
g m1 100= 
m s1 100= 
g s1 10000= 
 
III. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR 
(INTERNACIONAL) “R” 
Su unidad es el Radián (1rad), y es igual a la 
medida de un ángulo central determinado por 
un arco de circunferencia cuya longitud es 
igual a la longitud del radio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 vuelta = 6,283185…rad 
 = 2(3,1415926535…)rad 
1vuelta 2π radianes= 
Valores aproximados a π 
 π ≈ 3.1416 ≈ 
7
22 ≈ 
113
355 ≈ 32 + 
NOTA: La relación de las unidades de 
medida de los tres sistemas es la siguiente: 
g1rad 1º 1  
RELACION ENTRE LOS SISTEMAS DE 
MEDIDAS ANGULARES 
Si S, C y R son los números que representan 
la medida “” de un ángulo en los sistemas 
sexagesimal, centesimal y radial, 
respectivamente, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: La relación de S, C y R es el 
siguiente: 
C S R  
 
 NOTA: Para transformar la medida de un 
ángulo en radianes a grados sexagesimales y 
grados centesimales o viceversa se puede 
utilizar las siguientes relaciones: 
S C R
= =
360 400 2
 
S C R
= =
180 200
 
S C
=
9 10
 
S R
=
180
 
 
C R
=
200
 
NOTA: Relaciones entre minutos y segundos 
Sexagesimales y Centesimales: 
p qm n
27 50 81 250
= = 
m : Número de minutos sexagesimales 
p : Número de segundos sexagesimales 
n : Número de minutos centesimales 
q : Número de segundos centesimales 
 
 
Es decir: 
m27 ' 50= 
s81' 250= 
 
NOTA: Para resolver ecuaciones y 
simplificar expresiones, se recomienda 
utilizar una constante “k” de 
proporcionalidad. 
S k
S C R
k C k
R k

 =

= = =  =
  
 =

9
20
10
9 10
20
 
 
 
 
 
1 rad 
R 
R 
R 
 = Sº = 
g
C = R rad 
 A 
A’ 
O 
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 3 
EJERCICIOS 
 
1) De la figura, determinar el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
A) 674º B) 666º C) 676º 
D) 576º E) 744ºº 
2) Del gráfico, calcular el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
A) 30º B) 15º C) 45º 
D) 20º E) 25º 
3) Del gráfico, calcular el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 41º B) 39º C) 49º 
D) 61º E) 51º 
4) (CBU 2008-II) En la figura, calcular “x”. 
 
 
A) –150º 
B) –130º 
C) –120º 
D) –110º 
E) –100º 
 
 
5) (CBU 2008-I) En el gráfico, calcular el 
valor de x, si 3 20ºy x+ = 
 
A) 60º 
B) 70º 
C) 45º 
D) – 70º 
E) – 45º 
6) (CBU 2008-INT) Los ángulos interiores 
de un triángulo miden ( )8x º , 
7
x rad
180
 
 
 
 y 
g
50
x
9
 
 
 
, x
+ . La 
medida del menor ángulo en grados 
sexagesimales, es: 
A) 45º B) 50º C) 70º 
D) 60º E) 30º 
7) (CBU 2007-II) Sean S, R y C los valores 
convencionales de las medidas de un 
ángulo en el sistema sexagesimal, radial 
y centesimal, respectivamente, tal que 
90CR 100SR SC SCR+ + = . 
Calcular el valor de S. 
A) 360º B) 270º C) 100º 
D) 120º E) 300º 
8) (CEPRU 2017-I) En la figura 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de x es: 
A) 10 B) 5 C) 8 
D) 15 E) 12 
9) (CEPRU 2016-II) En el gráfico 
 
 
 
 
 
 
Si y 4x 25+ =  , entonces el valor de x 
es: 
A) 30° B) 34° C) 36° 
D) 40° E) 35° 
10) (CEPRU 2016-II) En la figura 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de 10 9 −  es: 
20º 
y 
x 
210º
x
300º
35º
y
x

g
x
rad
9

g10x 7x
x
411º−
3x−
100º
x−
x 44º
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 4 
A) 900 B) 990 C) 90 
D) 1000 E) 180 
 
11) (CEPRU 2016-I) En la figura los puntos 
A, O y B son colineales. 
 
 
 
 
 
El valor de +
x y
10 9
 es: 
A) –10 B) –18 C) 20 
D) –20 E) 18 
 
12) Calcular el valor de: 
( )
( )
( )
( )
o g m
m
a b a ' a b b
E
a b ' a b
+ +
= +
+ +
 
a) 121 b) 131 c) 141 
d) 161 e) 171 
 
13) Hallar la medida de un ángulo en el 
sistema radial si se sabe que (S y C: 
número de grados sexagesimales y 
centesimales del ángulo). 
S x 1 5= − − ; C x 1 3= − − 
a) 
6

 b) 
10

 c) 
15

d) 
30

 e) 
45

 
 
14) Se tiene dos nuevos sistemas de medida 
angular M y N. Si 18 grados M equivale 
a 4 grados N y 20 grados N equivale a 
2/3 radianes. Determina a cuántos 
grados M equivale 100º. 
a) 25 b) 50 c) 75 
d) 90 e) 95 
 
15) La suma de los números que representan 
el complemento de un ángulo en los tres 
sistemas conocidos es igual a la suma de 
los números que representan las medidas 
en los tres sistemas. Hallar la medida de 
dicho ángulo en radianes. 
a) 
5

 b) 
4

 c) 
6

d) 
8

 e) 
2

 
 
16) En la figura, Determinar la relación 
entre  y  . 
 
 
 
 
 
A) 180+ =  B) 180− =  
C) 90− =  D) 3 180− =  
E) 3 180+ =  
 
17) (CEPRU 2016-INT) En la figura, la 
medida de los ángulos están dados en 
grados sexagesimales. 
 
 
 
 
 
 
Si 5x y 70+ =  , entonces el valor de x 
en grados sexagesimales es: 
A) 35 B) 30 C) 40 
D) 15 E) 25 
 
18) (CEPRU 2014-II) En la figura el valor de 
x es: 
 
 
 
 
 
 
 
A) 15 B) 9 C) 5 
D) 11 E) 3 
 
19) (CEPRU 2018-II) Si los ángulos 
interiores congruentes de un triángulo 
isósceles miden (x 1)−  y 
g(x 1)+ , el 
tercer ángulo interior de dicho triángulo 
en grados sexagesimales mide: 
A) 150° B) 160° C) 132° 
D) 144° E) 135° 
 
 
 
 
 
2
3
x rad
20
 
 
 
( )
g
5 11x−
40
y
2x
O
y
gx
A B
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 5 
20) (UNSAAC 2018-II) Si S y C son 
números que representan las medidas de 
un ángulo en grados sexagesimales y 
centesimales tales que S x
4

= + , 
C x
2

= + ; entonces el valor de dicho 
ángulo en radianes es: 
A) 
27
50

 B) 
2
80

 C) 
2
60

D) 
23
70

 E) 
25
90

 
 
21) (CEPRU 2013-I) Un ángulo es medido 
en los tres sistemas convencionales y sus 
valores numéricos cumplen con la 
relación  SC+36CR=SCR. Entonces la 
medida del ángulo en el sistema 
centesimal, es: 
A) 240g B) 240g 50m C) 200g 
D) 300g E) 200g 50m 
 
22) (CEPRU 2012-I) Un ángulo, alser 
medido en el sistema sexagesimal (S) y 
en el sistema centesimal (C), cumple con 
la siguiente relación: 
1 1 1 1
19n
S C S C
 
+ = − 
 
. Entonces, el 
valor de n es: 
A) 19 B) 1/19 C) 3 
D) 3/19 E) 1 
 
23) (CEPRU 2011-II) La diferencia de las 
inversas de los números que expresan la 
medida de un ángulo positivo en grados 
sexagesimales y centesimales es igual a 
la medida en radianes del mismo ángulo 
sobre 2. La medida del ángulo en el 
sistema sexagesimal es: 
A) 24º B) 9º C) 6º 
D) 18º E) 27º 
 
 
 
 
 
 
 
24) (CEPRU 2012-II) De la figura, el valor 
de 
20x 18y
E
2z
−
=
+
, es: 
A) 
900

 
B) 
700

 
C) 
1600

 
D) 
1800

 
25) (CEPRU 2010-II) Si la media aritmética 
de los valores convencionales que 
expresan la medida de un ángulo 
positivo, en grados centesimales y 
sexagesimales, es a su diferencia como 
57 veces el valor de la medida de dicho 
ángulo en radianes, es a 2, entonces la 
medida del ángulo en radianes, es: 
A) 
3

B) 
5
2

 C) 
2

D) 
4

 E) 
3
2

 
 
26) (CEPRU 2010-I) En un triángulo 
rectángulo, la diferencia de las medidas 
de dos de sus ángulos interiores agudos 
es de 20 grados centesimales, entonces la 
medida del mayor ángulo agudo en 
radianes, es: 
A) 
7
10

B) 
5
10

C) 
3
8

D) 
3
10

 E) 
7
8

 
27) (CEPRU 2009-II) Sean S, C y R los 
números que representan la medida de 
un ángulo en grados sexagesimales, 
grados centesimales y radianes 
respectivamente, tal que: 
C S R R 4
2
R 4 C S R
− + +
+ =
+ − +
 
El valor de R, es: 
A) 
5

 B) 
4

 C) 
2

D) 
3

 E) 
8

 
 
 
 
xº
gy z rad
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 6 
 
 
 
28) (CEPRU 2017-II) Los números que 
representan la medida de un ángulo en 
los sistemas sexagesimal y centesimal 
son 
2a 3a 10− − y 
2a 2a 4− − 
respectivamente. La medida de dicho 
ángulo, en el sistema radial, es: 
A) 
10

rad B) 
9

rad C) 
2
7

rad 
D) 
8

rad E) 
11

rad 
29) Si p y q son los números en minutos 
sexagesimales y centesimales de la 
medida de un ángulo. Hallar el valor de 
54 p q
14
77 p
 +
+ 
 
 
A) 4 B) 5 C) 3 
D) 6 E) 7 
30) (CEPRU 2017-II) En la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de x es: 
A) –5 B) –3 C) –4 
D) –2 E) –1 
31) Hallar la medida en grados centesimales 
de un ángulo para el cual se cumple 
5
C 3S 9= , donde S y C representan el 
número de grados sexagesimales y 
centesimales respectivamente. 
A) 
g
5
3
 
 
 
 B) 
g
2
3
 
 
 
 C) 
g
10
3
 
 
 
 
D) 
g2 E) 
g4 
32) (UNSAAC 2017-I) S, C y R representan 
los números de las medidas de un ángulo 
en los sistemas sexagesimal, centesimal y 
radial respectivamente; si se cumple que 
2 2 RC S− =

 
Entonces la medida del ángulo em 
radianes es: 
A) 
7600

 B) 
3800

 C) 
6000

 
D) 
3
1000

 E) 
5400

 
33) En el sistema sexagesimal  mide lo 
mismo que el suplemento de 5. Si el 
número de grados centesimales que mide 
 es igual al doble del número de grados 
sexagesimales que mide . Hallar el 
valor de  + en radianes. 
A) 
9
rad
25

 B) 
2
rad
5

C) 
7
rad
25

 
D) 
6
rad
25

 E) 
7
rad
5

 
34) (UNSAAC 2016-II) Si  = 27 y 
 = g30 entonces  + en radianes, es: 
A) 
4
15
 B) 
3
20
C) 
3
10
D) 
5
12
 E) 
2
13
 
35) Calcular un ángulo en radianes sabiendo 
que la suma de sus productos, tomados 
de dos en dos de los números de grados 
sexagesimales, centesimales y radianes 
de un mismo ángulo es igual a la suma 
de los mismos, multiplicado por 
1800 19
380
+ 
+ 
 
A) rad
20

 B) 
2
rad
19

C) 
7
rad
11

 
D) 
8
rad
3

 E) 
9
rad
2

 
 
 
 
 
 
 
9x
x
rad
5
 
 
 