Vectores

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ANÁLISIS VECTORIAL
I. Conceptos Previos
1. C. F. Escalar
* Se definen mediante:
MedidadeUnidadNúmero 
Puede ser: Positivo, Negativo o Nulo
* Por ejemplo:
Estatura de 
Gokú: 1,75 m
Temperatura 
de un cubo de 
hielo: -4 °C
Energía de 
una ensalada: 
0 calorías
2. C. F. Vectorial
* Se definen mediante: ón OrientaciMódulo 
∙ Donde el módulo: MedidadeUnidadNúmero 
Puede ser: Positivo o Nulo
∙ Donde la orientación: SentidoDirección 
* Por ejemplo:
El desplazamiento de 
un avión: 245 km 
hacia el N30°E
La velocidad de un 
automóvil: 60 km/h 
hacia la derecha
La fuerza gravitatoria 
sobre una persona: 
780 N hacia abajo
* Todas las C.F. Fundamentales también serán 
C.F. Escalares
II. Vector
* Se representa por medio se un segmento de 
recta orientado.
* Veamos:
· Se lee vector A: A

· Se lee módulo del vector A: AA 

III. Multiplicación de un escalar con 
un vector
* Si un vector se multiplica por un escalar se 
obtiene otro vector. Por ejemplo:
1. Concepto
  
VectorialCantidad
Vectorial
Cantidad
Escalar
Cantidad
MovimientodeCantidadVelocidadMasa
 
 
  
     VectorialCantidad
Vectorial
Cantidad
Escalar
Cantidad
EléctricaFuerza
EléctricoCampo
deIntensidad
 
 
 
 
 
Eléctrica Carga
de Cantidad

* La dirección y sentido del nuevo vector depende del escalar:
Vectores Paralelos: BA

y 
m = 1 ⇒ Vectores Iguales
Vectores Antiparalelos: CA

y 
m = -1 ⇒ Vectores Opuestos
Vectores Colineales: CBA

y ,
2. Preguntas
26. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones:
I. El desplazamiento, la fuerza y la intensidad de corriente 
eléctrica son cantidades vectoriales.
II. Un vector es un segmento de recta orientado (flecha).
III. El módulo o magnitud de un vector es un número real
II. FALSA
Ya que el vector se representa por medio de una flecha
Rpta. 
I. FALSA
Ya que la intensidad de corriente eléctrica es una 
C.F. Escalar
III. FALSA
Ya que el módulo de un vector no puede ser un real 
negativo
27. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones:
I. Todas las cantidades físicas fundamentales son 
escalares.
II. Si un vector se multiplica por un escalar, se puede 
obtener un vector antiparalelo al inicial.
III. Si dos vectores son colineales entonces pueden 
encontrarse en rectas paralelas
Rpta. 
I. VERDADERA
Ya que las C.F. Fundamentales no requieren de una 
orientación para su definición
II. VERDADERA
Ya que tal situación se dará cuando el escalar sea 
una cantidad negativa
III. VERDADERA
Ya que los vectores colineales pueden encontrarse 
en una misma recta o en rectas paralelas
28. Señale las proposiciones correctas:
I. El producto de un vector por un escalar es 
otro vector siempre paralelo al primero.
II. Si , con n> 0, el módulo de es mayor 
que el módulo de 
III. Si , con n< 0 y n ∈ ℤ, el módulo de 
es menor que el módulo de 
BnA


BnA


B

B
A

A

Rpta. 
I. INCORRECTA
Ya que dicho producto define un vector paralelo 
o antiparalelo al primero
II. INCORRECTA
Ya que si 0< n <1; ello provocaría que 
presente un mayor módulo que 
B

A

III. INCORRECTA
Ya que n podría tomar valores como -1, -2, etc. 
Y eso haría que le módulo de sea mayor o 
igual al módulo de 
A

B

IV. Adición de Vectores
* Es una operación que consiste en reemplazar un conjunto 
de vectores, por un vector llamado “suma” o “resultante”.
* Examinemos los métodos:
1. Concepto
* La adición de vectores es conmutativa y asociativa
a. Método del Paralelogramo
∙ Donde: cos222 ABBAS 
Ley de 
Cosenos
∙ Veamos:
· Si 𝜃 = 0°:
BASmáx 
· Si 𝜃 = 180°:
BASmín 
· Si 𝜃 = 90°:
22 BAS 
· Si A = B:
Del gráfico:
)2/cos(2 AS 
Si 𝜃 = 60° AS 3
AS Si 𝜃 = 120°
b. Método del Polígono
Donde:
CBAS


30. Se tiene dos fuerzas de módulos invariantes, 
dispuestos sobre un plano, se sabe que el mayor y 
menor valor de su resultante es 16 kN y 4 kN, 
respectivamente. ¿Qué módulo tiene la resultante de 
dichas fuerzas cuando forman 60° entre sí, en kN?
2. Problemas
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado: ∙ Por dato:
kNFFSmáx 1621 
kNFFSmín 421 
∙ Se deduce:
kNFkNF 6 10 21 
∙ Ahora para 𝜃 = 60°: cos..2 21
2
2
2
1 FFFFS 
 60cos).6).(10(2610 22S
kNS 14
)5,0.(12036100 S
BA

33. Sean los vectores y , si =1, el coseno del 
ángulo que forman es 0,6 y el módulo de es 0,75, calcule 
el módulo del vector .
A

B

B

A

Solución: * Piden A
* A partir del enunciado:
∙ Recordar: cos.222 BABAS 
)6,0).(75,0.(275,01 22 AA 
35,0 A
AA 9,05625,01 2 
04375,09,02  AA
35. Determine el módulo del 
vector resultante, en cm, del 
sistema mostrado
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado:
∙ De la ley de cosenos:
 60cos)6).(10(2)6()10( 22S
14 S)5,0.(12036100 S
36. Determine el módulo (en 
m) del vector resultante si el 
hexágono es regular y de 2 m 
de lado
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico:
EDCBAS


DACEBS


CCCS


CS

3 mCS 12)4.(33 

∙ A causa del hexágono:
4 C

40. Respecto a los vectores de la 
figura, determine el módulo de su 
resultante. PM = MR = 6, QR=5
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico:
DCBAS


DCCS


DCS

 2
∙ Por último:
222 DCS 

22 512 S
13 S
42. Halle el módulo de la 
resultante de los vectores 
mostrados en el rectángulo.
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico:
DCBAS


CBADS


CCS


CS

2
22 12522  CS

26S
44. La figura muestra un 
cubo de 27 μ3 de volumen. 
Determine la magnitud, en 
μ, del vector resultante de 
los vectores mostrados
Solución: * Piden S
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico:
3 LS

∙ Por dato: 3LVol 
327 L
3 L
NOTA: Sabías que
∙ Del gráfico: )1...(.unAx


)2...(. Bumx


∙ De m(1)+n(2):





Bnumnxn
unmAmxm


....
....
BnAmxnm

..).( 
nm
BnAm
x




 ..
* Veamos: * En general:
nm
BnAm
x




 ..
46. Expresar en función de y . 
G: Baricentro
x

A

B

Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden x

∙ Del gráfico:
11
).(1.1
3



BA
x


6
BA
x

 

48. En la figura se muestra un 
cuadrado, en cuyo interior existe 
una semicircunferencia y una 
recta tangente. Exprese en 
función de y .
x

A

B

Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden x

∙ Del Δ sombreado:
14
).(1)75,0.(4



BA
x


5
3 BA
x

 

50. Sea el paralelogramo ABCD, 
donde M es punto medio de DC 
y 3DF=DB, calcule en función 
de y .
x

P

Q

Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden x

∙ Del gráfico:
QRP

 2
PQR

5,05,0 
∙ Del Δ sombreado:
21
).(2)5,0.(1



RP
x


3
)5,05,0.(25,0 PQP
x

 

3
5,0 PQ
x

 

63
PQ
x


