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CONJUNTO POTENCIA Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI Los Profesores c© 4 de marzo de 2017 1 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Definición El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es : P (A) = {X/X ⊂ A} Ejemplos : Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}. Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}. Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. 2 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Definición El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es : P (A) = {X/X ⊂ A} Ejemplos : Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}. Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}. Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. 2 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Definición El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es : P (A) = {X/X ⊂ A} Ejemplos : Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}. Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}. Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. 2 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Definición El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es : P (A) = {X/X ⊂ A} Ejemplos : Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}. Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}. Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. 2 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjunto Potencia Propiedades : Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se cumple : P (A) 6= ∅ ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A) X ∈ P (A)↔ X ⊂ A P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B) A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B) Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? 3 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto finito El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que tiene, se denota por n(A) Propiedades : n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) −n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C) 4 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjuntos Numéricos Los Números Naturales: N = {1, 2, 3, . . .} Los Números Enteros: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} Los Números Racionales: Q = {a b / a ∈ Z, b ∈ N } 5 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjuntos Numéricos Los Números Irracionales: I = {x/x tiene representación decimal no periódica } Los Números Reales: R = Q ∪ I Los Números Complejos: C = { z = x+ yi / x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 } 6 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Conjuntos Numéricos 7 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto infinito Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad, y se denota por n(A) = n(B) Ejemplos: 1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · }, entonces n(A) = n(B). 2 n(N) = n(Z) 3 No existe ningún conjunto A tal que: n(N) < n(A) < n(R) resultado conocido como, la hipótesis del continuo 8 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto infinito Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad, y se denota por n(A) = n(B) Ejemplos: 1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · }, entonces n(A) = n(B). 2 n(N) = n(Z) 3 No existe ningún conjunto A tal que: n(N) < n(A) < n(R) resultado conocido como, la hipótesis del continuo 8 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cardinal de un conjunto infinito Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad, y se denota por n(A) = n(B) Ejemplos: 1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · }, entonces n(A) = n(B). 2 n(N) = n(Z) 3 No existe ningún conjunto A tal que: n(N) < n(A) < n(R) resultado conocido como, la hipótesis del continuo 8 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Definición Una función proposicional sobre un conjunto A,es cualquier enunciado p que depende de una variable x ∈ A, se denota por p(x), de tal forma que : Si x se reemplaza por cualquier elemento a ∈ A, entonces p(a) es una proposición lógica. 9 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Ejemplos : El enunciado p(x) : x < 5 es una función proposicional sobre A = R, pues : Si x se reemplaza por a cuando a < 5, entonces la proposición lógica p(a) es verdadera Si x se reemplaza por a cuando a ≥ 5, entonces la proposición lógica p(a) es falsa 10 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Definición El cuantificador universal se define como la expresión: “Para todo” y se denota por ∀ El cuantificador existencial, se define como la expresión: “Existe” y se denota por ∃ Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición: ∀x ∈ A, p(x) será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A. ∃x ∈ A / p(x) será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A. 11 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Definición El cuantificador universal se define como la expresión: “Para todo” y se denota por ∀ El cuantificador existencial, se define como la expresión: “Existe” y se denota por ∃ Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición: ∀x ∈ A, p(x) será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A. ∃x ∈ A / p(x) será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A. 11 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Definición El cuantificador universal se define como la expresión: “Para todo” y se denota por ∀ El cuantificador existencial, se define como la expresión: “Existe” y se denota por ∃ Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición: ∀x ∈ A, p(x) será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A. ∃x ∈ A / p(x) será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A. 11 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Definición El cuantificador universal se define como la expresión: “Para todo” y se denota por ∀ El cuantificador existencial, se define como la expresión: “Existe” y se denota por ∃ Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición: ∀x ∈ A, p(x) será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A. ∃x ∈ A / p(x) será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A. 11 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Negación de cuantificadores ∼ ( ∀x ∈ A , p(x) ) ≡ ∃x ∈ A / ∼ p(x) ∼ ( ∃x ∈ A / p(x) ) ≡ ∀x ∈ A , ∼ p(x) 12 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Negación de cuantificadores ∼ ( ∀x ∈ A , p(x) ) ≡ ∃x ∈ A / ∼ p(x) ∼ ( ∃x ∈ A / p(x) ) ≡ ∀x ∈ A , ∼ p(x) 12 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Ejemplo : La negación de ∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε︸ ︷︷ ︸ p(x) es la proposición equivalente: ∃ε > 0 / ∀δ > 0 , ∃x ∈ D : 0 < |x− a| < δ ∧ |f(x)− L| ≥ ε︸ ︷︷ ︸ ∼p(x) 13 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Cuantificadores Ejemplo : La negación de ∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε︸ ︷︷ ︸ p(x) es la proposición equivalente: ∃ε > 0 / ∀δ > 0 , ∃x ∈ D : 0 < |x− a| < δ ∧ |f(x)− L| ≥ ε︸ ︷︷ ︸ ∼p(x) 13 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅ II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B). III. P (A) ∪A = P (A) Rpta: VVF Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B) II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A). III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A) Rpta: FVF 14 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅ II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B). III. P (A) ∪A = P (A) Rpta:VVF Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B) II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A). III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A) Rpta: FVF 14 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅ II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B). III. P (A) ∪A = P (A) Rpta:VVF Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B) II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A). III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A) Rpta: FVF 14 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B). II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}. III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B) Rpta: VVV Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0. II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0 III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1). Rpta:FFV 15 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B). II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}. III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B) Rpta:VVV Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0. II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0 III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1). Rpta: FFV 15 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia Ejercicios Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B). II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}. III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B) Rpta:VVV Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0. II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0 III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1). Rpta:FFV 15 / 15 CONJUNTO POTENCIA N Conjunto Potencia
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