Álgebra Radicación en R

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RADICACIÓN EN R
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
21 de septiembre de 2017
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RADICACIÓN EN R
N
Radicales
Radicales
Definición
Sea a ∈ R y n ∈ N. La ráız n-ésima de a denotada por n
√
a es:
El número real no negativo b tal que a = bn, si n es par.
El número real b tal que a = bn, si n es impar.
n: ı́ndice, a: radicando, b: ráız n-ésima.
Ejemplo:
√
4 = 2
3
√
8 = 2 3
√
−8 = −2
2m
√
a = b⇔ a = b2m (∴ a ≥ 0 y b ≥ 0)
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RADICACIÓN EN R
N
Radicales
Radicales
Definición
Sea a ∈ R y n ∈ N. La ráız n-ésima de a denotada por n
√
a es:
El número real no negativo b tal que a = bn, si n es par.
El número real b tal que a = bn, si n es impar.
n: ı́ndice, a: radicando, b: ráız n-ésima.
Ejemplo:
√
4 = 2
3
√
8 = 2 3
√
−8 = −2
2m
√
a = b⇔ a = b2m (∴ a ≥ 0 y b ≥ 0)
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RADICACIÓN EN R
N
Radicales
Radicales
Definición
Sea a ∈ R y n ∈ N. La ráız n-ésima de a denotada por n
√
a es:
El número real no negativo b tal que a = bn, si n es par.
El número real b tal que a = bn, si n es impar.
n: ı́ndice, a: radicando, b: ráız n-ésima.
Ejemplo:
√
4 = 2
3
√
8 = 2 3
√
−8 = −2
2m
√
a = b⇔ a = b2m
(∴ a ≥ 0 y b ≥ 0)
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RADICACIÓN EN R
N
Radicales
Radicales
Definición
Sea a ∈ R y n ∈ N. La ráız n-ésima de a denotada por n
√
a es:
El número real no negativo b tal que a = bn, si n es par.
El número real b tal que a = bn, si n es impar.
n: ı́ndice, a: radicando, b: ráız n-ésima.
Ejemplo:
√
4 = 2
3
√
8 = 2 3
√
−8 = −2
2m
√
a = b⇔ a = b2m (∴ a ≥ 0 y b ≥ 0)
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Son ecuaciones de la forma
R(x) = 0
donde R(x) es una expresión irracional.
Ejemplo de una expresión irracional
R(x) = 3
√
x+
√
x− 4− 4
Para resolver una ecuación con radicales primero se determina los
valores para las cuales existen los radicales, dichos valores
determinan un conjunto U que llamaremos el universo del
problema o conjunto de valores admisibles, y el conjunto solución
será un subconjunto de este universo.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Son ecuaciones de la forma
R(x) = 0
donde R(x) es una expresión irracional.
Ejemplo de una expresión irracional
R(x) = 3
√
x+
√
x− 4− 4
Para resolver una ecuación con radicales primero se determina los
valores para las cuales existen los radicales, dichos valores
determinan un conjunto U que llamaremos el universo del
problema o conjunto de valores admisibles, y el conjunto solución
será un subconjunto de este universo.
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Son ecuaciones de la forma
R(x) = 0
donde R(x) es una expresión irracional.
Ejemplo de una expresión irracional
R(x) = 3
√
x+
√
x− 4− 4
Para resolver una ecuación con radicales primero se determina los
valores para las cuales existen los radicales, dichos valores
determinan un conjunto U que llamaremos el universo del
problema o conjunto de valores admisibles, y el conjunto solución
será un subconjunto de este universo.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación
√
2x+ 1− x+ 1 = 0
Solución: Se tiene √
2x+ 1 = x− 1
ii) Determine el universo:
2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1
2
∧ x ≥ 1
Por lo tanto
U = [1,+∞〉
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación
√
2x+ 1− x+ 1 = 0
Solución: Se tiene √
2x+ 1 = x− 1
ii) Determine el universo:
2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1
2
∧ x ≥ 1
Por lo tanto
U = [1,+∞〉
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación
√
2x+ 1− x+ 1 = 0
Solución: Se tiene √
2x+ 1 = x− 1
ii) Determine el universo:
2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1
2
∧ x ≥ 1
Por lo tanto
U = [1,+∞〉
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación
√
2x+ 1− x+ 1 = 0
Solución: Se tiene √
2x+ 1 = x− 1
ii) Determine el universo:
2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1
2
∧ x ≥ 1
Por lo tanto
U = [1,+∞〉
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación
√
2x+ 1− x+ 1 = 0
Solución: Se tiene √
2x+ 1 = x− 1
ii) Determine el universo:
2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1
2
∧ x ≥ 1
Por lo tanto
U = [1,+∞〉
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
ii) Elevando al cuadrado 2x+ 1 = (x− 1)2 y efectuando se tiene:
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ∨ x = 4
como 0 /∈ U (no es solución)
∴ C.S. = {4}
5 / 20
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
ii) Elevando al cuadrado 2x+ 1 = (x− 1)2 y efectuando se tiene:
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ∨ x = 4
como 0 /∈ U (no es solución)
∴ C.S. = {4}
5 / 20
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
ii) Elevando al cuadrado 2x+ 1 = (x− 1)2 y efectuando se tiene:
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ∨ x = 4
como 0 /∈ U (no es solución)
∴ C.S. = {4}
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
ii) Elevando al cuadrado 2x+ 1 = (x− 1)2 y efectuando se tiene:
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ∨ x = 4
como 0 /∈ U (no es solución)
∴ C.S. = {4}
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
ii) Elevando al cuadrado 2x+ 1 = (x− 1)2 y efectuando se tiene:
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ∨ x = 4
como 0 /∈ U (no es solución)
∴ C.S. = {4}
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
El siguiente teorema nos ayudará resolver las ecuaciones con
radicales.
Teorema
Para m ∈ N, se cumple que:
a a) 2m
√
x = 0⇐⇒ x = 0.
b b) 2m
√
x+ 2m
√
y = 0⇐⇒ x = 0 ∧ y = 0.
c c) 2m
√
x = 2m
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y.
d d) 2m
√
x = y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y2m.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
El siguiente teorema nos ayudará resolver las ecuaciones con
radicales.
Teorema
Para m ∈ N, se cumple que:
a a) 2m
√
x = 0⇐⇒ x = 0.
b b) 2m
√
x+ 2m
√
y = 0⇐⇒ x = 0 ∧ y = 0.
c c) 2m
√
x = 2m
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y.
d d) 2m
√
x = y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y2m.
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
El siguiente teorema nos ayudará resolver las ecuaciones con
radicales.
Teorema
Para m ∈ N, se cumple que:
a a) 2m
√
x = 0⇐⇒ x = 0.
b b) 2m
√
x+ 2m
√
y = 0⇐⇒ x = 0 ∧ y = 0.
c c) 2m
√
x = 2m
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y.
d d) 2m
√
x = y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y2m.
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
El siguiente teorema nos ayudará resolver las ecuaciones con
radicales.
Teorema
Para m ∈ N, se cumple que:
a a) 2m
√
x = 0⇐⇒ x = 0.
b b) 2m
√
x+ 2m
√
y = 0⇐⇒ x = 0 ∧ y = 0.
c c) 2m
√
x = 2m
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y.
d d) 2m
√
x = y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y2m.
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
3
√
2− x = 1−
√
x− 1
y señale la suma de sus soluciones.
Solución: i) U = {x ∈ R | x− 1 ≥ 0} = [1,+∞〉
ii) Haciendo 2− x = t3, x = 2− t3, x− 1 = 1− t3
y reemplazando en la ecuación:
3
√
t3 = 1−
√
1− t3
t = 1−
√
1− t3
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
3
√
2− x = 1−
√
x− 1
y señale la suma de sus soluciones.
Solución: i) U = {x ∈ R | x− 1 ≥ 0} = [1,+∞〉
ii) Haciendo 2− x = t3, x = 2− t3, x− 1 = 1− t3
y reemplazando en la ecuación:
3
√
t3 = 1−
√
1− t3
t = 1−
√
1− t3
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
3
√
2− x = 1−
√
x− 1
y señale la suma de sus soluciones.
Solución: i) U = {x ∈ R | x− 1 ≥ 0} = [1,+∞〉
ii) Haciendo 2− x = t3, x = 2− t3, x− 1 = 1− t3
y reemplazando en la ecuación:
3
√
t3 = 1−
√
1− t3
t = 1−
√
1− t3
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
3
√
2− x = 1−
√
x− 1
y señale la suma de sus soluciones.
Solución: i) U = {x ∈ R | x− 1 ≥ 0} = [1,+∞〉
ii) Haciendo 2− x = t3, x = 2− t3, x−1 = 1− t3
y reemplazando en la ecuación:
3
√
t3 = 1−
√
1− t3
t = 1−
√
1− t3
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
3
√
2− x = 1−
√
x− 1
y señale la suma de sus soluciones.
Solución: i) U = {x ∈ R | x− 1 ≥ 0} = [1,+∞〉
ii) Haciendo 2− x = t3, x = 2− t3, x− 1 = 1− t3
y reemplazando en la ecuación:
3
√
t3 = 1−
√
1− t3
t = 1−
√
1− t3
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
√
1− t3 = 1− t
1− t3 = (1− t)2
(1− t)(1 + t+ t2) = (1− t)2
1− t = 0 ∨ 1 + t+ t2 = 1− t
t = 1 ∨ t2 + 2t = 0
t(t+ 2) = 0
t = 1 ∨ t = 0 ∨ t = −2
t = 1 : x = 1 ∈ U,
t = 0 : x = 2 ∈ U,
t = −2 : x = 10 ∈ U.
Como 1, 2 y 10 satisfacen la ecuación, la suma de las soluciones es
13.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
√
1− t3 = 1− t
1− t3 = (1− t)2
(1− t)(1 + t+ t2) = (1− t)2
1− t = 0 ∨ 1 + t+ t2 = 1− t
t = 1 ∨ t2 + 2t = 0
t(t+ 2) = 0
t = 1 ∨ t = 0 ∨ t = −2
t = 1 : x = 1 ∈ U,
t = 0 : x = 2 ∈ U,
t = −2 : x = 10 ∈ U.
Como 1, 2 y 10 satisfacen la ecuación, la suma de las soluciones es
13.
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Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
√
1− t3 = 1− t
1− t3 = (1− t)2
(1− t)(1 + t+ t2) = (1− t)2
1− t = 0 ∨ 1 + t+ t2 = 1− t
t = 1 ∨ t2 + 2t = 0
t(t+ 2) = 0
t = 1 ∨ t = 0 ∨ t = −2
t = 1 : x = 1 ∈ U,
t = 0 : x = 2 ∈ U,
t = −2 : x = 10 ∈ U.
Como 1, 2 y 10 satisfacen la ecuación, la suma de las soluciones es
13.
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Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
√
1− t3 = 1− t
1− t3 = (1− t)2
(1− t)(1 + t+ t2) = (1− t)2
1− t = 0 ∨ 1 + t+ t2 = 1− t
t = 1 ∨ t2 + 2t = 0
t(t+ 2) = 0
t = 1 ∨ t = 0 ∨ t = −2
t = 1 : x = 1 ∈ U,
t = 0 : x = 2 ∈ U,
t = −2 : x = 10 ∈ U.
Como 1, 2 y 10 satisfacen la ecuación, la suma de las soluciones es
13.
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Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
√
1− t3 = 1− t
1− t3 = (1− t)2
(1− t)(1 + t+ t2) = (1− t)2
1− t = 0 ∨ 1 + t+ t2 = 1− t
t = 1 ∨ t2 + 2t = 0
t(t+ 2) = 0
t = 1 ∨ t = 0 ∨ t = −2
t = 1 : x = 1 ∈ U,
t = 0 : x = 2 ∈ U,
t = −2 : x = 10 ∈ U.
Como 1, 2 y 10 satisfacen la ecuación, la suma de las soluciones es
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 3
Dado el conjunto A = {x ∈ R |
√
x+ 9− x =
√
9− x}, deter-
mine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Solución:
√
x+ 9−
√
9− x = x
(
√
x+ 9−
√
9− x)(
√
x+ 9 +
√
9− x) = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
2x = x(
√
x+ 9 +
√
9− x)
x = 0 ∨ 2 =
√
x+ 9 +
√
9− x
0 = 14 + 2
√
9− x2︸ ︷︷ ︸
(+)
Por lo tanto A = {0}. Aśı
a) n(A) = 3
b) A = ∅
c) ∃x ∈ A tal que x ∈ [0; 1]
Respuesta FFV.
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 4
Sea S el conjunto solución de la siguiente ecuación√
x− 2 +
√
2x− 5 +
√
x+ 2 + 3
√
2x− 5 = 7
√
2
Determine el valor de verdad de las siguentes proposiciones:
a) S tiene más de dos elementos.
b) S ∩ N 6= ∅
c) S ∩ Z 6= ∅
Es suficiente que x ≥ 5
2
para que existan los radicales, de donde
U =
[
5
2 ; +∞
〉
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones
Ejemplo 4
Sea S el conjunto solución de la siguiente ecuación√
x− 2 +
√
2x− 5 +
√
x+ 2 + 3
√
2x− 5 = 7
√
2
Determine el valor de verdad de las siguentes proposiciones:
a) S tiene más de dos elementos.
b) S ∩ N 6= ∅
c) S ∩ Z 6= ∅
Es suficiente que x ≥ 5
2
para que existan los radicales, de donde
U =
[
5
2 ; +∞
〉
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14
√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
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RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14
√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,
entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25,
de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuacinoes con radicales
Ahora multiplicando por
√
2 ambos miembros√
2x− 4 + 2
√
2x− 5 +
√
2x+ 4 + 6
√
2x− 5 = 14√
(2x− 5) + 2
√
2x− 5 + 1 +
√
(2x− 5) + 6
√
2x− 5 + 9 = 14√
(
√
2x− 5 + 1)2 +
√
(
√
2x− 5 + 3)2 = 14
|
√
2x− 5 + 1︸ ︷︷ ︸
(+)
|+ |
√
2x− 5 + 3︸ ︷︷ ︸
(+)
| = 14
√
2x− 5 + 1 +
√
2x− 5 + 3 = 14
2
√
2x− 5 = 10,entonces
√
2x− 5 = 5, 2x− 5 = 25, de donde
x = 15 ∈ U Por tanto C.S.= {15} Respuesta FVV
12 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones con radicales
Problema 102
Al resolver la ecuación:
√
x+
√
x−
√
1− x = 1
El valor que satisface dicha ecuación tiene la forma
a
b
(a, b son
P.E.S.I.). Indique el valor de
√
b− a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Rpt. 3
13 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones con radicales
Problema 102
Al resolver la ecuación:
√
x+
√
x−
√
1− x = 1
El valor que satisface dicha ecuación tiene la forma
a
b
(a, b son
P.E.S.I.). Indique el valor de
√
b− a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Rpt. 3
13 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones con radicales
Problema 106
Determine el cardinal del conjunto solución de la ecuación
√
13− 5x+ 2 = x−
√
5− 3x
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Son expresiones de la forma
R(x) < 0 ∨ R(x) ≤ 0 ∨ R(x) > 0 ∨ R(x) ≥ 0
donde R(x) es una expresión irracional.
El siguiente teorema es util al resolver una inecuación de este tipo.
Teorema
a) 1)
√
x+
√
y ≥ 0⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
b)
√
x+
√
y > 0⇐⇒ (x ≥ 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0).
c) 2)
√
x ≤ √y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x ≤ y.
d)
√
x <
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x < y
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Son expresiones de la forma
R(x) < 0 ∨ R(x) ≤ 0 ∨ R(x) > 0 ∨ R(x) ≥ 0
donde R(x) es una expresión irracional.
El siguiente teorema es util al resolver una inecuación de este tipo.
Teorema
a) 1)
√
x+
√
y ≥ 0⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
b)
√
x+
√
y > 0⇐⇒ (x ≥ 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0).
c) 2)
√
x ≤ √y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x ≤ y.
d)
√
x <
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x < y
15 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Son expresiones de la forma
R(x) < 0 ∨ R(x) ≤ 0 ∨ R(x) > 0 ∨ R(x) ≥ 0
donde R(x) es una expresión irracional.
El siguiente teorema es util al resolver una inecuación de este tipo.
Teorema
a) 1)
√
x+
√
y ≥ 0⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
b)
√
x+
√
y > 0⇐⇒ (x ≥ 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0).
c) 2)
√
x ≤ √y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x ≤ y.
d)
√
x <
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x < y
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Son expresiones de la forma
R(x) < 0 ∨ R(x) ≤ 0 ∨ R(x) > 0 ∨ R(x) ≥ 0
donde R(x) es una expresión irracional.
El siguiente teorema es util al resolver una inecuación de este tipo.
Teorema
a) 1)
√
x+
√
y ≥ 0⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
b)
√
x+
√
y > 0⇐⇒ (x ≥ 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0).
c) 2)
√
x ≤ √y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x ≤ y.
d)
√
x <
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x < y
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Son expresiones de la forma
R(x) < 0 ∨ R(x) ≤ 0 ∨ R(x) > 0 ∨ R(x) ≥ 0
donde R(x) es una expresión irracional.
El siguiente teorema es util al resolver una inecuación de este tipo.
Teorema
a) 1)
√
x+
√
y ≥ 0⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
b)
√
x+
√
y > 0⇐⇒ (x ≥ 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0).
c) 2)
√
x ≤ √y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x ≤ y.
d)
√
x <
√
y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x < y
15 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Teorema
a) 3)
√
x ≤ y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ y2.
b)
√
x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y2.
c) 4)
√
x ≥ y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥ y2).
d)
√
x > y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x > y2).
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Teorema
a) 3)
√
x ≤ y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ y2.
b)
√
x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y2.
c) 4)
√
x ≥ y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥ y2).
d)
√
x > y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x > y2).
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Teorema
a) 3)
√
x ≤ y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ y2.
b)
√
x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y2.
c) 4)
√
x ≥ y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥ y2).
d)
√
x > y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x > y2).
16 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Teorema
a) 3)
√
x ≤ y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ y2.
b)
√
x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y2.
c) 4)
√
x ≥ y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥ y2).
d)
√
x > y ⇐⇒ (y < 0 ∧ x ≥ 0) ∨ (y ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x > y2).
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con radicales
Ejemplo 5
Resuelva la inecuación
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
Solución: i) Determinamos el universo
U = {x ∈ R | 5− x ≥ 0 ∧ 2x− 6 ≥ 0} = [3; 5]
ii) Como
√
5− x ≥ 0 y
√
2x− 6 ≥ 0,
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
es decir, la inecuación se verifica ∀x ∈ U.
∴ C.S. = U = [3, 5]
17 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con radicales
Ejemplo 5
Resuelva la inecuación
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
Solución: i) Determinamos el universo
U = {x ∈ R | 5− x ≥ 0 ∧ 2x− 6 ≥ 0} = [3; 5]
ii) Como
√
5− x ≥ 0 y
√
2x− 6 ≥ 0,
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
es decir, la inecuación se verifica ∀x ∈ U.
∴ C.S. = U = [3, 5]
17 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con radicales
Ejemplo 5
Resuelva la inecuación
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
Solución: i) Determinamos el universo
U = {x ∈ R | 5− x ≥ 0 ∧ 2x− 6 ≥ 0} = [3; 5]
ii) Como
√
5− x ≥ 0 y
√
2x− 6 ≥ 0,
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
es decir, la inecuación se verifica ∀x ∈ U.
∴ C.S. = U = [3, 5]
17 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con radicales
Ejemplo 5
Resuelva la inecuación
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
Solución: i) Determinamos el universo
U = {x ∈ R | 5− x ≥ 0 ∧ 2x− 6 ≥ 0} = [3; 5]
ii) Como
√
5− x ≥ 0 y
√
2x− 6 ≥ 0,
√
5− x+
√
2x− 6 ≥ 0
es decir, la inecuación se verifica ∀x ∈ U.
∴ C.S. = U = [3, 5]
17 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Ejemplo 6
Resolver 3
√
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < x+ 1
Solución: i) El universo es U = 〈−∞; 1]
ii) elevando al cubo y simplificando
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < (x+ 1)3
⇐⇒
√
1− x < 3− 3x
⇐⇒
√
1− x︸ ︷︷ ︸
(+)
< 3 (1− x)︸ ︷︷ ︸
(+)
⇐⇒ (x− 1)(9x− 8) > 0
⇐⇒ x < 8
9
∨ x > 1 =⇒ C.S. =
〈
−∞; 8
9
〉
18 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Ejemplo 6
Resolver 3
√
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < x+ 1
Solución: i) El universo es U = 〈−∞; 1]
ii) elevando al cubo y simplificando
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < (x+ 1)3
⇐⇒
√
1− x < 3− 3x
⇐⇒
√
1− x︸ ︷︷ ︸
(+)
< 3 (1− x)︸ ︷︷ ︸
(+)
⇐⇒ (x− 1)(9x− 8) > 0
⇐⇒ x < 8
9
∨ x > 1 =⇒ C.S. =
〈
−∞; 8
9
〉
18 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Ejemplo 6
Resolver 3
√
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < x+ 1
Solución: i) El universo es U = 〈−∞; 1]
ii) elevando al cubo y simplificando
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < (x+ 1)3
⇐⇒
√
1− x < 3− 3x
⇐⇒
√
1− x︸ ︷︷ ︸
(+)
< 3 (1− x)︸ ︷︷ ︸
(+)
⇐⇒ (x− 1)(9x− 8) > 0
⇐⇒ x < 8
9
∨ x > 1 =⇒ C.S. =
〈
−∞; 8
9
〉
18 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Ejemplo 6
Resolver 3
√
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < x+ 1
Solución: i) El universo es U = 〈−∞; 1]
ii) elevando al cubo y simplificando
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < (x+ 1)3
⇐⇒
√
1− x < 3− 3x
⇐⇒
√
1− x︸ ︷︷ ︸
(+)
< 3 (1− x)︸ ︷︷ ︸
(+)
⇐⇒ (x− 1)(9x− 8) > 0
⇐⇒ x < 8
9
∨ x > 1 =⇒ C.S. =
〈
−∞; 8
9
〉
18 / 20
RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones
Ejemplo 6
Resolver 3
√
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < x+ 1
Solución: i) El universo es U = 〈−∞; 1]
ii) elevando al cubo y simplificando
x3 + 3x2 + 6x− 2 +
√
1− x < (x+ 1)3
⇐⇒
√
1− x < 3− 3x
⇐⇒
√
1− x︸ ︷︷ ︸
(+)
< 3 (1− x)︸ ︷︷ ︸
(+)
⇐⇒ (x− 1)(9x− 8) > 0
⇐⇒ x < 8
9
∨ x > 1 =⇒ C.S. =
〈
−∞; 8
9
〉
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuacionescon radicales
Problema 108
Respecto al conjunto solución S de la inecuación:
√
1− x > 2x+ 8
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
i. 〈−∞;−10〉 ⊂ S.
ii. S ⊂ 〈−5; 5〉.
iii. S ∩ Z+ = ∅
A) VFF B) FFV C) VFV D) VVF E) FFF
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RADICACIÓN EN R
N
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con radicales
Problema 110
Determine el conjunto solución S de la inecuación:
3
√
2− x−
√
4− x < 3
De como respuesta n(S ∩ Z+)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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RADICACIÓN EN R
N
	Radicales
	Ecuaciones con radicales
	Inecuaciones con radicales