Álgebra Teoría de Polinomios

Vista previa del material en texto

Teoŕıa de Polinomios
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
24 de octubre de 2016
1 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Polinomio de una variable
Un polinomio p(x) de una variable x sobre un cuerpo K
(K = R,Q o C) es una suma formal finita del tipo
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=0
aix
i
donde a0, a1, · · · , an ∈ K , n ∈ N ∪ {0}. Denotaremos por K [x ]
al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K .
2 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
a0, a1, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio p(x).
El término a0, se llama el término independiente del polinomio
p(x).
Si an 6= 0:
an se llama el coeficiente principal del polinomio p(x), y
n se llama el grado del polinomio p y será denotado por gr(p).
Si an = 1, p(x) se llama polinomio mónico.
El polinomio nulo p(x) = 0 no tiene grado.
El polinomio constante p(x) = λ, donde λ ∈ K , λ 6= 0 tiene
grado cero.
3 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Ejemplos
Presentamos algunos ejemplos de polinomios de una variable
q(x) ∈ Q[X ], q(x) = 5− 13x
5 − x2.
r(x) ∈ R[X ], r(x) =
√
3x5 − 23x3 − πx2.
p(x) ∈ C[X ], p(x) = 1 + 2ix + 4x3 + (2− 3i)x2.
4 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Ejercicio
Sea el polinomio p(x) ∈ Q[X ]
p(x) = 17x
10−2n
2 + 45x
128
2n
Hallar el producto de valores que toma n.
Solución:
Los exponentes de los polinomios son:
10− 2n
2
∈ N ∪ {0}, 128
2n
∈ N ∪ {0}
entonces los valores que puede tomar n = 1, 2, 3.
Respuesta: 6.
5 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Ejercicio
Sea el polinomio p(x) ∈ Q[X ]
p(x) = 17x
10−2n
2 + 45x
128
2n
Hallar el producto de valores que toma n.
Solución:
Los exponentes de los polinomios son:
10− 2n
2
∈ N ∪ {0}, 128
2n
∈ N ∪ {0}
entonces los valores que puede tomar n = 1, 2, 3.
Respuesta: 6.
5 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Ejercicio
Sea el polinomio p(x) ∈ Q[X ]
p(x) = 17x
10−2n
2 + 45x
128
2n
Hallar el producto de valores que toma n.
Solución:
Los exponentes de los polinomios son:
10− 2n
2
∈ N ∪ {0}, 128
2n
∈ N ∪ {0}
entonces los valores que puede tomar n = 1, 2, 3.
Respuesta: 6.
5 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
La función evaluación
Sea α ∈ C. La función Eα : A[X ]→ C definida por
Eα(p(x)) = p(α)
se llama función evaluación en α.
En particular, si p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
El término independiente: p(0) = a0
La suma de los coeficientes de p(x):
P(1) = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an
Se dice que α es una ráız del polinomio p(x), si
p(α) = 0
6 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
La función evaluación
Sea α ∈ C. La función Eα : A[X ]→ C definida por
Eα(p(x)) = p(α)
se llama función evaluación en α.
En particular, si p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
El término independiente: p(0) = a0
La suma de los coeficientes de p(x):
P(1) = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an
Se dice que α es una ráız del polinomio p(x), si
p(α) = 0
6 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
La función evaluación
Sea α ∈ C. La función Eα : A[X ]→ C definida por
Eα(p(x)) = p(α)
se llama función evaluación en α.
En particular, si p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
El término independiente: p(0) = a0
La suma de los coeficientes de p(x):
P(1) = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an
Se dice que α es una ráız del polinomio p(x), si
p(α) = 0
6 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
La función evaluación
Sea α ∈ C. La función Eα : A[X ]→ C definida por
Eα(p(x)) = p(α)
se llama función evaluación en α.
En particular, si p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn
El término independiente: p(0) = a0
La suma de los coeficientes de p(x):
P(1) = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an
Se dice que α es una ráız del polinomio p(x), si
p(α) = 0
6 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Polinomios de varias variables
a)
p(x , y , z) = 2x3y2z4 −
√
3xy5z2 +
1
2
x5y ∈ R[x , y , z ]
b)
p(x , y) =
2
3
x2y3 + 3x2y2 +
1
2
x5y ∈ Q[x , y ]
7 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GR
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo:
Dado el polinomio p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ]
p(x , y , z) = 20x2y5 − 3x64y13z2 + 666xy34,
se tiene que: GRx = 64 , GRy = 34 y GRz = 2.
8 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GR
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo:
Dado el polinomio p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ]
p(x , y , z) = 20x2y5 − 3x64y13z2 + 666xy34,
se tiene que: GRx = 64 , GRy = 34 y GRz = 2.
8 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GR
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo:
Dado el polinomio p(x , y , z) ∈ R[x , y, z ]
p(x , y , z) = 20x2y5 − 3x64y13z2 + 666xy34,
se tiene que: GRx = 64 , GRy = 34 y GRz = 2.
8 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GA
Es la mayor suma de exponentes de sus términos o sumandos.
Ejemplo:
Sea q(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] definido de la forma siguiente:
q(x , y , z) = 2xy3 − 3x6y3z + x4y3z7 − 15x6,
Entonces GA = 14, puesto que 14=máx{4, 10, 14, 6 }.
9 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GA
Es la mayor suma de exponentes de sus términos o sumandos.
Ejemplo:
Sea q(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] definido de la forma siguiente:
q(x , y , z) = 2xy3 − 3x6y3z + x4y3z7 − 15x6,
Entonces GA = 14, puesto que 14=máx{4, 10, 14, 6 }.
9 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Teoŕıa de Polinomios
Grado Relativo GA
Es la mayor suma de exponentes de sus términos o sumandos.
Ejemplo:
Sea q(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] definido de la forma siguiente:
q(x , y , z) = 2xy3 − 3x6y3z + x4y3z7 − 15x6,
Entonces GA = 14, puesto que 14=máx{4, 10, 14, 6 }.
9 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
1.- Polinomio homogéneo
p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] \ {0} es un polinomio homogéneo, si para
todo λ 6= 0 se cumple que
p(λx , λy , λz) = λnp(x , y , z)
n es el grado de homogeneidad de p.
Ejemplo
p(x , y , z) = 2x3y4 − 3x6z + 6xy3z3 es un polinomio homogéneo
con grado de homogeneidad 7.
p(x , y) = 5 es homogéneo con grado de homogeneidad 0.
p(x , y) = 7xy es homogéneo con grado de homogeneidad 2.
10 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
1.- Polinomio homogéneo
p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] \ {0} es un polinomio homogéneo, si para
todo λ 6= 0 se cumple que
p(λx , λy , λz) = λnp(x , y , z)
n es el grado de homogeneidad de p.
Ejemplo
p(x , y , z) = 2x3y4 − 3x6z + 6xy3z3 es un polinomio homogéneo
con grado de homogeneidad 7.
p(x , y) = 5 es homogéneo con grado de homogeneidad 0.
p(x , y) = 7xy es homogéneo con grado de homogeneidad 2.
10 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
1.- Polinomio homogéneo
p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] \ {0} es un polinomio homogéneo, si para
todo λ 6= 0 se cumple que
p(λx , λy , λz) = λnp(x , y , z)
n es el grado de homogeneidad de p.
Ejemplo
p(x , y , z) = 2x3y4 − 3x6z + 6xy3z3 es un polinomio homogéneo
con grado de homogeneidad 7.
p(x , y) = 5 es homogéneo con grado de homogeneidad 0.
p(x , y) = 7xy es homogéneo con grado de homogeneidad 2.
10 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
1.- Polinomio homogéneo
p(x , y , z) ∈ R[x , y , z ] \ {0} es un polinomio homogéneo, si para
todo λ 6= 0 se cumple que
p(λx , λy , λz) = λnp(x , y , z)
n es el grado de homogeneidad de p.
Ejemplo
p(x , y , z) = 2x3y4 − 3x6z + 6xy3z3 es un polinomio homogéneo
con grado de homogeneidad 7.
p(x , y) = 5 es homogéneo con grado de homogeneidad 0.
p(x , y) = 7xy es homogéneo con grado de homogeneidad 2.
10 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
2.- Polinomio Ordenado
Un polinomio es ordenado respecto a alguna de sus variables,
cuando los exponentes de esta variable están en forma creciente
o decreciente.
Ejemplos
p(x , y) = 3x + x2y + 10x7 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable x .
q(x , y) = x5 + x2y + 10xy10 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable y , pero es decreciente respecto a la variable x .
11 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
2.- Polinomio Ordenado
Un polinomio es ordenado respecto a alguna de sus variables,
cuando los exponentes de esta variable están en forma creciente
o decreciente.
Ejemplos
p(x , y) = 3x + x2y + 10x7 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable x .
q(x , y) = x5 + x2y + 10xy10 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable y , pero es decreciente respecto a la variable x .
11 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
2.- Polinomio Ordenado
Un polinomio es ordenado respecto a alguna de sus variables,
cuando los exponentes de esta variable están en forma creciente
o decreciente.
Ejemplos
p(x , y) = 3x + x2y + 10x7 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable x .
q(x , y) = x5 + x2y + 10xy10 ∈ R[x , y ] es creciente respecto a la
variable y , pero es decreciente respecto a la variable x .
11 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
3.- Polinomio Completo
Un polinomio se llama completo respecto a una variable, si el
polinomio contiene términos de todos los grados.
Ejemplo
Sea p(x) = x5 − 10x4 + 10x2 − 5 + 5x3 + 3x ∈ R[x ] es un
polinomio completo.
Nota
Si un polinomio es completo respecto a una variable, el número
de términos de este polinomio, es igual a su grado aumentado
en 1.
número de términos de p = gr(p) + 1
12 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
3.- Polinomio Completo
Un polinomio se llama completo respecto a una variable, si el
polinomio contiene términos de todos los grados.
Ejemplo
Sea p(x) = x5 − 10x4 + 10x2 − 5 + 5x3 + 3x ∈ R[x ] es un
polinomio completo.
Nota
Si un polinomio es completo respecto a una variable, el número
de términos de este polinomio, es igual a su grado aumentado
en 1.
número de términos de p = gr(p) + 1
12 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
3.- Polinomio Completo
Un polinomio se llama completo respecto a una variable, si el
polinomio contiene términos de todos los grados.
Ejemplo
Sea p(x) = x5 − 10x4 + 10x2 − 5 + 5x3 + 3x ∈ R[x ] es un
polinomio completo.
Nota
Si un polinomio es completo respecto a una variable, el número
de términos de este polinomio, es igual a su grado aumentado
en 1.
número de términos de p = gr(p) + 1
12 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
4.- Polinomios Idénticos
Se dice que dos polinomios son idénticos o iguales si coinciden
todos los coeficientes de sus terminos semejantes, es decir,
p(x) =
n∑
i=0
aix
i , q(x) =
n∑
i=0
bix
i
entonces
p(x) = q(x)⇔ ai = bi , 0 ≤ i ≤ n
Ejemplo
p(x , y) = (x + y)2 − 4xy y q(x , y) = (x − y)2
son polinomios idénticos. 13 / 19Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
5.- Polinomio Identicamente Nulo
Un polinomio
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn ∈ K [X ]
es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son nulos, es decir
a0 = a1 = · · · = an = 0
Ejemplo
p(x) = (x + 3)2 − (x − 3)2 − 12x
es un polinomio identicamente nulo.
14 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 1
Si el polinomio p(x) ∈ Z[X ] definido de la forma
p(x) = nxn+5 + (n + 1)xn+6 + (n + 2)xn+7 + . . .
es completo y ordenado. Halle el grado del polinomio p(x).
Solución:
Como el polinomio es completo y ordenado de manera creciente
entonces el primer término tiene que ser el término independiente
entonces n + 5 = 0→ n = −5, reemplazando obtenemos:
p(x) = −5− 4x − 3x2 − 2x3 − x4
Respuesta: 4.
15 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 1
Si el polinomio p(x) ∈ Z[X ] definido de la forma
p(x) = nxn+5 + (n + 1)xn+6 + (n + 2)xn+7 + . . .
es completo y ordenado. Halle el grado del polinomio p(x).
Solución:
Como el polinomio es completo y ordenado de manera creciente
entonces el primer término tiene que ser el término independiente
entonces n + 5 = 0→ n = −5, reemplazando obtenemos:
p(x) = −5− 4x − 3x2 − 2x3 − x4
Respuesta: 4.
15 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 1
Si el polinomio p(x) ∈ Z[X ] definido de la forma
p(x) = nxn+5 + (n + 1)xn+6 + (n + 2)xn+7 + . . .
es completo y ordenado. Halle el grado del polinomio p(x).
Solución:
Como el polinomio es completo y ordenado de manera creciente
entonces el primer término tiene que ser el término independiente
entoncesn + 5 = 0→ n = −5, reemplazando obtenemos:
p(x) = −5− 4x − 3x2 − 2x3 − x4
Respuesta: 4.
15 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 2
Sean p(x) = x4 − 5x2 + x + 1 y
q(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4)
Si p, q son polinomios idénticos sobre R, halle el valor de
M = (1− x21 )(1− x22 )(1− x23 )(1− x24 )
16 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Solución: Como los polinomios son idénticos, evaluando cuando
x = 1 y x = −1:
−2 = (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4)
−4 = (−1− x1)(−1− x2)(−1− x3)(−1− x4)
y multiplicando estas expresiones, obtenemos que
8 = (1− x21 )(1− x22 )(1− x23 )(1− x24 )
Respuesta M = 8
17 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Solución: Como los polinomios son idénticos, evaluando cuando
x = 1 y x = −1:
−2 = (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4)
−4 = (−1− x1)(−1− x2)(−1− x3)(−1− x4)
y multiplicando estas expresiones, obtenemos que
8 = (1− x21 )(1− x22 )(1− x23 )(1− x24 )
Respuesta M = 8
17 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Solución: Como los polinomios son idénticos, evaluando cuando
x = 1 y x = −1:
−2 = (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4)
−4 = (−1− x1)(−1− x2)(−1− x3)(−1− x4)
y multiplicando estas expresiones, obtenemos que
8 = (1− x21 )(1− x22 )(1− x23 )(1− x24 )
Respuesta M = 8
17 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 3
El polinomio
P(x ; y) = . . .+ xayb+2 + T (x ; y) + xbya+2 + . . .
es completo, homogéneo de grado 8 y ordenado ascendentemente
respecto a x . Halle el grado relativo a y del monomio T (x ; y).
Solución:
Teniendo en cuenta que el polinomio es de grado 8 se obtiene
a + b = 6 y por ser ordenado ascendentemente respecto a x se
obtiene que b = a + 2 entonces a = 2, b = 4. Entonces
T (x ; y) = x3y5.
Respuesta: 5.
18 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 3
El polinomio
P(x ; y) = . . .+ xayb+2 + T (x ; y) + xbya+2 + . . .
es completo, homogéneo de grado 8 y ordenado ascendentemente
respecto a x . Halle el grado relativo a y del monomio T (x ; y).
Solución:
Teniendo en cuenta que el polinomio es de grado 8 se obtiene
a + b = 6 y por ser ordenado ascendentemente respecto a x se
obtiene que b = a + 2 entonces a = 2, b = 4. Entonces
T (x ; y) = x3y5.
Respuesta: 5.
18 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 3
El polinomio
P(x ; y) = . . .+ xayb+2 + T (x ; y) + xbya+2 + . . .
es completo, homogéneo de grado 8 y ordenado ascendentemente
respecto a x . Halle el grado relativo a y del monomio T (x ; y).
Solución:
Teniendo en cuenta que el polinomio es de grado 8 se obtiene
a + b = 6 y por ser ordenado ascendentemente respecto a x se
obtiene que b = a + 2 entonces a = 2, b = 4. Entonces
T (x ; y) = x3y5.
Respuesta: 5.
18 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 4
Si la suma de coeficientes de P(x) es 10, calcule el término
independiente si se cumple la siguiente relación
P(6− x) + P(x − 2) ≡ P(x − 1) + x + P(x + 2)
Solución:
Evaluando de forma conveniente para x = 2 se tiene
P(4) + P(0) ≡ P(1) + 2 + P(4)
Respuesta: P(0) = 12.
19 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 4
Si la suma de coeficientes de P(x) es 10, calcule el término
independiente si se cumple la siguiente relación
P(6− x) + P(x − 2) ≡ P(x − 1) + x + P(x + 2)
Solución:
Evaluando de forma conveniente para x = 2 se tiene
P(4) + P(0) ≡ P(1) + 2 + P(4)
Respuesta: P(0) = 12.
19 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
Contenido Teórico
Polinomios Especiales
Ejercicio 4
Si la suma de coeficientes de P(x) es 10, calcule el término
independiente si se cumple la siguiente relación
P(6− x) + P(x − 2) ≡ P(x − 1) + x + P(x + 2)
Solución:
Evaluando de forma conveniente para x = 2 se tiene
P(4) + P(0) ≡ P(1) + 2 + P(4)
Respuesta: P(0) = 12.
19 / 19
Teoŕıa de Polinomios
N
	Contenido Teórico