Álgebra Operaciones con Polinomios

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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
30 de octubre de 2017
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Adición de polinomios
Dado los polinomios
P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n,
Q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + ... + bmx
m
Donde n y m no son necesariamente iguales.
Adición
Se denomina adición de P y Q al polinomio P + Q tal que:
(P + Q)(x) = c0 + c1x + c2x
2 + ...
donde ci = ai + bi , ∀i ∈ {0; 1; 2; ...;máx{n,m}}
Si n < m considere ai = 0 n < i ≤ m.
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Adición de polinomios
Dado los polinomios
P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n,
Q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + ... + bmx
m
Donde n y m no son necesariamente iguales.
Adición
Se denomina adición de P y Q al polinomio P + Q tal que:
(P + Q)(x) = c0 + c1x + c2x
2 + ...
donde ci = ai + bi , ∀i ∈ {0; 1; 2; ...;máx{n,m}}
Si n < m considere ai = 0 n < i ≤ m.
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Adición de polinomios
Teorema
Sean P , Q y P + Q polinomios no nulos, se cumple
gr(P + Q) ≤ máx{gr(P ), gr(Q)}}
Ejemplo
1 P (x) = x3 + 2x2 ; Q(x) = x4 + 1
⇒ gr(P + Q) = 4
2 M(x) = 3− x7 ; N(x) = x7 + x3 + 5
⇒ gr(M + N) = 3
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N
Adición de polinomios
Teorema
Sean P , Q y P + Q polinomios no nulos, se cumple
gr(P + Q) ≤ máx{gr(P ), gr(Q)}}
Ejemplo
1 P (x) = x3 + 2x2 ; Q(x) = x4 + 1
⇒ gr(P + Q) = 4
2 M(x) = 3− x7 ; N(x) = x7 + x3 + 5
⇒ gr(M + N) = 3
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N
Adición de polinomios
Teorema
Sean P , Q y P + Q polinomios no nulos, se cumple
gr(P + Q) ≤ máx{gr(P ), gr(Q)}}
Ejemplo
1 P (x) = x3 + 2x2 ; Q(x) = x4 + 1
⇒ gr(P + Q) = 4
2 M(x) = 3− x7 ; N(x) = x7 + x3 + 5
⇒ gr(M + N) = 3
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Multiplicación de polinomios
Multiplicación
Se denomina multiplicación de P y Q al polinomio
(P.Q)(x) = c0 + c1x + c2x
2 + ... + cm+nx
m+n
donde ck = a0bk + a1bk−1 + ... + akb0
Nota:
P.Q puede ser obtenido multiplicando cada término aix
i de P
por cada término bjx
j de Q según la regla
(aix
i)(bjx
j) = aibjx
i+j
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Multiplicación de polinomios
Multiplicación
Se denomina multiplicación de P y Q al polinomio
(P.Q)(x) = c0 + c1x + c2x
2 + ... + cm+nx
m+n
donde ck = a0bk + a1bk−1 + ... + akb0
Nota:
P.Q puede ser obtenido multiplicando cada término aix
i de P
por cada término bjx
j de Q según la regla
(aix
i)(bjx
j) = aibjx
i+j
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Multiplicación de polinomios
Ejemplo
Multiplicar: P (x) = x + 2x2 − 3x3 por Q(x) = 4 + 5x + 6x2
Solución:
(P.Q)(x) = (4 + 5x + 6x2)(x + 2x2 − 3x3)
= 4(x + 2x2 − 3x3) + 5x(x + 2x2 − 3x3) + 6x2(x + 2x2 − 3x3)
= 4x + 13x2 + 4x3 − 3x4 − 18x5
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Multiplicación de polinomios
Disposición práctica
x + 2x2 − 3x3 → P
4 + 5x + 6x2 → Q
4x + 8x2 − 12x3
5x2 + 10x3 − 15x4
6x3 + 12x4 − 18x5
4x + 13x2 + 4x3 − 3x4 − 18x5
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N
Multiplicación de polinomios
Proposición
1. 1) Sean P y Q dos polinomios no nulos, entonces el grado de
PQ es igual a la suma de los grados de P y Q, es decir
gr(P.Q) = gr(P ) + gr(Q)
2. 2) Sea P un polinomio no nulo y n ∈ N
gr(Pn) = n.gr(P )
3. 3) El producto de polinomios homogéneos es también un
polinomio homogéneo.
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N
División de polinomios
División de polinomios
Algoritmo de la división de polinomios
Dados los polinomios D(x) y d(x) sobre R. Si d(x) 6= 0, entonces
existen únicos polinomios q(x) y r(x) tal que:
D(x) = d(x)q(x) + r(x)
donde
r(x) = 0 o gr(r(x)) < gr(d(x))
D(x) se llama Dividendo, d(x) se llama divisor, q(x) se llama
cociente y r(x) se llama residuo.
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N
Ejemplo 1
Determine q(2)r(3), siendo q(x) y r(x), el cociente y residuo
respectivamente de la siguiente división:
(x300 − 3)÷ (x297 − x)
Solución: Por el algoritmo de la división D(x) = d(x)q(x) + r(x)
luego
x300 − 3 = (x297 − x)x3 + (x4 − 3)
Como q y r únicos, se tiene que q(x) = x3 y r(x) = x4 − 3.
Por lo tanto
q(2)r(3) = 8× 78 = 624
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Ejemplo 2
Encuentre el cociente y el residuo al dividir x2 − 5 por x2 + 1.
Solución:
Por el algoritmo de la división D(x) = d(x)q(x) + r(x) luego:
x2 − 5 = (x2 + 1)(1) + (−6)
Como q y r son únicos, se tiene que q(x) = 1 y r(x) = −6
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
N
Ejemplo 3
Encuentre el cociente y el residuo al dividir 3x por x2 − 1.
Solución:
Por el algoritmo de la división D(x) = d(x)q(x) + r(x)
luego:
3x = (x2 − 1)(0) + (3x)
Como q y r son únicos, se tiene que: q(x) = 0 y r(x) = 3x
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N
Ejemplo 4
Sea n ∈ N y n > 3000. Al dividir (xn−1) por [(x−1)(x2−x+1)]
se obtuvo como resto ax2 − 2ax + a, con a 6= 0
Determine la suma de los coeficientes del cociente.
Solución:
Por el algoritmo de la división:
xn − 1 = (x− 1)(x2 − x + 1)q(x) + a(x− 1)2
Dividiendo por (x− 1) ambos lados:
xn−1 + xn−2 + ... + x + 1 = (x2 − x + 1)q(x) + a(x− 1)
Para x = 1, se obtiene q(1) = n
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N
Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 278
Si mx6+4x5+10x4+x3−3x−2, es múltiplo de 2x3+x2+2x+1;
y q(x) es el cociente de dividirlos, halle el valor de m + n (n es
el coeficiente principal de q(x)).
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
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N
Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 280
Indique el valor verdad de las siguientes afirmaciones:
I. Si P (x) y Q(x) son dos polinomios no nulos y se tiene que si
gr(P (x) + Q(x)) = 5, entonces gr(P (x)) = 5 ∨ gr(Q(x)) = 5
II. Si P (x) y Q(x) son polinomios no nulos, entonces
gr(P (x) + Q(x)) = g(P (x)−Q(x))
III. Si P (x) es un polinomio no nulo, entonces
gr(P (x))5 = 5gr(P (x))
A) FFF B) FFV C) FVV
D) VVV E) VFF
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N
Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 283
Sean los polinomios
P (x) = ax2 − bx + a ,
Q(x) = bx2 − ax + c , a < b
Sabiendo que el producto de dichos polinomios es
12x4 − 25x3 + 39x2 − (8a + 5)x + 15
determine el término independiente de 3Q(x)− 4P (x).
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
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N
Problemas
Ejercicios de Clase
Problema 295
Halle m + n, si la división de 6x4 + 4x3 − 5x2 − 10x + m por
3x2 + 2x + n es exacta.
A) 15 B) -15 C) 20
D) -20 E) 25
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N
Problemas
Ejercicios complementarios
Ejercicio 1
Si 4x + x = −2, halle el valor de:
L = (x + 1)(x− 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
a) 8 b) 48 c) 54 d) 57 e) 63
Ejercicio 2
Si el resto de dividir (x − 3)11 + 2(x − 4)3 por x2 − 7x + 12
tiene la forma ax + b, calcule ab.
a) -10 b) -15 c) -22 d) -33 e) -35
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N
Problemas
Ejercicios complementarios
Ejercicio 3
En la siguiente división: (512x9 − 20)÷ (2x− 1)
Encuentre la suma de coeficientes del cociente.
a) 511 b) 512 c) 360 d) 510 e) 515
Ejercicio 4
Sea D(x) un polinomio Mónico de primer grado, con respecto a
la división: [2D(x)]2 ÷ [D(x) + x2 − x− 2017] podemos afirmar
necesariamente que:
a) El residuo es 4
b) El residuo es de segundo grado
c) La suma de coeficientes del residuo es 4
d) El cociente es 4
e) El término independiente del residuo es 4
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