Álgebra Cocientes Notables y Factorización

Vista previa del material en texto

SEMANA 10.1
Cocientes notables y
factorización
SSSEMDSESASANA
Contenido
Cocientes notables
Factorización sobre un cuerpo o campo.
Cociente Notable
Son aquellos cocientes que se obtienen de las divisiones
exactas de la forma: 
Nn
ax
ax nn



;
El cociente notable que se genera es un polinomio
ordenado y completo de grado n-1
),( axq
Caso 1
:
Nn
ax
ax nn



;
axax  0
0)(  nn aaxR
na
a a 2a
3a
1na na
a 2a 3a
1na
Nnaxaaxaxx
ax
ax
nnnnn
nn



 ;.................. 122321
Por el teorema del resto:
Calculo del cociente por Ruffini:
1 0 0 0 ………….. 0 
………..1
………
…..
0
Caso 2
Caso 3
Caso 4
parNnaxaaxaxx
ax
ax
nnnnn
nn
,;.................. 122321 



imparNnaxaaxaxx
ax
ax
nnnnn
nn
,;.................. 122321 



NnnotablecocienteunesNo
ax
ax nn



;
TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE
1 kkn
k
axT
11)1(  kknk
k
axT
2
1

nc
TT
2
nc
TT 
1
2


nc
TT
tr
qp
ax
ax


n
t
q
r
p

Para el caso 1: 
Para los casos 2 y 3:
NOTAS
a. Termino Central:
i. Si n es impar:
ii. Si n es par:
b. Una división de la forma: , genera un cociente notable 
si (n : número de términos del cociente notable)
Ejemplo :


yx
yx


2
2
636 yx





2
2
n
636232
3
)()( yxyxT n   
6236)3(2   n
93  n
•Determine el numero de términos del cociente notable: 
,
sabiendo que el tercer término es 
Solución
Numero de términos: 
FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio sobre K (K=Q, R o C), es escribirlo como una 
multiplicación indicada de otros polinomios que sean primos.
POLINOMIO PRIMO
Un polinomio no constante es primo o irreductible sobre K 
(K=Q, R o C), si no es posible expresarlo como el producto de 
polinomios de menor grado pero positivo.
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS
624426 22),( yyxyxxyxp 
)2()2(),( 442442 yxyyxxyxp 
))(2(),( 2244 yxyxyxp 
))()(2(),( 44 yxyxyxyxp 
Se agrupan los términos del polinomio de 2 en 2, 3 en 3;.etc, tratando de 
conseguir un factor común binomio, trinomio, etc.
Ejemplo:
Factorizar: 
Solución:
Agrupando:
FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE 
CBxAx nn 2 mmnn CyyBxAx 22  Nnm ,;
6324 20236),( yyxxyxp 
6324 20236),( yyxxyxp 
22x
35y
23x
34y
)43)(52(),( 3232 yxyxyxp 
Se emplea para factorizar trinomios de la forma:
ó
Se descomponen los extremos de tal manera que las suma de productos 
en aspa sea igual al término central, los factores 
son los términos ubicados en línea horizontal.
Ejemplo: Factorizar: 
Solución
FACTORIZACIÓN POR ASPA DOBLE 
FEyDxCyyBxAx mnmmnn  22 Nnm ,;
1 nm
FEyDxCyBxyAx  22
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
En particular, si , adquiere la forma:
Para factorizar se ordena el polinomio de la forma general, si faltara 
algún término se completa con términos de coeficiente cero y luego se
aplican tres aspas simples:
1. Aspa simple al 1er, 2do y 3er. término 
2. Aspa simple al 1er, 4to y 6to término 
3. Aspa simple al 3er, 5to y 6to término 
4. Los factores se tomaran de forma horizontal.
Ejemplo :
104561915),( 22  yxyxyxyxp
104561915),( 22  yxyxyxyxp
x3 y2 2
x5 y3 5
)535)(223(),(  yxyxyxp
Factorizar: 
Solución 
FACTORIZACIÓN POR ASPA DOBLE ESPECIAL
EDxCxBxAx nnnn  234 Nn;
EDxCxBxAx  234
npx 2
nCx 2 ypx
n2
nnn pxCxqx 222 
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
En particular , si n=1 , adquiere la forma
Procedimiento: 
1. Aspa simple al 1er y 5to término obtenemos un término de la forma: 
2. Descomponemos el termino como la suma de
3. Luego se aplica aspa doble entre los seis términos formados.
4.Si las aspas de comprobación se cumplen , los factores se toman en forma 
horizontal y vertical
Ejemplo :
2023456)( 234  xxxxxp
20232656)( 2234  xxxxxxp
23x x2 5
22x x3 4
)432)(1)(53()432)(523()( 222  xxxxxxxxxp
x3 5
x
Factorizar
Solución 
-1