Álgebra CepreUni Números Complejos - 2da Parte

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NÚMEROS COMPLEJOS
(2a parte)
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
17 de mayo de 2017
1 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i =
±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i
= ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız cuadrada
Proposición
Sea a, b ∈ R con b 6= 0
√
a+ bi =

±
(√
||z||+a
2 + i
√
||z||−a
2
)
, si b > 0
±
(√
||z||+a
2 − i
√
||z||−a
2
)
, si b < 0
Ejemplos:
√
−5 + 12i = ±
(√
13+(−5)
2 + i
√
13−(−5)
2
)
= ±(2 + 3i)
√
−i =
√
0 + (−1)i = ±
(√
1+0
2 − i
√
1−0
2
)
= ± 1√
2
(1− i)
2 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un caso particular
Ráız cuarta de un complejo
Halle el (o los) valores de z tal que z4 = 1 +
√
3i
Solución
Supongamos que z = ||z||cis(θ)
tomando módulo ||z||4 = 2 =⇒ ||z|| = 4
√
2
tomando argumento arg(z4) = π3
4 arg(z)− 2kπ = π
3
para algún k ∈ Z
arg(z) =
π
3 + 2kπ
4
∈ [0, 2π〉
Por lo tanto
z =
4
√
2 cis
( π
3 + 2kπ
4
)
k = 0, 1, 2, 3
3 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un caso particular
Ráız cuarta de un complejo
Halle el (o los) valores de z tal que z4 = 1 +
√
3i
Solución
Supongamos que z = ||z||cis(θ)
tomando módulo ||z||4 = 2 =⇒ ||z|| = 4
√
2
tomando argumento arg(z4) = π3
4 arg(z)− 2kπ = π
3
para algún k ∈ Z
arg(z) =
π
3 + 2kπ
4
∈ [0, 2π〉
Por lo tanto
z =
4
√
2 cis
( π
3 + 2kπ
4
)
k = 0, 1, 2, 3
3 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un caso particular
Ráız cuarta de un complejo
Halle el (o los) valores de z tal que z4 = 1 +
√
3i
Solución
Supongamos que z = ||z||cis(θ)
tomando módulo ||z||4 = 2 =⇒ ||z|| = 4
√
2
tomando argumento arg(z4) = π3
4 arg(z)− 2kπ = π
3
para algún k ∈ Z
arg(z) =
π
3 + 2kπ
4
∈ [0, 2π〉
Por lo tanto
z =
4
√
2 cis
( π
3 + 2kπ
4
)
k = 0, 1, 2, 3
3 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un caso particular
Ráız cuarta de un complejo
Halle el (o los) valores de z tal que z4 = 1 +
√
3i
Solución
Supongamos que z = ||z||cis(θ)
tomando módulo ||z||4 = 2 =⇒ ||z|| = 4
√
2
tomando argumento arg(z4) = π3
4 arg(z)− 2kπ = π
3
para algún k ∈ Z
arg(z) =
π
3 + 2kπ
4
∈ [0, 2π〉
Por lo tanto
z =
4
√
2 cis
( π
3 + 2kπ
4
)
k = 0, 1, 2, 3
3 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un caso particular
Ráız cuarta de un complejo
Halle el (o los) valores de z tal que z4 = 1 +
√
3i
Solución
Supongamos que z = ||z||cis(θ)
tomando módulo ||z||4 = 2 =⇒ ||z|| = 4
√
2
tomando argumento arg(z4) = π3
4 arg(z)− 2kπ = π
3
para algún k ∈ Z
arg(z) =
π
3 + 2kπ
4
∈ [0, 2π〉
Por lo tanto
z =
4
√
2 cis
( π
3 + 2kπ
4
)
k = 0, 1, 2, 3
3 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız n-ésima
Ráız n-ésima de un complejo z
n
√
z = n
√
||z||cis
(
arg(z) + 2kπ
n
)
k = 0, 1, 2, · · · , n
Ejemplo√
−1 =
√
|| − 1||cis
(
π+2kπ
2
)
= cis
(
(2k + 1)π2
)
k = 0, 1
Por lo tanto √
−1 = i ∨
√
−1 = −i
4 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız n-ésima
Ráız n-ésima de un complejo z
n
√
z = n
√
||z||cis
(
arg(z) + 2kπ
n
)
k = 0, 1, 2, · · · , n
Ejemplo√
−1 =
√
|| − 1||cis
(
π+2kπ
2
)
= cis
(
(2k + 1)π2
)
k = 0, 1
Por lo tanto
√
−1 = i ∨
√
−1 = −i
4 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız n-ésima
Ráız n-ésima de un complejo z
n
√
z = n
√
||z||cis
(
arg(z) + 2kπ
n
)
k = 0, 1, 2, · · · , n
Ejemplo√
−1 =
√
|| − 1||cis
(
π+2kπ
2
)
= cis
(
(2k + 1)π2
)
k = 0, 1
Por lo tanto √
−1 = i
∨
√
−1 = −i
4 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráız n-ésima
Ráız n-ésima de un complejo z
n
√
z = n
√
||z||cis
(
arg(z) + 2kπ
n
)
k = 0, 1, 2, · · · , n
Ejemplo√
−1 =
√
|| − 1||cis
(
π+2kπ
2
)
= cis
(
(2k + 1)π2
)
k = 0, 1
Por lo tanto √
−1 = i ∨
√
−1 = −i
4 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráıces de la unidad
Proposición
n
√
1 = cis
(
2kπ
n
)
=
[
cis
(
2π
n
)]k
= wk
donde w = cis
(
2π
n
)
= e
2π
n
i y k = 0, 1, 2, · · · , n− 1
El conjunto de las ráıces n-ésimas de la unidad será denotada por
Un, es decir
Un = {z ∈ C / zn = 1}
Ejemplos:
U2 = {−1, 1}, U4 = {−1, 1,−i, i} y U3 = {1, w, w2 = w}
donde w = cis
(
2π
3
)
= −12 +
√
3
2 i
5 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráıces de la unidad
Proposición
n
√
1 = cis
(
2kπ
n
)
=
[
cis
(
2π
n
)]k
= wk
donde w = cis
(
2π
n
)
= e
2π
n
i y k = 0, 1, 2, · · · , n− 1
El conjunto de las ráıces n-ésimas de la unidad será denotada por
Un, es decir
Un = {z ∈ C / zn = 1}
Ejemplos:
U2 = {−1, 1}, U4 = {−1, 1,−i, i} y U3 = {1, w, w2 = w}
donde w = cis
(
2π
3
)
= −12 +
√
3
2 i
5 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráıces de la unidad
Proposición
n
√
1 = cis
(
2kπ
n
)
=
[
cis
(
2π
n
)]k
= wk
donde w = cis
(
2π
n
)
= e
2π
n
i y k = 0, 1, 2, · · · , n− 1
El conjunto de las ráıces n-ésimas de la unidad será denotada por
Un, es decir
Un = {z ∈ C / zn = 1}
Ejemplos:
U2 = {−1, 1},
U4 = {−1, 1,−i, i} y U3 = {1, w, w2 = w}
donde w = cis
(
2π
3
)
= −12 +
√
3
2 i
5 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráıces de la unidad
Proposición
n
√
1 = cis
(
2kπ
n
)
=
[
cis
(
2π
n
)]k
= wk
donde w = cis
(
2π
n
)
= e
2π
n
i y k = 0, 1, 2, · · · , n− 1
El conjunto de las ráıces n-ésimas de la unidad será denotada por
Un, es decir
Un = {z ∈ C / zn = 1}
Ejemplos:
U2 = {−1, 1}, U4 = {−1, 1,−i, i}
y U3 = {1, w, w2 = w}
donde w = cis
(
2π
3
)
= −12 +
√
3
2 i
5 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Ráıces de la unidad
Proposición
n
√
1 = cis
(
2kπ
n
)
=
[
cis
(
2π
n
)]k
= wk
donde w = cis
(
2π
n
)
= e
2π
n
i y k = 0, 1, 2, · · · , n− 1
El conjunto de las ráıces n-ésimas de la unidad será denotada por
Un, es decir
Un = {z ∈ C / zn = 1}
Ejemplos:
U2 = {−1, 1}, U4 = {−1, 1,−i, i} y U3 = {1, w, w2 = w}
donde w = cis
(
2π
3
)
= −12 +
√
3
2 i
5 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
T. F.Álgebra
Teorema fundamental de álgebra
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado positivo, tiene al menos
una ráız en C.
2. Los únicos polinomios irreduciblessobre C son los de grado
UNO.
3. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado n, tiene n ráıces
(contando sus multiplicidades).
Proposición
Sea p(x) ∈ R[x].
Si z ∈ C es una ráız de p(x), entonces z también es ráız de p(x).
6 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
T. F.Álgebra
Teorema fundamental de álgebra
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado positivo, tiene al menos
una ráız en C.
2. Los únicos polinomios irreducibles sobre C son los de grado
UNO.
3. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado n, tiene n ráıces
(contando sus multiplicidades).
Proposición
Sea p(x) ∈ R[x].
Si z ∈ C es una ráız de p(x), entonces z también es ráız de p(x).
6 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
T. F.Álgebra
Teorema fundamental de álgebra
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado positivo, tiene al menos
una ráız en C.
2. Los únicos polinomios irreducibles sobre C son los de grado
UNO.
3. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado n, tiene n ráıces
(contando sus multiplicidades).
Proposición
Sea p(x) ∈ R[x].
Si z ∈ C es una ráız de p(x), entonces z también es ráız de p(x).
6 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
T. F.Álgebra
Teorema fundamental de álgebra
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado positivo, tiene al menos
una ráız en C.
2. Los únicos polinomios irreducibles sobre C son los de grado
UNO.
3. Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado n, tiene n ráıces
(contando sus multiplicidades).
Proposición
Sea p(x) ∈ R[x].
Si z ∈ C es una ráız de p(x), entonces z también es ráız de p(x).
6 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Polinomios complejo
Polinomios sobre C
Un polinomio p(x) ∈ C[x], es conocido como “polinomio
complejo”
Ejemplo:
Determine el polinomio mónico de menor grado que tenga como
ráıces a: i, 1− i y π
p(x) = (x− i)(x− 1 + i)(x− π) sobre C.
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x+ 2)(x− π) sobre R
7 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Polinomios complejo
Polinomios sobre C
Un polinomio p(x) ∈ C[x], es conocido como “polinomio
complejo”
Ejemplo:
Determine el polinomio mónico de menor grado que tenga como
ráıces a: i, 1− i y π
p(x) = (x− i)(x− 1 + i)(x− π) sobre C.
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x+ 2)(x− π) sobre R
7 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Polinomios complejo
Polinomios sobre C
Un polinomio p(x) ∈ C[x], es conocido como “polinomio
complejo”
Ejemplo:
Determine el polinomio mónico de menor grado que tenga como
ráıces a: i, 1− i y π
p(x) = (x− i)(x− 1 + i)(x− π) sobre C.
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x+ 2)(x− π) sobre R
7 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Polinomios complejo
Polinomios sobre C
Un polinomio p(x) ∈ C[x], es conocido como “polinomio
complejo”
Ejemplo:
Determine el polinomio mónico de menor grado que tenga como
ráıces a: i, 1− i y π
p(x) = (x− i)(x− 1 + i)(x− π) sobre C.
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x+ 2)(x− π) sobre R
7 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Polinomios complejo
Polinomios sobre C
Un polinomio p(x) ∈ C[x], es conocido como “polinomio
complejo”
Ejemplo:
Determine el polinomio mónico de menor grado que tenga como
ráıces a: i, 1− i y π
p(x) = (x− i)(x− 1 + i)(x− π) sobre C.
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x+ 2)(x− π) sobre R
7 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
8 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
8 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
8 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
8 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
8 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Un cuerpo no ordenado
Si C fuese un cuerpo ordenado con “ >”
Como i 6= 0, entonces: i > 0 ∨ 0 > i
Caso i > 0:
i > 0, i > 0 =⇒ i · i > 0 · i =⇒ −1 > 0
Esto no es una contradicción, ya que el orden de C puede no
coincidir con el orden usual de R.
−1 > 0, 1 ∈ C =⇒ −1 + 1 > 0 + 1 =⇒ 0 > 1
−1 > 0, −1 > 0 =⇒ (−1) · (−1) > 0 · (−1) =⇒ 1 > 0
Caso 0 > i:
(análogo al caso anterior, y se deja para ti)
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 1
Compruebe que
Un ∩ Um = {1}
siempre que MCD{m,n} = 1
Solución
Si z ∈ Un ∩ Um =⇒ zn = 1, zm = 1
como
1 =MCD{m,n} = rn+ sm identidad de Bezout
z = z1 = zrn+sm = (zn)r(zm)s = 1
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 1
Compruebe que
Un ∩ Um = {1}
siempre que MCD{m,n} = 1
Solución
Si z ∈ Un ∩ Um =⇒ zn = 1, zm = 1
como
1 =MCD{m,n} = rn+ sm identidad de Bezout
z = z1 = zrn+sm = (zn)r(zm)s = 1
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 1
Compruebe que
Un ∩ Um = {1}
siempre que MCD{m,n} = 1
Solución
Si z ∈ Un ∩ Um =⇒ zn = 1, zm = 1
como
1 =MCD{m,n} = rn+ sm identidad de Bezout
z = z1 = zrn+sm = (zn)r(zm)s = 1
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 1
Compruebe que
Un ∩ Um = {1}
siempre que MCD{m,n} = 1
Solución
Si z ∈ Un ∩ Um =⇒ zn = 1, zm = 1
como
1 =MCD{m,n} = rn+ sm identidad de Bezout
z = z1 = zrn+sm = (zn)r(zm)s = 1
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 2
Determine graficamente el conjunto
R1 =
{
z ∈ C / 2iz = ||z + 2i||
}
Problema 3
Determine graficamente el conjunto
R2 =
{
z ∈ C / Im
(
1 + z
1− z
)
≥ 1
}
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 2
Determine graficamente el conjunto
R1 =
{
z ∈ C / 2iz = ||z + 2i||
}
Problema 3
Determine graficamente el conjunto
R2 =
{
z ∈ C / Im
(
1 + z
1− z
)
≥ 1
}
10 / 12
NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 2
Determine graficamente el conjunto
R1 =
{
z ∈ C / 2iz = ||z + 2i||
}
Problema 3
Determine graficamente el conjunto
R2 =
{
z ∈ C / Im
(
1 + z
1− z
)
≥ 1
}
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 4
Determine graficamente el conjunto
R3 =
{
iz + 1 / ||z − i+ 1|| ≤ 1, z ∈ C
}
Problema 59
Sea A ⊂ C la región del plano
complejo que se muestra en la
figura adjunta.
Grafique la región
B =
{
ze
π
2
i / z ∈ A
}
. .
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema declase
Problema 4
Determine graficamente el conjunto
R3 =
{
iz + 1 / ||z − i+ 1|| ≤ 1, z ∈ C
}
Problema 59
Sea A ⊂ C la región del plano
complejo que se muestra en la
figura adjunta.
Grafique la región
B =
{
ze
π
2
i / z ∈ A
}
. .
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 4
Determine graficamente el conjunto
R3 =
{
iz + 1 / ||z − i+ 1|| ≤ 1, z ∈ C
}
Problema 59
Sea A ⊂ C la región del plano
complejo que se muestra en la
figura adjunta.
Grafique la región
B =
{
ze
π
2
i / z ∈ A
}
. .
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 48
Sea w una de las ráıces cúbicas de la unidad, no real. Calcule n
si se cumple: (1− w)2n = −2187w
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Problema 53
Dado el polinomio complejo p(z) = z3+3z2−4iz2−(3+ai)z−5
tal que p(i) = 0. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I) p(z) tiene una ráız real
II) ∃r ∈ C / |r| =
√
5 ∧ p(r) = 0
III) ∃z ∈ C∃w ∈ C / Im(z) = Im(w) ∧ z 6= w ∧ p(z) = p(w) = 0
A) VVV B) VFF C) FFV D) FVV E) FVF
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NÚMEROS COMPLEJOS (2a parte)
N
Problema de clase
Problema 48
Sea w una de las ráıces cúbicas de la unidad, no real. Calcule n
si se cumple: (1− w)2n = −2187w
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Problema 53
Dado el polinomio complejo p(z) = z3+3z2−4iz2−(3+ai)z−5
tal que p(i) = 0. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I) p(z) tiene una ráız real
II) ∃r ∈ C / |r| =
√
5 ∧ p(r) = 0
III) ∃z ∈ C∃w ∈ C / Im(z) = Im(w) ∧ z 6= w ∧ p(z) = p(w) = 0
A) VVV B) VFF C) FFV D) FVV E) FVF
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