Banco de ejercicios Algebra

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BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
ÁLGEBRA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563
www.editorialsanmarcos.com
ÍNDICE
L eyes de exponentes ....................................................................................................................... 4
P olinomios ........................................................................................................................................ 12
P roductos notables ........................................................................................................................... 19
D ivisión de polinomios ...................................................................................................................... 24
F actoriza ción .................................................................................................................................... 34
F racciones alg ebraicas..................................................................................................................... 40
Binomio de N ew ton .......................................................................................................................... 47
Radicación ........................................................................................................................................ 52
N ú meros complej os .......................................................................................................................... 58
Ecuaciones ....................................................................................................................................... 63
D esig ualdades e inecuaciones ......................................................................................................... 73
P rog resiones .................................................................................................................................... 84
L og aritmos ........................................................................................................................................ 90
3ÁLGEBRA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 
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Una colección con la mayor 
variedad de cursos que te 
ayudarán a alcanzar tu primer gran 
logro: ingresar a las universidades 
Villarreal, Callao y Agraria.
Nivel: Básico-Intermedio
Economía
Fondo Editorial
Papel periódico
212 pp. 
16,5 × 21,5 cm
Educación Cívica
Fondo Editorial
Papel periódico
228 pp. 
16,5 × 21,5 cm
Filosofía
Fondo Editorial
Papel periódico
248 pp.
16,5 × 21,5 cm
Geografía
Fondo Editorial
Papel periódico
344 pp.
16,5 × 21,5 cm
Psicología
Fondo Editorial 
Papel periódico
292 pp.
16,5 × 21,5 cm
Razonamiento 
Matemático
Fondo Editorial 
Papel periódico
1136 pp.
16,5 × 21,5 cm
Química
Fondo Editorial
Papel periódico
608 pp.
16,5 × 21,5 cm
Psicotécnico
Fondo Editorial
Papel periódico
536 pp.
16,5 × 21,5 cm
Literatura
Fondo Editorial 
Papel periódico
240 pp.
16,5 × 21,5 cm
Álgebra Fondo Editorial
Anatomía y Fisiología Fondo Editorial
Aritmética Fondo Editorial
Biología Fondo Editorial
Física Fondo Editorial
Geometría Fondo Editorial
Historia del Perú Fondo Editorial
Historia Universal Fondo Editorial
Lengua Fondo Editorial
Lógica Fondo Editorial
Razonamiento Verbal Fondo Editorial
Trigonometría Fondo Editorial
Banco de preguntas Fondo Editorial
Siglo XXI
Colección
S/50
S/12 S/11 S/12 S/28 S/23
S/15 S/13 S/16.50
Compendio 
de Física
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Química
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Aritmética 
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Historia
del Perú 
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Historia
Universal 
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Lengua 
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Compendio 
de Biología
Fondo Editorial
Papel periódico
17 × 24 cm
Indispensables compendios 
teórico-prácticos, con una 
didáctica moderna aplicada a 
todos los cursos que el postulante 
debe dominar.
Nivel: Intermedio
Compendio de Anatomía Fondo Editorial
Compendio de Álgebra Fondo Editorial
Compendio de Economía y Educación Cívica Fondo Editorial
Compendio de Filosofía y Lógica Fondo Editorial
Compendio de Geografía Fondo Editorial
Compendio de Geometría Fondo Editorial
Compendio de Raz. Matemat. Fondo Editorial
Compendio de Raz. Verbal Fondo Editorial
Compendio de Literatura Fondo Editorial
Compendio de Trigonometría Fondo Editorial
Compendio de Psicología Fondo Editorial
Compendio 
Compendio 
OMPENDIOS
C O L E C C I Ó N
BANCO DE EJERCICIOS4
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LEYES DE EXPONENTES
POTENCIACIÓN
Es aquella operación matemática donde, dados 
dos elementos llamados base (b) y exponente (n) 
se calcula un tercer elemento llamado potencia.
N o t a c i ó n :
 b: base, b ! R
bn = P n: exponente, n ! Z
 P : potencia, P ! R
E j e m p l o s :
 n 54 = 625, la base es 5, el exponente es 4 y 
la potencia es 625.
 a3, aquí a es la base, 3 es el exponente y a3 es 
una potencia indicada.
PRINCIPALES EXPONENTES
E x p o n e n t e n a t u r a l . S i n e s c u a l q u i e r e n t e r o p o -
sitivo y b es un número real, definimos.
 
 b si n = 1
bn = b # b # b ... b; si n $ 2
 n veces
E j e m p l o s :
 1 = 6
 3 31 =
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
14
# # #= =c m
 -2)7 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = -128
 
4
1
4
1
4
1
16
12
#= =c m
 -3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81
 -34 = -(34) = -81
 -23 = -(23) = -8
E x p o n e n t e c e r o . Si a es cualquier nú mero real no 
nulo, a0 = 1
E j e m p l o s :
4
3 0
c m = 1; (-7)0 = 1; ;5 1 3
2 10
0
= - =^ ch m
tese e no emos definido 00, esta expresión 
no tiene n si nificado til.
E x p o n e n t e n e g a t i v o Si x es un nú mero real no 
n lo, y si n es n entero positi o, definimos
x-n = 1/xn
E j e m p l o s :
 3-3 =
3
1
27
1
3 =
 2 2
1
8
13
3- =
-
=
-
-^
^
h
h
 -2 =
4
1
16
1
2 =
 3
3
1
9
12
2- =
-
=
-^
^
h
h
Si x e y son reales no nulos, n es un entero positivo 
entonces y
x
x
yn n
=
-
c cm m
E j e m p l o s :
 
2
3
3
2
3
2
3
2
9
42 2
#= = =
-
c cm m
 
3
1 3-
c m = 33 = 27
 
5
2
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
16
6254 4
- = - = - - - - =
-
c c c c c cm m m m m m
tese e no emos definido 0-n, esta expresión 
no tiene sentido:
pues si: 0-n = 
0
1
0
1
n b= = entonces 0
-n no existe.
T e o r e m a . Si x e y son nú meros reales y m, n son 
enteros, tal que xm, xn, yn existen, entonces
 xmxn = xm + n 
x
x
n
m
= xm - n; x ! 0
 xy n = xnyn y
x
y
xn
n
n
=c m ; y ! 0
 xm)n = xmn 
y
x
n = xy
-n
E j e m p l o s :
 3 # 6-4 # 62 # = 63 + (-4) + 2 = 61 = 6
 
3
3
3
2
-
-
 = 3-2-(-3) = 31 = 3 
 
9
27
9
27
2
2 2
= c m = 32 = 9
 3n + 2 = 3n # 32 = 9 # 3n 
 3(25n) = 3(52n) = 3(5n)2
Si b es un nú mero real y m, n, p son enteros en-
tonces:
5ÁLGEBRA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE10
bm
np = bm 
n p
P or ej emplo:
32
23 
05 
= 32
2 3
0 
= 32 
21 
= 3 2
2 
= 34 = 81
RADICACIÓN EN R
es el sí mbolo radical
n es el í ndice; n ! N / n $ 2
a es el radicando (cantidad radical)
b es la raí z ené sima
a bn =
P or ej emplo, en 325 = 2, el í ndice es 5, el radican-
do es 32 y la raí z quinta es 2.
O b s e r v a c i o n e s :
1. Si a 2 0 y n es un entero positivo, n$ 2; enton-
ces existe un ú nico real b 2 0, tal que bn = a. 
El nú mero b se llama raí z ené sima de a y se 
denota por an 
2. Si a 1 0 y n es un entero positivo impar n $ 3, 
entonces existe un b 1 0, tal que bn = a. En 
este caso escribimos b = an y la llamamos la 
raí z ené sima de a.
3. F inalmente 0n = 0
 e las definiciones
 a
n = b si y solo si bn= a ; n ! N / n $ 2
 C uando n = 2, es usual escribir a en lug ar 
de a2 y llamar a a la raí z cuadrada de a. Al 
nú mero a3 se le llama la raí z cú bica de a.
E j e m p l o s :
 164 = 2, pues: 24 = 16
 814 = 3, pues: 34 = 81
 83 - = -2, pues: (-2)3 = -8
 9 = 3, pues: 32 = 9
N ótese que no emos definido an cuando a 1 0 y n 
es un entero positivo par. L a razó n de esto consiste 
en que para todo nú mero real b, bn es no neg ativo 
cuando n es par.
P or ej emplo: ; ; ;…; ( )4 5 100 n4 6 2- - - -
stas expresiones no est n definidas en R (no exis-
ten), estas están en el campo de los imag inarios.
Es importante observar que an cuando existe, es 
un nú mero real ú nico.
T e o r e m a . Si n es un natural, n $ 2, x e y son reales 
tales que x y yn n existen, entonces
 x y xyn n n= ;
y
x
y
x si y 0
n
n
n !=
 ;x xnm mn= si m es una natural, m $ 2, y las 
raí ces indicadas existen.
 
xnn =
 x; n es impar
 | x| ; n es par
E j e m p l o s :
 48 32 8 32 2564 4 4 4#= = =
 3
3
81
3
81 27
3
3
3 3= = =
 2 243 12=
 3729 7293 6= =
 44 42- = =^ h
EXPONENTES RACIONALES
1. Si x es un nú mero real y n es un natural (n $ 2), 
entonces definimos:
 
 x x/n n1 = (suponiendo que xn existe)
E j e m p l o s :
 1/2 = 4 22 = = 2
 0,5 = 91/2 = 9 = 3
 1/3 = 643 = 4
 8 1/4 = 814 = 3
 27 27 27 3, /0 3 1 3 3= = =
!
 0,25 = 161/4 = 164 = 2
2. Sea m/n un nú mero racional irreductible y n 
un natural (n $ 2). L ueg o, si x es un nú mero 
real, tal que xn existe, definimos.
x x x/m n n m mn= =^ h
E j e m p l o s :
 3 252/5 = 31255 2^ h = (5)2 = (5)2 = 25
BANCO DE EJERCICIOS6
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11ÁLGEBRA
 -27)2/3 = 273 2-^ h = (-3)2 = 9
 4-5/2 = 24
2
1
32
15 5
5= = =
- -^ h
 0, = 642/3 = 643 2 = 42 = 16
 85 3 = 83 5^ h = (2)5 = 32
Nota:
 C onj untos numé ricos
 N ú meros complej os (a + bi)
N ú meros imag inarios 
 a = 0 / b ! 0 N ú meros reales b = 0
N ú meros irracionales N ú meros racionales
N ú meros fraccionarios N ú meros enteros
 N ú meros C ero N ú meros enteros naturales neg ativos
P r o p i e d a d e s :
 a0 = a n = anbn
 a1 = a 
b
a
b
an
n
n
=c m 
 aman = am + n an)m = anm
 
a
a an
m
m n
= - ;a ann = n es impar
 a b a bnn n= b
a
b
an
n
n
=
 xmn = xnm a-n = 
a
1
n
 a a /pn p n= b
a
a
bn n
=
-
c cm m
 a a/n n1 = a
a a
1 1/
/
n
n n
1
1= =
 a a/m n n m=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. C alcular el valor de: [ (1/3)-2 + (1/2)-4] 1/2
 Resolución:
 Aplicando la propiedad de exponentes ne-
g ativos:
 [ 32 + 24] 1/2 = [ 25] 1/2 = 25 = 5
2. C alcular el valor de:
[ (1/2)-2 + 2(1/3)-2 + (1/3)-3] 0,5
 Resolución:
 Aplicando la propiedad de exponentes neg ati-
vos: [ 22 + 2(3)2 + (3)3] 1/2 = [ 4 + 18 + 27] 1/2
 = [ 49] 1/2 = 749 =
3. Reducir la expresión:
 T = ( ) ( )x x x/ / /( )m m m m m mm1 1 1 1 2- ++ +
 Resolución:
 E = 
m
x x xm m
m
m
m
m
m1 1
1
2
- +
+
+^
c c c
h
m m m
 ` E = x - x + x2 = x2
4. Simplificar: = 
2
2
n nn
n
22
2
2
++
+
n
 Resolución:
 Realiza ndo transformaciones equivalentes:
 M = 
n 2+n 2+
2 2n
n
n
n
2 2
2 =
+ +
( )n n n n2 2+ +
2 2
 & M = 
2
2 2 4n
n
n n n
2
2
= =
+
5. H allar la fracción decimal equivalente a la si-
g uiente expresión:
E = 
72 50 8
2
+ -
 Resolución:
 Efectuando: E = 
( ) ( ) ( )36 2 25 2 4 2
2
+ -
7ÁLGEBRA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE12
 & E = 
6 2 5 2 2 2
2
+ -
 ̀ E = 
9 2
2
9
1
=
6. Efectuar: P = 8-27
-9-4
-0,5
 Resolución:
 En ej ercicios de potencias de exponentes en 
cadena se empieza las reducciones de la po-
tencia extrema. Así :
 -4-0,5 =
4
1
4
1
2
1
,0 5- =- =-
 & 9-4
-0,5 = 9
9
1
9
1
3
1/
/
1 2
1 2= = =
-
 & 27-9
-4-0,5 
=
 
27
27
1
27
1
3
1/
/
1 3
1 3 3
= = =-
 & P = 8-27
-9-4
-0,5 
=8
8
1
8
1/
/
1 3
1 3 3
= =-
 ̀ P = 1/2 = 0,5
7. H allar el valor de x en: 333
x = 27
 Resolución:
 Realiza ndo transformaciones equivalentes:
 333
x
= 27 & 33 3
x
= 33 & 3 3
1
3x3 3=
 dentificando exponentes:
 3
3 3
1
x
= & 1 3 ,/x2 1= + pero: 1 = 30
 & 0 = 2 + 1/x ̀ x = -1/2
8. Simplificar: E = ab2 a b a b1 2 13 - - -
 Resolución:
 Eliminando radicales y escribiendo baj o la for-
ma exponencial:
 E = ab2a- 1/3b- 2/3a- 1/6b1/6
 Reduciendo potencias de ig ual base:
 E = a b
1
3
1
6
1 2
3
2
6
1
- - - +c cm m
 & E = a1/2b3/2 = a b a b b3 =
 ̀ E = b ab
. Simplificar la expresi n: E
2 2
2 2 2
n
n n
3
4
=
-
+
+
^
^
h
h
 Resolución:
 Representando convenientemente:
 E = 
( )22 2
2 2 2 2
2 16
2 2 2
16
14
8
7
n
n n
n
n
3
4 4
# #
# -
=
-
= =
^ ^h h
0. Simplificar la expresi n: = 
3 3
3 3 3
n
n n
1
3
-
-
+
^
^
h
h
 Resolución:
 Representando convenientemente:
 E = 
3
24
3 3
3 3 3 3
3
3 27 3
n
n n
n
n
1
3
-
=
-
=
-^ ^
^ ^
h h
h h
11. C alcular el valor de:
 E =
2 2 2 4 2 6 2
2 36 2
x x x x
x x
5 3 1 1
4 2
- - -
+
+ + + -
+ -
^ ^ ^
^
h h h
h
 
 Resolución:
 E = 
2 /
2 /
2 2 2 2 2 4 2 6 2 2
2 36 2 24
x x x x
x x
5 3 1
2
- - -
+
^ ^ ^ ^
^ ^
h h h h
h h
 E = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
32 2 16 2 8 2 3 2
16 2 9 2
x x x x
x x
- - -
+
 E= 
( )
( )
5 2
25 2
x
x
 ` E = 5
12. C alcular el valor de: E = 
4 4
4 8 /
n
n
1 2
3 4 3
-
-
^
^
h
h
6 @
 Resolución:
 T ransformando, para escribir en base 4:
 48 2 2 2/ /n
n n n n4 3 3 4 3 4 2 2 2
= = = =
- - - - -^ ^ ^ ^h h h h9 9C C
 Reemplaza ndo en la expresión propuesta:
 E = 
4 4
4 4
4
4 4
4
4
n
n
n
n
n
n
1 2
3 2
1 2
3 2
2 2
3 2
= =
-
-
-
-
-
-
^
^ ^
^
^ ^
h
h h
h
h h
 
 & E = 43 - 2n - (2 - 2n) = 43 - 2n - 2 + 2n = 41= 4
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13ÁLGEBRA
13. C alcular el valor de: E = 
15 14 30
21 35 80
4 9 2
6 3 3
# #
# #
 Resolución:
 D escomponiendo en factores primos:
 E = 
3 5 2 7 2 3 5
3 7 7 5 2 5
4 9 2
6 3 4 3
# # # #
# # #
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
 P or propiedad:
 E = 
3 5 2 7 2 3
3 7 7 5 2
5
5
4 4 9 9 2 2 2
6 6 3 3 12 3
# # # # # #
# # # # #
 M ultiplicando potencias de bases ig uales:
 E = 
3 7 5
3 7 5
2
2
6 9 6 11
6 9 6 12
# # #
# # #
 & E = 212/211 = 212 - 11 = 21 ̀E = 2
14. C alcular el valor de: E = 3 33
33
6-
% /
 Resolución:
 Escribiendo la raí z principal en la forma expo-
nencial: E = 3 /3 3
33 6-" ,
 T ransformando los exponentes:
 E = 3 33
3 3
3
3
/
/ / /
1 3
1 2 1 6
2
1
3
1 1 6
=
-
-
-
^ ^h h' '1 1
 E = 
-
3 33
3
3 3
/
6
1 1 6
6
1
6
1
=
#
-
^ ^h h' 1
 E = 33
6
1
6
1
=
-
 33
0 
= 31 ̀ E = 3
5. Simplificar la expresi n:
E = m m m /
/1 3 1 2 1 5
2
-
-
^ h9 C' 1
 Resolución:
 Efectuando operaciones:
 E = (m- 1)-2 m m/ /
/1 1 5 2 3 1 2 1 5
2
-
-
^ ^h h9 9C C' 1 
 & E = m2
- -
m m m5
2
5
3 2
5
2
5
3
=
- -
 ` E = m
16. C alcular: P = n
4 4
2
nn
n
2
1
+
+
 Resolución:
 T rabaj ando con el denominador:
 
n n n2 2 2+ + +4 4 4 4 4/ /n n n1 2 1 2# #= = +
 n 2+
4
n
2
2
= =
+
n 2+ 22
n
2
2+
^ h n 2+ 2n 2= +
 2 2n
n
2
2
= =+
+
 
 Reemplaza ndo y descomponiendo:
 P = n n
2
2 2 2
n
n
1
#
= ` P = 2
17. C alcular: E = n
5 2 3
10 15 6
n n n
n n n
+ +
+ +
- - -
 Resolución:
 T ransformando el denominador:
 E = 
5
1
2
1
3
1
10 15 6
n n n
n n n
+ +
+ +
n
 D ando comú n denominador en el denomina-
dor de la raíz:
 E = 
5 2 3
6 15 10
10 15 6
5 2 3
10 15 6
1
10 15 6
n n n
n n n
n n n
n
n n n
n n n
# #
# #
+ +
+ +
=
+ +
+ +
n
n
^ h
 
 ̀ E = 30 nn ^ h = 30
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. C alcule: 
3 3
3( )( )
4 3
3 3
0
3
#- -
3
 a) 3 b) 2 c) 5
 d) 1 e) 7
2. C alcule A y B: 
A =
1-2
3
1
7
2
16
9 3
1 2 2 4
21 1
+ + +
- - -
-
c c cm m m* 4 
9ÁLGEBRA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE14
B = 
1-1- 2-
2 3 27
59 0
-
-
^ h% / 
 a) 5; 2 b) 1; 2 c) 2; 3
 d) 4; 7 e) 5; 9
3. C alcule A, B y C :
 A = ;6 6 6 f+ + + B = fp p p
 C = 3 3 3 3 9f
 a) 3; p; 3 b) 1; p; 2 c) 1; p; 5
 d) 1; p; 4 e) 2; p; 5
. Si el exponente final de: x x xn es 7/4, cal-
cular n.
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
5. C alcule el valor de x, en: 2x 2 4x3=
 a) 2 b) -3/2 c) 1/2
 d) 1/4 e ) 5/3
6. Reduce: n
n
n
724
128
64
5 35
5
+c m
 a) 27 b) 48 c) 49
 d) 20 e) 30
7. Encontrar el valor de n, si despué s de reducir:
 n n
n nn n ; n ! N, se obtiene: 416
 a) 5 b) 4 c) 9
 d) 1 e) 10
8. Si: x2
-2x
= 2, calcule: x1/2x
 a) 2 b) 5 c) 24
 d) 2 e) 8
9. Si: aa = 2, halle: aa
a+ 1
 a) 4 b) 2 c) 8
 d) 10 e) 12
10. Reduce: 
x x
x x x
4
8J
L
K
KK
N
P
O
OO
 a) x b) x2 c) 3x
 d) 5x e) 7x
11. Si: x ! 0, simplificar: 
x x
x
4 4
5 4 3
5
0 0
f f
-
-
^ac h k m
 a) 2 b) 0 c) 3
 d) 1 e) 5
12. Si: x ! 0, reduce: 
x x x x x
x x x x x
3 5 7 9
2 4 6 8 10
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
h h h h h
h h h h h
 a) x5 b) x c) 2x
 d) x10 e) x9
13. Si se cumple: xx
6 
= 6, hallar: x6
 a) 12 b) 2 c) 6
 d) 12 e) 18
14. C alcule: 
5
7024 - 4^ h
 a) 1 b) -2 c) 3
 d) 2 e) 6
15. Reduce: 93
9
3
3 9
3 3
3 2 3
3
3 3 3-a ^k h
' 1
 a) 1 b) 3 c) 9
 d) 12 e) 81
16. Si se cumple que: 2x /x1 = , calcular: x
 
 a) 2 b) 3 c) 4
 d) 5 e) 6
17. C alcule: 
 
-
1-
2
1
4
1
125
1
81
12
1 3 16
21 2
1 1
+ +
- - -
-
-
c c c c
c
m m m m
m* 4
 a) 4 b) 21 c) 30
 d) 40 e) 20
18. Si xx = 5, indicar el exponente de ax en: ax
x+ 1
 a) 5 b) 3 c) 2
 d) 4 e) 7
BANCO DE EJERCICIOS10
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15ÁLGEBRA
19. Si: xy ! 0, simplificar A y B:
A = ;
xy
x y
2
2 2
+
-
- -
^ h
 B = 
x y
x y
4
8
1 2
3 4
-
-
 a) x2 + y2; 2x4y-6 b) x + y; x3/y2
 c) x - y; x3/y d) x + y; x/y
 e) x + y; x3/y5
20. Si: xy = 2, calcule: x x 4x
y y y y3y 2
2
-
-
^ ^ ^h h h
 a) 2 b) 3 c) 4
 d) 5 e) 6
21. Efectuar A y B:
A = ;2 2 23 6# # B = 
9 9
9 9 9
20 5
6 4 3
#
# #
 a) 2; 3 b) 5; 2 c) 7; 2
 d) 1; 2 e) 4; 2
22. indique el valor reducido de la expresión:
76 3
3 27 12+ +
^ h
 a) 2 b) 5 c) 7
 d) 9 e) 15
23. Si: n ! N y además:
 81 veces
n n n
81 81 81 81
81
360 360 360
81
# # f
f+ + +
=
6 7 8444444 444444
1 2 34444 4444
 10 veces
 calcule: n2 + 1
 a) 20 b) 30 c) 40
 e) 10 e) 15
24. Si: aa = 2, calcule: 
a
a
/a a a13 a a2+ +^ h
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
25. Halle el exponente final de x
 b veces
 ; 0
x
x x x x x x
x
a b c
a bc bc a ac ac ac ac
3
f
!
^a
^ ^
h k
h h
6 7 84444 4444
 
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 5 e) 8
26. Si se cumple que: xx
xx
3
= 3
 calcule: x3 + xx
3
 + x6 + xx
6
 a) 21 b) 25 c) 37
 d) 42 e) 28
27. Efectuar: 3
5
3
2
3
4
6
-
-
-
 a) 1/2 b) 3/7 c) 1/4
 d) 1/9 e) 3/91
28. Simplificar: 
54 250 60 70
10 30 42
2 2
4 3 3
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
h h h h
h h h
 a) 20 b) 84 c) 12
 d) 30 e) 90
29. Sea: xx
2
 = 5; halle: (xx)2x
 a) 20 b) 35 c) 25
 d) 28 e) 40
30. Simplificar:
 
2
1
3
1
4
12
1
3
1
4
11 1 1
+ +
- - -
- - -
c c c
c c c
m m m
m m m
 a) 287 b) 281 c) 235
 d) 123 e) 435
31. Reduce: 5 55 5 5 10 5 2
5 2
# -
-
a
f
k
p
 a) 21 b) 24 c) 25
 d) 26 e) 30
32. Simplificar: 
48 15 4
10 6 24
2 4 3
5 5
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
 a) 2 b) 5/2 c) 5/6
 d) 4/3 e) 3/8
33. Sea x 2 1 y además: xx
xx = xx
2
 calcule: x3x
 a) 2 b) 3 c) 8
 d) 5 e) 7
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COLECCIÓN EL POSTULANTE16
3 . Simplificar: 
x x x
x x x
3 5 7
3 5 7 2
+ +
+ +- - -> H ; x ! R +
 a) x7 b) x3 c) x-2
 d) x-5 e) x-20
35. Simplificar: 
2 2
2 2 2
n
n n
3
4 2
#
#-
+
+ +
 ; x ! N
 a) 2 b) 3 c) 1/3
 d) 1/2 e) 1/5
1. a 8. a 15. c 22. c 29. c
2. a 9. a 16. a 23. d 30. a
3. a 10. b 17. a 24. b 31. c
4. b 11. d 18. a 25. a 32. b
5. b 12. a 19. a 26. d 33. c
6. c 13. c 20. a 27. b 34. e
7. b 14. d 21. a 28. b 35. d
C
l
a
v
e
s
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N o t a c i ó n m a t e m á t i c a . Es la que permite diferen-
ciar las variables de las constantes.
P (x; y; z) = ax bxyz2 53 -
S S
 variables constantes
E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s . Son aquellas expresio-
nes donde las operaciones que se usan son solo 
las de adición, sustracción, multiplicación, división, 
potenciación, radicación entre sus variables, en un 
nú mero limitado de combinaciones.
Son ej emplos de expresiones alg ebraicas:
 x = x2 + 5x - y
 x y = 
x y
y
6
3 5
p
-
+ -
 x y = 3 + 5x + log 2/xyz
 x y = 
xy
x y
6- +
Son ej emplos de expresiones no alg ebraicas lla-
madas tambié n trascendentes:
 x = cosx - 1
 x = xx
x
 - 1
 x y = 3 + 6x + log x/xyz
 x = 1 + x + x2 + ...
L as expresiones alg ebraicas pueden ser raciona-
les o irracionales.
T é r m i n o a l g e b r a i c o . Es aquella expresión alg e-
braica en la que no se enlaza a las variables me-
diante la adición y la sustracción, presenta dos par-
tes e son el coeficiente y la parte literal o parte 
variable.
 N (x; y) = 5p x2y7
coeficiente parte aria le
Son ej emplos de té rmino alg ebraico:
P (x) = - x x y = 2000x2y7
emos e las expresiones y presentan di-
erentes coeficientes pero la misma parte aria le 
y dichas variables están elevadas al mismo expo-
nente.
Ellos se denominarán t é r m i n o s s e m e j a n t e s y tie-
nen como propiedad que la suma de té rminos se-
mej antes se reducen a un solo té rmino semej ante 
y se o tiene s mando los coeficientes acompa a-
do de la misma parte variable, por ej emplo:
Sean: 4x7y; 5px7y; abx7y
& 4x7y + 5px7y + abx7y = (4 + 5p + ab)x7y
POLINOMIO
Se define al polinomio como la expresi n al e rai -
ca donde los exponentes de las variables son en-
teros positi os y est definido para c al ier alor 
que se dé a sus variables.
Son ej emplos de polinomios:
 x y = 5x2y + (-6x3y5) + 1
 x = x2 - 6x3 + 5x6 - 2
 x = x2 + 2x2 + 7x2 + 4x2
GRADO DE UN POLINOMIO
Es la caracterí stica que disting ue a una familia de 
polinomios, este g rado se halla seg ú n la cantidad 
de variables.
 P o l i n o m i o d e u n a s o l a v a r i a b l e . El g rado 
está dado por el mayor exponente de la va-
riable. P or ej emplo:
 P (x) = x4 + 3x3 + 7x6 es de g rado 6;
 N (z) = x7 + 2z 2x - z 3 - 1 es de g rado 3.
 (variable z)
 M o n o m i o s d e v a r i a s v a r i a b l e s . El g rado 
o g rado absoluto será la suma de ios expo-
nentes de todas sus variables mientras que 
su g rado con respecto a una variable o g rado 
relativo será el exponente de la variable en re-
ferencia. P or ej emplo: 
 M (x; y) = 7x2y8 es de g rado absoluto: 10
 respecto a x (G R): 2
 respecto a y (G R): 8
 olinomio de do s o m á s t é r m i n o s c o n u n a 
v a r i a b l e . El g rado o g rado absoluto está dado 
por el mayor g rado de los monomios que in-
tervienen, mientras que el g rado relativo (G R) 
lo dará el mayor exponente de la variable en 
referencia. P or ej emplo:
POLINOMIOS
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COLECCIÓN EL POSTULANTE18
 P (x; y) = 7x2y3 - 4x5y6 + 6x7y2
 G rado absoluto (G A):
 mayor { 5; 11; 9} = 11
 G rado relativo (G R)
 G R(x) = mayor { 2; 5; 7} = 7
 G R(y) = mayor { 3; 6; 2} = 6
R e p r e s e n t a c i ó n g e n e r a l d e p o l i n o m i o s d e u n a 
s o l a v a r i a b l e
P (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + , ... + anxn, donde:
a0; a1; ...; an: coeficientes
an: coeficiente principal, si an ! 0
a0: té rmino independiente.
Si an = 1 & P (x) se llama mónico
C a s o s p a r t i c u l a r e s
n = 1: P (x) = a0 + a1x polinomio lineal, si a1 ! 0.
n = 2: P (x) = a0 + a1x + a2x2, polinomio cuadráti-
co, si a2 ! 0.
n = 3: P (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, si a3 ! 0, 
polinomio cú bico.
IGUALDADES DE POLINOMIOS
D os polinomios son ig uales o idé nticos si son del 
mismo g rado y poseen el mismo valor para cual-
quier valor asig nado a su variable o variables (que 
deben ser equivalentes).
Es decir, al ser idé nticos presentarán los mismos 
coeficientes en t rminos seme antes.
P (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn es ig ual a 
x = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn o sea,
P (x) = x & a0 = b0 / a1 = b1 / a2 = b2 / ... /an = bn
P or ej emplo:
P (x) = x(x + 3) + (2 - x)3 es idé ntico a
x = x2 + 6; pues P (1) = 
R(x) = 2x2 - 13x + 22 es idé ntico a:
T (x) = 22 - 13x + 2x2 ya e los coeficientes de 
té rminos semej antes son ig uales.
POLINOMIOS ESPECIALES
1 . P o l i n o m i o m ó n i c o . Es un polinomio de una 
aria le e tiene coeficiente principal se le 
denomina mónico.
 Son ej emplos de polinomios mónicos:
 A(x) = 1 + x2 + 3x; B(x) = 7 - 2x2 + x3; C (x) = x
2 . P o l i n o m i o h o m o g é n e o . Es aquel en el que 
cada té rmino tiene el mismo g rado absoluto.
 Son ej emplos de polinomios homog é neos:
 A(x; y) = 6x4y2 + 3xy5 - y6, su g rado de homo-
g eneidad es 6.
3 . P o l i n o m i o c o m p l e t o . Es aquel polinomio que 
presenta todos sus exponentes desde el ma-
yor hasta el de té rmino independiente.
 Son ej emplos de polinomios completos:
 A(x) = 7 + 3x2 + x + 4x3
 B(x; y) = xy2 + xy + x2 es completo respecto a y.
 C (x; y) = x3y + x2y2 + x + 2y3 es completo 
respecto a x y tambié n respecto a y.
4 . P o l i n o m i o o r d e n a d o . Si los exponentes de 
una variable presentan un orden ya sea as-
cendente o descendente respecto a esta va-
riable será ordenado.
 Son ej emplos de polinomios ordenados:
 P (x; y) = y6x2 + y4x3 + y2x5 + x6y es ordenado 
descendentemente respecto a y mientras que 
respecto a x lo es en forma ascendente.
Nota:
 En todo polinomio de dos o más té rminos 
la s ma de s s coeficientes se o tiene 
evaluando el polinomio para x = 1. Es 
decir, s ma de coeficientes es o 
P (1; 1) o P (1; 1; 1) (seg ú n la cantidad de 
variables).
 n todo polinomio s t rmino indepen -
diente se obtiene evaluando dicho polino-
mio para x = 0. Es decir: té rmino indepen-
diente: P (0) o P (0; 0) o P (0; 0; 0) (seg ú n la 
cantidad de variables).
 A el polinomio e c mple sim lt nea -
mente con la definici n 3 y se denomi-
nan completos y ordenados, por ej emplo, 
P (x) = x3 + x2 + 4x - 2 es completo y or-
denado descendentemente mientras que 
R(x) = 1 - x - x2 - x3 - x4 es completo y 
ordenado ascendentemente.
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19ÁLGEBRA
 n todo polinomio completo y ordenado 
el nú mero de té rminos es su g rado más 
uno, el polinomio P anterior es de g rado 3 
vemos que su cantidad de té rminos es 4 
el polinomio R es de cuarto g rado y posee 
cinco té rminos.
E j e m p l o :
Siendo P (x - 1) = x2 + 4, hallar su té rmino inde-
pendiente m s la s ma de coeficientes. Aparente-
mente este ej emplo parece obvio, pues se puede 
pensar que su té rmino independiente es 4 y la 
s ma de coeficientes es + 4 = 5, pero ¡ cuidado! 
la variable es (x - 1) lueg o para calcular la suma de 
coeficientes allem para x - 1 = 1 & x = 2 
 ̀P (1) = 22 + 4 = 8, asimismo el té rmino indepen-
diente: P (0) para x - 1 = 0 & x = 1
 ̀P (0) = 12 + 4 = 5
CÁLCULO DE VALORES NUMÉRICOS Y CAMBIO 
DE VARIABLE EN POLINOMIOS
V a l o r n u m é r i c o . El valor numé rico es el resultado 
que se obtiene al reemplaza r la variable de un po-
linomio por alg ú n nú mero.
E j e m p l o :
 Si x = xb + 1 - 2xb + 8; b ! N hallemos P (2), 
lo obtendremos cuando su variable sea 2 es 
decir x = 2.
 P (2) = 2b + 1 - 2 # 2b + 8 ̀P (2) = 8
 Si x: y = 2x2 - 3xy2 + y allemos 3 -1), 
lo obtendremos cuando la colección (x; y) sea 
ig ual a (3; -1), es decir, x = 3; y = -1
 3 -1) = 2(3)2 - 3(3)(-1)2 + (-1)
 ̀ 3 -1) = 8
Nota:
En todo polinomio constante siempre se ob-
tienen el mismo valor numé rico para cual-
quier valor de su variable, es decir, si:
P (x) = k & P (x0) = k, 6 x0
C a m b i o d e v a r i a b l e . C onsiste en reemplaz ar va-
riables por otras variables.
E j e m p l o s :
1. Si P (x) = 3x + x2 + 6, cambiemos a x por (x - 1):
 & P (x - 1) = 3(x - 1) + (x - 1)2 + 6
 & P (x - 1) = 3x - 3 + x2 - 2x + 1 + 6
 ̀P (x - 1) = x2 + x + 4
2. Si x = x5 + x7 + , allemos -x), cam-
biando x por -x:
 & -x) = (-x)5 + (-x)7 + 1
 ̀ -x) = -x5 - x7 + 1
3. Si P (b) = 4b2 - 8b3 + 4b - 1, hallemos P (b/2); 
cambiando b por b/2:
 P b b b b
2
4
2
8
2
4
2
1
2 3
= - + -c c c cm m m m
 ̀P (b/2) = b2 - b3 + 2b - 1
4. Si P (x - 1) = x2 + 9, hallemos P (x)
 L o obtendremos cambiando a x por (x - 1) 
¡ C uidado! no ig uale así : x = x - 1 pues lo 
puede confundir y lleg ará en alg unos casos a 
obtener absurdos.
 P ara realiza r correctamente el cambio de va-
riable veamos dos formas:
 a aria le e se desea cam iar en este 
caso x - 1) se forma en el seg undo miem-
ro mediante n artificio.
 Así : P (x - 1) = (x - 1 + 1)2 + 9 realiza ndo 
el cambio: (x - 1) por x obtendremos:
 P (x) = (x + 1)2 + 9
 & P (x) = x2 + 2x + 1 + 9
 ̀P (x) = x2 + 2x +10
 a aria le e se desea cam iar, es de-
cir, (x - 1) se ig uala a una letra (distinta 
de x) llevamos todo a esta nueva letra, es 
decir: x - 1 = b & x = b + 1 reemplaza ndo 
obtendremos P (b) = (b + 1)2 + 9 operando 
P (b) = b2 + 2b + 1 + 9
 & P (b) = b2 + 2b + 10
 ̀P (x) = x2 + 2x + 10
Nota:
Al realiza r un cambio de variable en el polino-
mio s rado t rmino independiente coefi-
cientes no se alteran. Es decir, obtendremos 
polinomios equivalentes.
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COLECCIÓN EL POSTULANTE20
E j e m p l o s :
1. P (x) = 3x4 al reemplaza r x por z: P (z) = 3z 4 o 
reemplaz ando x por (x - 1): P (x - 1) = 3(x - 1)4 
o reemplaza ndo x por x6: P (x6) = 3(x6)4; todos 
ellos poseen el mismo rado coeficiente 
principal 3, es decir, hemos obtenido polino-
mios equivalentes.
2. Si: P (x) = 2x + 6 / x + 1) = 2x + 8
 emos e x + 1) = 2(x + 1) + 6 
 n este caso x y x son e i alentes 
seg ú n la nota anterior. Serí a erróneo plantear 
e x es id ntico a x + 1) pues poseen 
diferentes variables.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. El g rado del sig uiente monomio es 8:
3x x x x9 2m m6 4 3
5
 hallar el valor de m.
 Resolución:
 Eliminando radicales:
 2x x x x3 9 4/5 / 30
/m m6 5 15 30^ ^ ^h h h
 Reduciendo potencias de ig ual base:
 3
6 + + +
x9 2
m m
5 30 5
4
15 30
 D e acuerdo al enunciado del problema, la ex-
presión es de g rado 8, es decir:
 6 + m m
5
4
15 30
8+ + = & m = 12
2. Si: f(x) = 
x
x c
1-
+ , x ! 1, c ! -1; hallar el valor 
de: f[ f(x)] .
 Resolución:
 P or dato: f(x) = 
x
x c
1-
+ & f[ f(x)] = 
x
x c
x
x c c
1
1
1
-
+
-
-
+
+
 Efectuando operaciones y reduciendo:
 f[ f(x)] = 
1c
x c
x
1
+
+
=
^
^
h
h
3. H allar m, p y b para que el polinomio:
 P (x) = 5xm - 18 + 15xm - p + 15 + 7xb - p + 16
 sea completo y ordenado en forma descen-
dente.
 Resolución:
 C omo el polinomio está ordenado en forma 
descendente losexponentes van disminuyen-
do desde el primero hasta el tercero. Además 
es completo, entonces el menor exponente 
que es ig ual a cero (por ser té rmino inde-
pendiente) corresponde al tercero, el anterior 
ig ual a 1 y el primero ig ual 2, así :
 b - p + 16 = 0 ... (1)
 m - p + 15 = 1 ... (2)
 m - 18 = 2 & m = 20
 En (2): 20 - p + 15 = 1 & p = 34
 En (1): b - 34 + 16 = 0 & b = 18
4. Si: f(x + 1) = 3x + 7; hallar: f(x - 2)
 Resolución:
 f(x + 1) = 3x + 7
 #3; +4
 L ueg o: f(x - 2) = 3(x - 2) + 4 = 3x - 6 + 4
 ` f(x - 2) = 3x - 2
5. H allar m/n si el polinomio:
 P (x; y) = 3xmyn(2x2m + 1 + 7y6n + 1) es homo-
g é neo.
 Resolución:
 Efectuando operaciones:
 P (x; y) = 6x3m + 1yn + 21xm y7n + 1
 
 t1 t2
 C omo es homog é neo, se cumple:
 G A(t1) = G A(t2) & 3m + 1 + n = m + 7n + 1
 3m - m = 7n - n & 2m = 6n
 ;n
m
2
6
= ̀ n
m 3=
. Hallar la s ma de coeficientes del si iente 
polinomio:
 P (x; y) = ax bx y
b
a x y a
b ya a b12 3 13
2b a bb a
+ + +
-
 si es homog é neo.
BANCO DE EJERCICIOS16
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21ÁLGEBRA
 Resolución:
 Si es homog é neo, se cumple:
 G A(t1) = G A(t2) = G A(t3) = G A(t4)
ab = aa bb - + 12 = 3 + 13 = ba
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 H aciendo: ( ) = ( )
 ab = ba & a = ba/b ... ( )
 H aciendo: ( ) = ( )
 a 12 16a bb + =- & 4a( )/a b b =-
 ab
a 1-
= 4 & a
a /a b
= 4 ... ( )
 Sustituyendo ( ) en ( ) se obtiene:
 
b
a
b
a
/
/ /
a b
a b a b
= c m = 4 = 22
 de aquí : a/b = 2 & a = 2b ... ( )
 Reemplaza ndo ( ) en ( )
 (2b) = (b)2b/b & 2b = b2 & b = 2
 En ( ): a = 2(2) = 4
 a s ma de coeficientes del polinomio es: 
a + b + a/b + b2/a = 4 + 2 + 4/2 + 4/4
 = 6 + 2 + 1 = 9
7. Si la expresión:
 P (x; y; z ) = y z x x z y x y zy z x z x yx y z 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 + ++ + ++ + + 
 es homog é nea, hallar su g rado absoluto.
 Resolución:
 Si es homog é nea, los g rados absolutos de 
cada té rmino deben ser ig uales, es decir:
 
x y z
y z
x y z
x z
3
3 3 3 3
3
3 3 3 3
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
 ( )
x y z
x y
GA P
3
3 3 3 3
=
+ + +
+ + +
=
 U sando la propiedad de serie de razo nes 
ig uales:
 
x y z x y z x y z
y z x z x y
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
=
 ( )GA P
1
 & ( )
x y z
x y z
GA P
3 3
6 3
+ + +
+ + +
=
^
^
h
h
 ̀G A(P ) = 2
8. Si: P (x - 1) = 2x + 1 / x = 2x - 1 
 allar: x + 1)
 Resolución: 
P (x - 1) = 2x + 1
 #2 ; +3
 omo x = 2x - , 2 x + 3 = 2x - 1
 x = x
2
2 4- & x = x - 2
 & x + 1) = (x + 1) - 2
 ̀ x + 1) = x - 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si f(x) = x41 + 512x32 + 3; hallar: f(-2)
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
2. Si: f(x) = x99 + 243x94 + 2x + 6; hallar: f(-3)
 a) 1 b) 0 c) 3 
d) 4 e) 5
3. Si: P (x3 + 5) = x6 + x3 + 7; calcular: P (7)
 a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14
4. Si: P (x5 + 2) = x10 + x5 + 3; hallar: P (3)
 a) 10 b) 21 c) 3 
d) 5 e) 512
5. A partir de: P (3x + 1) = 15x - 4; hallar: 
P (2x + 3)
 a) 10x + 1 b) 10x + 3 c) 10x - 5
 d) 10x - 6 e) 10x + 6
6. Si: F (x + 4) = 2x + 3; hallar: F (3x + 1)
 a) 2x + 1 b) 3x - 1 c) 6x - 3
 d) 6x + 2 e) 6x + 3
7. Si: 
x
x x
n
n n
2
2 3 4- +
^
^
h
h
 es de 6.° g rado; hallar: n
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
8. Si 
x
x xm m
3 2
2 4 3+ -
^
^ ^
h
h h
 es de 4.° g rado; hallar: m
17ÁLGEBRA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE22
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
9. El g rado de M (x) N (x) es 10 y el g rado de 
M (x) N 3(x) es 16. C alcular el g rado de:
 M 3(x) - N 2(x)
 a) 7 b) 5 c) 6 
d) 21 e) 12
10. El g rado de M (x) N (x) es 7 y el g rado de 
M (x) ' N (x) es 3. C alcular el g rado de: M (x) - N (x)
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 5 e) 7
11. Si se cumple: 6x2 - 10x(a - x) / bx2 + 10x, 
calcular: a + b
 a) 10 b) 12 c) 13 
d) 15 e) 17
12. Si se cumple: x2 - 2x(a - x) / bx2 + 8x, calcu-
lar: a - b
 a) -3 b) -4 c) -5 
d) -7 e) -1
13. H allar m - n + p, si se sabe que el polinomio:
 P (x) = xm - 10 + xm - n + 15 + xp - n + 6 es com-
pleto y ordenado en forma descendente.
 a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10
14. H allar a + b + c, si se sabe que el polinomio: 
 P (x) = xa - 8 + xa + b - 3 + xc - 1 es completo y 
ordenado en forma descendente.
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 5 e) 7
15. H allar m + n - p, en:
 (m - n - 2)x4 + (m + n - 5)x2 + (p - 1) / 0
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
16. H allar: (m2 - n2), en:
 (m + n - 3)x2y + (m - n - 2)xy2 / 0
 a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10
17. Si el polinomio:
 P (x; y; z) = xa
b +x7 yb
a
 + x20z 12
 es homog é neo, calcular: (a - b)2
 a) 1 b) 3 c) 9 
d) 16 e) 25
18. Sabiendo que el polinomio:
 P (x) = (ax + b)(x - 1) + c(x2 + x + 1) es idé n-
tico a: x = 2x2 + 5x - 1, calcular: a + b - c
 a) 1 b) -1 c) 0 
d) 2 e) 3
19. C alcular: m + n + p, si:
 P (x; y) = 5xm + 2yn + xm + 1y2 + x2pyq + xq - 1y5
 es homog é neo de g rado 7.
 a) 5 b) 7 c) 8 
d) 15 e) 18
20. Si: P (x + 3) = 5x + 7
 x - 3] = 15x + 2, calc lar: 
 a) 32 b) 35 c) 37 
d) 81 e) 120
1. c 5. e 9. b 13. c 17. c
2. b 6. c 10. d 14. d 18. a
3. d 7. d 11. d 15. d 19. b
4. d 8. b 12. d 16. c 20. aC
l
a
v
e
s
BANCO DE EJERCICIOS18
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 
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S/36 S/19
19ÁLGEBRA
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POLINOMIO PRODUCTO
A partir de la multiplicación alg ebraica A(x)B(x) de-
finimos el prod cto como el res ltado de la m l-
tiplicación alg ebraica, es decir, siendo A(x) y B(x) 
expresiones alg ebraicas obtendremos:
C (x) donde: A(x)B(x) = C (x)
Si A(x) y B(x) son polinomios C (x) se denominará 
polinomio producto cumplié ndose que:
G [ C (x)] = G [ A(x)] + G [ B(x)]
P ara el cálculo del producto usaremos la ley con-
mutativa y distributiva de los reales:
ab = ba; a(b + c) = ab + ac
E j e m p l o : 
M ultiplicar:
 A x y = 2x2y + 3y; B(x; y) = 5x + 2x4y2
 O btendremos:
 
 A(x; y)B(x; y) = (2x2y + 3y)(5x + 2x4y2)= 10x
3y + 4x6y3 + 15xy + 6x4y3
 x = (x2 - x + x = x3 + 4
 O btendremos:
 
 x x = (x2 - x + 1)(x3 + 4)
 
 x x = x5 + 4x2 - x4 - 4x + x3 + 4
T e o r e m a
Si el g rado de P (x) es con ( $ 1), el g rado de 
P n(x) será n con n ! N, n 2 1
P r u e b a :
P or ser n ! N y n 2 1, P n x est definida como el 
producto P n(x) = P (x)P (x)P (x) ... P (x)
 
 n veces
lueg o el g rado de P (x) será la suma de los g rados 
de los polinomios ig uales a P (x), es decir:
G P n(x) = G [ P (x)] + G [ P (x)] + G [ P (x)] + ... + G [ P (x)]
 n veces
 ̀G [ P n(x)] = n G [ P (x)]
E j e m p l o :
Siendo P (x) = (x2 + 2)3 x = (x4 - 1)5 y R(x) = (x7 - 2)2 
allar el rado de x x + x x
Resolución:
Recordemos que el g rado de la suma estará dado 
por el g rado del mayor sumando, entonces halle-
mos:
 rado de x x
 = G [ P (x)] + x = 2 # 3 + 4 # 5 = 26
 rado de x x
 = x + G [ R(x)] = 4 # 5 + 7 # 2 = 34
L ueg o el g rado de la suma indicada será 34.
PRODUCTO NOTABLE
Es el producto que al adoptar cierta forma particu-
lar, evita que se efectú e la operación de multipli-
cación escribiendo directamente el resultado. L os 
principales productos notables son:
 T r i n o m i o c u a d r a d o p e r f e c t o . El desarrollo 
de un binomio al cuadrado nos da el cuadra-
do del primer té rmino, más el doble del primer 
té rmino por el seg undo té rmino, más el cua-
drado del seg undo té rmino.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
 C o n s e c u e n c i a s :
 a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
 a2 - 2a + 1 = (a - 1)2
 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
 a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
 I d e n t i d a d e s d e L e g e n d r e
 
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)
 I d e n t i d a d d e L a g r a n g e
(ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2)(x2 + y2)
PRODUCTOS NOTABLES
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COLECCIÓN EL POSTULANTE24
 i eren ia de uadrados. El producto de dos 
binomios uno que presenta la suma de 2 ex-
presiones y el otro la diferencia de las mismas 
expresiones es el cuadrado de la primera, me-
nos el cuadrado de la seg unda.
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(am + bn)(am - bn) = a2m - b2n
 C o n s e c u e n c i a s :
 x - y = x y x y+ -^ ^h h; x ! R+; y ! R+
 (a - b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)( )a b2 2
n n
+ ...
a b2 2
n n1 1
= -
+ +
 esarrollo de un trin o m i o a l c u a d r a d o . Al 
desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene 
la suma de los cuadrados de los tres té rminos, 
más el doble de la suma de los productos to-
mados de dos en dos (productos binarios).
 
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
 C o n s e c u e n c i a :
 a + ac + bc)2 = (ab)2 + (ac)2 + (bc)2 +
 2abc(a + b + c)
 M u l t i p l i c a c i ó n d e b i n o m i o s c o n u n t é r m i n o 
e n c o m ú n . Al multiplicar dos binomios con 
un té rmino en comú n se obtiene: el comú n al 
cuadrado, más el producto de la suma de no 
comunes por el comú n, más el producto de no 
comunes, es decir:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
 C o n s e c u e n c i a s :
 x + a)(x - b) = x2 + (a - b)x - ab
 x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab
 xm + a)(xm + b) = x2m + (a + b)xm + ab
 esarro l l o d e u n b i n o m i o a l c u b o . Al de-
sarrollar un binomio al cubo se obtiene: el 
cubo del primer té rmino, más el producto 
del triple del primero al cuadrado por el se-
g undo, más el producto del triple del primero 
por el seg undo al cuadrado, más el cubo del 
seg undo té rmino.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 C o n s e c u e n c i a s :
 a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
 (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
 a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)
 a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)
 S u m a y d i f e r e n c i a d e c u b o s
 
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
PROPIEDADES AUXILIARES
 esarrollo de un trinomio al ubo
 (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 
 3(a + b)(b + c) (c + a)
 (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 
 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc
 rodu to de multi li ar binomios on un 
t é r m i n o c o m ú n
 (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + 
 (ab + bc + ca)x + abc
 (x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + 
(ab + bc + ca)x + abc
 dentidad trin mi a r an d
 (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
 (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
 En g eneral:
 (x2m + xmyn + y2n)(x2m - xmyn + y2n) = 
 x4m + x2my2n + y4n
 dentidades adi ionales identidad de auss
 a3 + b3 + c3 - 3abc = 
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
21ÁLGEBRA
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25ÁLGEBRA
 a + b)(b + c)(c + a) + abc = 
 (a + b + c)(ab + bc + ca)
 x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2)
 ualdades ondi ionales
 Si: a + b + c = 0
 Se erifican:
 a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ac)
 a + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2
 a3 + b3 + c3 = 3abc
 a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
 a b c a b c a b c
2 3 5
2 2 2 3 3 3 5 5 5
+ + + +
=
+ +c cm m
 a b c a b c a b c
2 5 7
2 2 2 5 5 5 7 7 7
+ + + +
=
+ +c cm m
 
EJERCICIOS RESUELTOS
1. H allar el equivalente de la expresión:
 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) 
 Resolución:
 Efectuando los productos convenientemente:
 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
 
 1 + (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
 Realiza ndo el cambio de variable:
 x2 + 3x = k
 L ueg o: 1 + k( k + 2) = 1 + k 2 + 2k = (k + 1)2
 Reemplaza ndo en: (k + 1)2
 (x2 + 3x + 1)2
2. Reducir: (x + y + z) 3 + 2(x3 + y3 + z 3) - 
 3(x + y + z) (x2 + y2 + z 2) 
 Resolución:
 D esarrollando por productos notables y sim-
plificando t rminos seme antes:
 3x3 + 3y3 + 3z 3 + 3x2y + 3xz 2+ 3y2x + 3y2z +
 3z 2x + 3z 2y + 6xyz - 3x3 - 3y3 - 3z 3 - 3xy2- 
 3xz 2 - 3yx2 - 3yz 2 - 3zx 2 - 3zy 2 = 6xyz
3. Sabiendo que 
x
a
a
x
9
9
+ = 7, hallar el valor de 
la expresión: 
x
a
a
x
9
4
94
+
 Resolución:
 H aciendo el cambio de variable:
 
x
a k
9 =
 & a
x
k
19
= & k + k
1 = 7
 Además: k + 1/k + 2 = 7 + 2
 & k
k
1 2
+f p = 9 & 3k
k
1
+ = ... (1)
 Se pide: E = k
k
14
+ 4
 Elevando al cuadrado: E2 = k
k
1 2+ +f p
 
 P ero de (1): E2 = (3 + 2) & E = 5
4. Evaluar la sig uiente expresión:
 (x - 3y)2 - 4y(2y - x) + 8
 Si sabemos que: (x - y) = 8
 Resolución:
 L lamando E a la expresión dada y efectuando 
operaciones:
 E = x2 - 6xy + 9y2 - 8y2 + 4xy + 8
 E = x2 - 2xy + y2 + 8
 E = (x - y)2 + 8
 P ero por condición: (x - y) = 8
 Reemplaza ndo: E = 82 + 8 = 72
5. H allar el valor que asume la expresión:
U = xy
x y
x
x y
x y
y
2
2
3
22 2+
+
+
+
+
 si: x y x y
1 1 4
+ =
+
 Resolución:
 H allando la relación entre x e y de la condición 
del problema, se tiene:
 x y x y
1 1 4
+ =
+
 & xy
y x
x y
4+
=
+
^
^
h
h
 (x + y)2 = 4xy & (x + y)2 - 4xy = 0
 x2 - 2xy + y2 = 0 & (x - y)2 = 0
 F inalmente: x - y = 0 & x = y
 Reemplaza ndo en la expresión cuyo valor se 
pide, se tiene:
 U = 
( )x x
x x
x
x x
x x
x
2
2
3
22 2+
+
+
+
+
 ` U = 2 + 
2
3
2
1 4+ =
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COLECCIÓN EL POSTULANTE26
. Simplificar la expresi n:
E = 
gx
v y gx
gx
v z
1
2
2
1
2
2 2 2
2
2 2
-
+
+
 
 sabiendo que: y2 - z 2 = R2
 Resolución:
 T rabaj ando con el radicando:
 E = 
2
2
gx
v y
gx
v z
2
2 2
2
2 2
-
+ simplificando:
 
 E = 1 ;
y
z
y
y z
2
2
2
2 2
- + =
- como: y2 - z 2 = R2
 ̀E = 
y
R
y
R
2
2
=
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Efectuar:
 (x + 1)(x + 2) - (x + 3)2 + (x - 3)2 -
 (x - 4)(x - 5)
 a) -14 b) -16 c) -18 
d) -20 e) -22
2. Reducir:
 (x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2
 a) -4 b) -3 c) -2 
d) -1 e) 0
3. Efectuar:
 4x2 - (2x + 1)2 - 4(x + 1)2 + (2x + 3)2
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
4. Reducir: x2 - (3x + 1)(3x + 2) + 2(2x + 1)2
 a) -2x b) -x c) 0 
d) x e)2x
5. Efectuar:
 (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) - (x2 - x - 7)2
 a) -25 b) - 1 c) 49 
d) 25 e) 1
6. Reducir:
 (x2 + 8x + 11)2 - (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
 a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 20
7. Reducir: (a + b + 5c)2 + (a + b + 4c)2 - 
 2(a + b + c)(a + b + 8c)
 a) c2 b) 4c2 c) 9c2 
d) 25c2 e) 16c2
8. Efectuar: (a + 3b + c)2 + (a + 2b + c)2 - 
2(a + b + c)(a + 4b + c)
 a) 5a2 b) 5b2 c) 5c2 
d) 3a2 e) 4a2
9. Si: a + b + c = 0; reducir:
 (2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3
 a) -3 b) 3abc c) -3abc
 d) 3 e) 0
10. Si: a + 2b + 3c = 0; reducir:
 c
a b
b
a c
a
b c2 3 2 32 2 2+
+
+
+
+
c c cm m m
 a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 14
11. Si: x y x y
1 1 4
+ =
+
 calcular: R = xy
x y
x
x y
2
32 2+
+
+
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
12. Si: (x + y)2 = 4xy
 calcular: P = xy
x y
x
x y
2
32 2+
+
+
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
3. Simplificar:
 R = 
a b
a b a b a b a b
2 24 4
3 3 3 3
-
+ - + - +^ ^ ^ ^h h h h
23ÁLGEBRA
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27ÁLGEBRA
 a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4
. Simplificar: xy
x y x y2 2+ - -^ ^h h
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
15. Si: xy
x y xy
x y
x y 4+ +
=
+
+ +
 calcular: P = xy
x y
1 1
2 2+f p
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
16. Si: y
x
x
y
2+ =
 calcular: R = x3y3 
x y
1 1
6 6+f p
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
17. Si: a = 1 1b2 2/+ = -
 calcular: P = a2 + b2 + 3ab
 a) 2 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 9
18. Si: x - 1 = 23 / y + 1 = 23 
 calcular: R = x3 + 3xy + 3xy2 + y3
 a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 32
19. Si: x + y + z = 0
 hallar: P = z
x y
x z
y
y z
x 2+
+
+
+
+
c m
 a) 1 b) 3 c) 6 
d) 9 e) 12
20. Si: a + b + c = 0
 calcular: P = (a + b)(a + c)(b + c) + abc + 5
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
21. C alcular: 
 P = (1 - x)(1 + x + x2)(1 + x)(1 - x + x2) + 
(x6 + 1)
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
22. C alcular: P = 3 5 17 257 116 +^ ^ ^ ^h h h h
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
23. Si: a + b + c = 0
 calcular: R = 
a b b c c a
a b b c c a
3 3 3
3 3 33 3 3
+ + +
+ + + + +
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
24. Si: a + b + c = 0
 calcular: P = 
a b a c b c
a b c3 3 3
+ + +
+ +
^ ^ ^h h h
 a) -1 b) -2 c) -3 
d) -5 e) 3
25. Si: x4 - y4 = 6 / x2 - y2 = 3
 hallar: R = (x + y)2 + (x - y)2
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
1. c 6. d 11. d 16. b 21. b
2. a 7. d 12. d 17. e 22. b
3. d 8. b 13. b 18. d 23. c
4. b 9. b 14. d 19. d 24. c
5. a 10. e 15. b 20. e 25. dC
l
a
v
e
s
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IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN
Sean D (x), d(x) dos polinomios no constantes. Al 
efectuar D (x) ' d(x) se obtienen dos ú nicos polino-
mios q(x) y R(x) tales que:
 
 D (x) = d(x) q(x) + R(x) ... (i)
D onde:
D (x) : polinomio dividendo
d(x) : polinomio divisor
q(x) : polinomio cociente
R(x) : polinomio residuo o resto.
Además:
 x / 0 & G [ R] 1 G [ d]
 Si en : x / 0 se dice que la división es 
exacta, lueg o se tendrí a:
 
D (x) = d(x) q(x) 0 
( )
( )
d x
D x
= q(x)
 Si en : x _ 0 se dice que la división es 
inexacta, de aquí :
D (x) = d(x) q(x) + R(x)
( )
( )
d x
D x
= q(x) +
( )
( )
d x
R x
 
 
 E j e m p l o :
 D e la sig uiente identidad:
 x3 + 2 = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3
 Se podr a afirmar:
 
D (x) = x3 + 2
d(x) = x - 1
 
G [ D ] $ G [ d]
 3 1
 
q(x) = x2 + x + 1
R(x) = 3
 
G [ R] 1 G [ d]
 0 1
T e o r e m a s
 = G [ D ] - G [ d]
 máx = G [ d] - 1
E j e m p l o :
En la sig uiente división:
x x
x x x
5 6
2 6 3
4
8 3
+ +
- + - G [ D ] = 8
G [ d] = 4
L ueg o, G [ q] = 8 - 4 = 4
G [ R] máx = 4 - 1 = 3
C r i t e r i o g e n e r a l p a r a d i v i d i r . L os polinomios divi-
dendo y divisor deberán de encontrarse completos 
(caso contrario se representará con ceros a los 
té rminos que faltan y por lo g eneral ordenarlos en 
forma descendente.
E j e m p l o :
El polinomio: P (x) = 3x - 5x3 + x6 - 8 es equiva-
lente a: P (x) = x6 + 0x5 + 0x4 - 5x3 + 0x2 + 3x - 8 
y diremos que presenta a todos sus té rminos
MÉTODOS PARA DIVIDIR
M é t o d o d e H o r n e r . Es el más g eneral y se utiliza 
para dividir polinomios de cualquier g rado.
E s q u e m a
 
c coeficientes del x
o 
e
f 
del
d(x) # lí nea divisoria
 coefic. del x coeficientes del x
+
+
'
U bicar la lí nea divisoria contando en el esquema, 
de derecha a izq uierda tantas columnas como el 
g rado del divisor.
E j e m p l o :
D ividir: 
x x
x x x
2 1
4 9 6 1
3
4 3 5
+ -
+ + -
Resolución:
P reparando los polinomios:
D (x) = 6x5 + 4x4 + 9x3 + 0x2 + 0x - 1
d(x) = 2x3 + 0x2 + x - 1
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
25ÁLGEBRA
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29ÁLGEBRA
Aplicando H orner:
 ' + + + + +
 2 6 4 9 0 0 -1
 0 0 -3 3
 -1 0 -2 2
 
 1 4 6 0 -3 3
 
 # 3 2 3 1 -1 2
 coef. del q(x) coef. del R(x)
C omo D (x) y d(x) presentan todos sus té rminos y 
están ordenados en forma descendente, entonces 
q(x) y R(x) tambié n deben presentar todos sus té r-
minos y están ordenados descendentemente.
Además como: 
G [ q] = 5 - 3 = 2 y G [ R] máx = 3 - 1 = 2, se tiene:
q(x) = 3x2 + 2x + 3
R(x) = 1x2 - 1x + 2 = x2 - x + 2
e la de u fini. Es un caso particular del mé todo 
de H orner y se usará cuando el divisor es de primer 
g rado o transformable a un polinomio lineal.
E s q u e m a d e c o c i e n t e s
Suponiendo que el divisor tiene la forma:
ax + b; a ! 0
x = - a
b
coeficientes del x
coeficientes del x Resto#
+ + +
n el es ema de fini el resto o tenido siempre 
es una constante.
E j e m p l o s :
1. D ividir: 
x
x x x x
3 1
3 7 2 54 2 3
-
- + - +
 
 Resolución:
 + + + +
3x - 1 = 0 3 2 -7 -1 5
 x = 1/3 1 1 -2 -1
 3 3 -6 -3
 4
 3 3 3 3
 1 1 -2 -1
 C oef. del q(x)
#
 C omo G [ q] = 4 - 1 = 3, se tiene:
 q(x) = 1x3 + 1x2 - 2x - 1 = x3 + x2 - 2x - 1
 Resto = 4
2. D ividir: 
x
x x
2
2 33
-
- -
 Resolución:
 
x - 2 = 0 1 0 -2 -3
 x = 2 2 4 4
 1 2 2 1
 1 1 1
 1 2 2
 C oef. del q(x)
 C omo: G [ q] = 3 - 1 = 2
 T enemos: q(x) = x2 + 2x + 2
 Resto = 1
TEOREMA DEL RESTO
F i n a l i d a d . O btener el resto de ciertas divisiones 
sin necesidad de efectuar la división.
E n u n c i a d o . Sea P (x) un polinomio no constante.
El resto de dividir P (x) entre (x - m) viene dado 
por P (m).
 
Es decir: 
( )
x m
P x
-
 + R = P (m) R: resto
E j e m p l o s :
 
( )
x
P x
3-
 + R = 3 
( )
x
Q x
6+
 + R = -6)
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COLECCIÓN EL POSTULANTE30
REGLA PRÁCTICA
 l di isor se i ala a cero x - m = 0).
 Se despe a la aria le x = m).
 Se reempla a en el di idendo o teni ndose el 
resto R = P (m).
E j e m p l o :
H alle el resto en: 
x
x x
2
2 605
-
+ -
Resolución:
H aciendo uso de la reg la práctica:
 x - 2 = 0 x = 2
 = 2(2)5 + 2 - 60 & R = 6 
C o r o l a r i o . Sea P (x) un polinomio no constante. El 
resto de dividir P (x) entre (ax + b), donde a ! 0, 
viene dado por (- b/a), es decir:
( )
ax b
P x
R P a
b
+
+
= -c m
E j e m p l o :
H alle el resto de dividir: 
x
x x
2 1
2 5 72
-
+ +
Resolución:
Sig uiendo con la reg la práctica, antes mencionada.
 2x - 1 = 0 x = 1/2
 = 2
2
1 5
2
1 7
2
+ +c cm m 
 R = 
2
1
2
5
+ + 7 & R = 10
COCIENTES NOTABLES (CN)
Se denomina cocientes notables, a ciertos cocien-
tes de tal forma que sin efectuar la división, se pue-
de escribir su desarrollo. Se caracteriza n por ser 
cocientes exactos.
F o r m a g e n e r a l d e l o s c o c i e n t e s n o t a b l e s . T odo 
cociente notable se puede presentar de la sig uien-
te forma g eneral:x a
x am m
+
+ donde se observa:
1. El dividendo y el divisor tienen cada uno dos 
té rminos.
2. L as bases del dividendo y divisor (x, a), res-
pectivamente, son ig uales.
3. L os exponentes en cada uno de los té rminos 
del dividendo son ig uales.
4. H ay cuatro formas de cocientes notables, que 
se obtienen combinando los sig nos: 
 , , ,
+
+
-
+
+
-
-
-c m
C omo consecuencia se presentan 4 casos:
E s t u d i o d e l p r i m e r c a s o : x a
x am m
+
+
Aplicando el teorema del resto, reg la práctica:
 x + a = 0 x = -a
 R = (-a)m + am = 0
H ay dos casos:
e m sea par, l e o:
R = (-a)m + am = am + am = 2am ! 0
N o es cociente notable, porque el resto es diferen-
te de cero.
e m sea impar, l e o:
R = (-a)m + am = -am + am = 0
Sí es cociente notable.
C o n c l u s i ó n : L a forma x a
x am m
+
- es C N cuando m 
es impar.
E s t u d i o d e l s e g u n d o c a s o : x a
x am m
+
-
C álculo del resto:
 x + a = 0 x = -a
 = (-a)m - am
P ara que sea cero, m debe ser nú mero par, así : 
R = am - am = 0
C o n c l u s i ó n : L a forma x a
x am m
+
- es C N cuando m 
es un nú mero par.
E s t u d i o d e l t e r c e r c a s o : x a
x am m
-
+
C álculo del resto:
 x - a = 0 x = a
 = (a)m + am = 2am ! 0
C omo el resto es diferente de cero, no es C N
C o n c l u s i ó n : L a forma x a
x am m
-
+ no es cociente no-
table para ning ú n valor de m.
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31ÁLGEBRA
E s t u d i o d e l c u a r t o c a s o : x a
x am m
-
-
C álculo del resto:
 x - a = 0 x = a
 = (a)m - am = 0
C o n c l u s i ó n : L a forma x a
x am m
-
- es cociente nota-
ble para cualquier valor de m.
esarrollo del o iente notable. P ara desarrollar 
el se reali a la di isi n por fini, aplicado a 
un caso, pero se g eneraliza para los tres casos de 
cocientes notables con las reg las prácticas que se 
ar al final de la demostraci n.
Sea el C N x a
x am m
+
+ para m = nú mero impar.
i idiendo por fini:
1 0 0 0 ... +am
-a -a +a2 -a3 -am
1 -a1 +a2 -a3 ... +am - 1 0
El cociente es de g rado = m - 1
q(x) = xm - 1 - xm - 2a1 + xm - 3a2 - xm - 4a3 + ... 
+ am - 1
 
 ̀ x a
x am m
+
+
= xm-1-xm-2a1+xm - 3a2-xm - 4a3+ .. .+ am - 1
R e g l a s p r á c t i c a s p a r a e s c r i b i r d e l d e s a r r o l l o d e 
c u a l q u i e r c o c i e n t e n o t a b l e
1. El primer té rmino del cociente es ig ual al co-
ciente entre el primer té rmino del dividendo y 
el primer té rmino del divisor.
2. El ú ltimo té rmino del cociente es ig ual al co-
ciente entre el seg undo té rmino del dividendo 
y el seg undo té rmino del divisor.
3. A partir del seg undo té rmino del cociente el 
exponente de x comienza a disminuir de 1 en 
 asta el alor final.
4. T ambié n a partir del seg undo té rmino del co-
ciente, aparece a con exponente 1 y en cada 
té rmino posterior su exponente aumenta de 1 
en 1 hasta m - 1.
5. P ara los sig nos de cada té rmino se debe tener 
en cuenta:
 ando el di isor es de la orma x + a) 
los sig nos de los té rminos del cociente son 
alternados (+) y (-) comenza ndo por (+).
 ando el di isor es de la orma x - a) 
los sig nos de los té rminos del cociente son 
positivos.
Nota:
El dividendo en ambos casos (a y b) puede 
ser (xm + am) o (xm - am)
E j e m p l o s :
1. x a
x a5 5
+
+
= x4 - x3a + x2a2 - xa3 + a4
2. x a
x a6 6
+
- = x5 - x4a + x3a2 - x2a3 + xa4 - a5
3. x a
x a8 8
-
- = x7 + x6a + x5a2 + x4a3 + x3a4 + 
 x2a5 + xa6 + a7
4. 
x a
x a
x a
x a
2 4
10 20
2 4
2 5 4 5
+
+
=
+
+
^ ^
^ ^
h h
h h
= (x2)4 - (x2)3(a4) + 
(x2)2(a4)2 - (x2)(a4)3 + (a4)4
 o en forma inmediata:
 
x a
x a
2 4
10 20
+
+
= x8 - x6a4 + x4a8 - x2a12 + a16
etermina i n de un t rmino ual uiera de un 
c o c i e n t e n o t a b l e . En forma g eneral:
x a
x am m
!
!
= xm - 1 " xm - 2a1 + xm- 3a2 " xm - 4a3 +
xm - 5a4 " ... " am - 1
D educción de la fórmula, para el té rmino k.
 1.er té rmino: (sig no) xm - 1a1 - 1
 2.° té rmino: (sig no) xm - 2a2 - 1
 3.er té rmino: (sig no) xm - 3a3 - 1
 4.° té rmino: (sig no) xm - 4a4 - 1
 h
10.° té rmino: (sig no) xm - 10a10 - 1
 h
 k. ° té rmino: (sig no) xm - k ak - 1
 
 ̀ tk = (sig no) xm - k ak - 1
BANCO DE EJERCICIOS28
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COLECCIÓN EL POSTULANTE32
R e g l a p a r a e l s i g n o
1. C uando el divisor es de la forma (x - a) el 
sig no de cualquier té rmino es positivo.
2. C uando el divisor es de la forma (x + a) el 
sig no de los té rminos que ocupan un lug ar par 
son neg ativos y los que ocupan un lug ar impar 
son positivos.
E j e m p l o : 
H allar el t25 y t40 en el desarrollo del C N : 
 
x a
x a
3 2
150 100
+
-
Resolución:
D ando la forma de C N : 
x a
x a
3 2
3 50 2 50
+
-
^ ^
^ ^
h h
h h
; de donde:
1.a base del divisor: (x3)
2.a base del divisor: (a2)
m = 50
P ara k = 25: t25 = + (x3)50 - 25(a2)25 - 1
 t25 = + x75a48
P ara k = 40: t40 = -(x3)50 - 40(a2)40 - 1
 t40 = -x30a78
ondi i n ne esaria y sufi iente ara ue el 
c o c i e n t e 
x a
x a
p q
m n
!
! s e a n o t a b l e . Establecidas las 
condiciones de divisibilidad el cociente 
x a
x a
p q
m n
!
! 
será notable cuando:
x a
x a
x a
x a
p q
m n
p q
p r q r
!
!
!
!
=
^ ^h h
donde: pr = m & r = m/p ... ( )
 qr = n & r = n/q ... ( )
Es decir, los cocientes entre m/p y n/q, deben ser 
enteros e ig uales.
N ú m e r o d e t é r m i n o s d e l c o c i e n t e n o t a b l e . D e 
( ) y ( ):
p
m
q
n
= = nú mero de té rminos del cociente notable
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿ C uál es el residuo de la sig uiente división?
 (3m5 - 2m4 + 3m3 - 2m2 - m - 1) : (m - 2)
 Resolución:
 Aplicando el teorema del resto:
 d = m - 2
 D = P (m) = 3m5 - 2m4 + 3m3 - 2m2 - m - 1
 H aciendo d = 0, es decir: m - 2 = 0 & m = 2
 R = P (2) = 3(2)5 - 2(2)4 + 3(2)3 - 2(2)2 - 2 - 1
 ` R = 77
2. D ado el polinomio: 6x3 - 3x2 - mx - 6
 determinar el valor de m para que sea divisi-
ble por (2x - 3)
 Resolución:
 Si una expresión es divisible entre otra, esto 
implica que si se efectú a la división entre am-
bas el residuo será nulo.
 Aplicando el teorema del resto y una vez ha-
llado este residuo se ig uala a cero, por condi-
ción de divisibilidad, y se calcula m.
 P ara hallar el residuo se hace:
 d = 0, es decir: 2x - 3 = 0 & x = 3/2
 R = P m
2
3 6
2
3 3
2
3
2
3 6
3 2
= - - -c c c cm m m m
 P ero por condición de divisibilidad: R = 0
 Efectuando e ig ualando a cero resulta: m = 5
3. D eterminar m + n para que el polinomio:
 4x4 + 2x3 - mx2 + 3x + n
 sea divisible por x2 - 2x + 1. H allar: m + n 
 Resolución:
 P or condición de divisibilidad: “ Si se dividen 
dos expresiones alg ebraicas divisibles, el re-
siduo deberá ser idé nticamente nulo” . Efec-
tuando la división por H orner:
 1 4 2 -m 3 n
 2 8 -4
-1 20 -10
2(16 - m) (m - 16)
4 10 (16 - m) (25 - 2m) (m + n -16)
 R = 0
29ÁLGEBRA
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33ÁLGEBRA
 Entonces: 25 -2m = 0 ... (1)
 m + n - 16 = 0 ... (2)
 D e (2): m + n = 16
4. H allar el residuo de la división de:
 2x5 + 7x4 - 50x3 - 173x2 - 22x + 60
 entre x2 - 2x - 15
 Resolución:
 Efectuando la división por el mé todo de H orner.
 
 1 2 7 -50 -173 -22 60
 2 4 30
15 22 165
 4 30
 -8 -60
2 11 2 -4 0 0
 Residuo
 ` R = 0
5. alores de er n tomar a y para e el 
polinomio: x5 - ax + b sea divisible entre: x2 - 4
 Resolución:
 P or condición de divisibilidad: “ Si se dividen 
dos expresiones alg ebraicas divisibles, el re-
siduo será idé nticamente nulo”Efectuando la 
división por H orner:
 
1 1 0 0 0 -a b
0 0 4
4 0 0
0 16
0 0 
1 0 4 0 (16 - a) b
 R = 0
 Entonces: 16 - a = 0 & a = 16
 b = 0 & b = 0
6. ¿ C uál deberá ser el valor de m para que el 
polinomio: x3 + m(a - 1)x2 + a2(mx + a - 1) 
sea divisible entre x - a + 1?
 Resolución:
 Aplicando el teorema del resto para hallar el 
residuo en dicha división y por condición de 
divisibilidad, se ig uala el residuo a cero.
 D = P (x) = x3 + m(a - 1)x2 + a2(mx + a - 1)
 d = x - a + 1
 & d = 0 & x - (a - 1) = 0 & x = (a - 1)
 R = P (a - 1) = (a - 1)3 + m(a - 1)(a - 1)2 + 
a2[ m(a - 1) + (a - 1)]
 R = (a - 1)3 + m(a - 1)3 + a2(a - 1)(m + 1)
 R = (a - 1)3[ 1 + m] + a2(a - 1)[ 1 + m]
 R = (a - 1)(1 + m)(2a2 - 2a + 1) 
 P ero: R = 0
 & m + 1 = 0 ̀ m = -1
. Simplificar:
 E = 
a a
x
a
x
a
x
a
x
a a x
x1
n
n
n
n
2 3
2
4
3
1 1
1
f+ + + + + +
-+ +
+
^ h
 Resolución:
 Sumando todos menos el ú ltimo sumando:
 a a
x
a
x
a
x1
n
n
2 3
2
1
f+ + + +
+
 
a
a a x a x a x x
n
n n n n n
1
1 2 2 3 3 f
=
+ + + + +
+
- - -
 Escribiendo el numerador como C N :
 a a
x
a
x
a
x
a
a x
a x
1
n
n
n
n n
2 3
2
1 1
1 1
f+ + + + =
-
-
+ +
+ +
 & 
a a x
a x
n
n n
1
1 1
-
-
+
+ +
^ h
; sustituyendo en la expresión:
 
 E =
a a x
a x
a a x
x
n
n n
n
n
1
1 1
1
1
-
-
+
-+
+ +
+
+
^ ^h h
 
 E 
a a x
a x x
n
n n n
1
1 1 1
=
-
- +
+
+ + +
^ h
 E = 
a a x
a
a x
1
n
n
1
1
-
=
-+
+
^ h
= (a - x)-1
8. H allar el té rmino independiente del cociente:
x
x a an n+ -^ h
 Resolución:
 D ando la forma de C N y desarrollando: 
 
x a a
x a an n
+ -
+ -
^
^
h
h
= (x + a)n - 1 + (x + a)n - 2a1 +
(x + a )n - 3a2 + ... + an - 1
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COLECCIÓN EL POSTULANTE34
 El té rmino independiente del C N es:
 P (0) = an - 1 + an - 2a1 + an - 3a2 + ... + an - 1
 
 n té rminos
 = an - 1 + an - 1 + an - 1 + ... + an - 1
 
 n té rminos
 ` P (0) = nan - 1
. Simplificar:
 E = 
x x x x x
x x x x x
1
1
38 36 34 4 2
78 76 74 4 2
f
f
+ + + + + +
+ + + + + +
 Resolución:
 Escribiendo el numerador y denominador 
como C N : 
 E =
x
x
x
x
1
1
1
1
2
2 20 40
2
2 40 40
-
-
-
-
^
^
h
h
; e ect ando y simplificando:
 E =
x
x E
x
x
1
1
1
1
40
80
40
40 2 2
&
-
-
=
-
-^ h
 ` E =
x
x x
x
1
1 1
1
40
40 40
40
-
+ -
= +
^
^ ^
h
h h
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. indique verdadero (V ) o falso (F ) en las propo-
siciones sig uientes:
i. Si R(x) = 0; D (x) = d(x)q(x)
ii. G [ q(x)] = G [ D (x)] + G [ d(x)]
iii. P ara efectuar la división, se completa y or-
dena en forma creciente al dividendo y al 
divisor.
 a) V F V b) V V F c) F V V
 d) V F F e) F V F
2. H allar el cociente de dividir:
x x
x x x x
2 3
12 2 16 8 3
2
4 3 2
+ -
- - + -
 a) 6x2 + 4x + 3 b) 6x2 - 4x + 3
 c) 6x2 + 4x - 3 d) 6x2 - 4x - 3
 e) 6x2 + 4x
3. Al dividir: 
x x x
x x x x
5 4 1
2 5 6 7
3 2
2 3 4
- + -
- + - + dar como 
resp esta la s ma de coeficientes del resid o.
 a) 4 b) -4 c) -1
 d) 1 e) 0
4. Al efectuar: 
x x
x x ax b
2 1
4
2
4 2
+ -
- - + se obtiene por 
resto: R(x) = 8x - 4. C alcular: ab-1
 a) 1/50 b) 2 c) -1
 d) 1/2 e) 3
5. Si la sig uiente división: 
x x
x x x Mx N
1 2 3
6 16 25
2
4 3 2
+ +
+ + + +
 tiene residuo: R(x) / 0, se alar: M N 83 + +
 a) 2 b) -2 c) 3
 d) -3 e) d1
6. El resto de la división: 
x x
x x px p
3 2
4
2
3 2
- -
- + -
 es una constante, hallar dicho resto aumenta-
do en p.
 a) 1 b) -1 c) 0
 d) -2 e) 2
. Si los coeficientes del cociente de di idir:
 
x
ax bx c x x
2 3
8 182 4 3
+
+ + + +
 son nú meros consecutivos y el residuo es 
(-8 , se alar: a + b + c)0,5
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 6
8. L a sig uiente división:
 
x x
mx nx x x x
3 4
7 5 12
2
5 4 3 2
+ -
+ - + - -
 es exacta. C alcular: mn
 a) 10 b) 15 c) 24 
d) 30 e) 42
9. A partir de la división:
( )
( )
x x
x x bx x
5 3 1
25 5 3 1
2
4 3 2
- +
+ + + +
 calcular su cociente evaluado en 1, sabiendo-
que su resto es: 5cx.
31ÁLGEBRA
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35ÁLGEBRA
 a) 5 b) 6 c) 7
 d) 8 e) 9
10. D espué s de dividir:
x
x x x x x
3
1
6 11 7 1 14 2
-
+ + + - +^ ^h h
 se alar el coeficiente del t rmino lineal del co-
ciente.
 a) 2 b) 3 c) 6 
d) 9 e) 12
11. P roporcionar el cociente de dividir:
( ) ( )
x a
x b a x b a x a ab3 2
-
+ - + - + -
 a) x2 + ax + a b) x2 + bx + b
 c) x2 + ax + b d) x2 + bx + a
 e) x2 + bx + (b - a + ab)
12. Al dividir: 
 P (x) = x3 + 15x x k2 7 2 7 15 72- - + - + +^ ^h h 
 entre x - 7 , se encontró un residuo 3k - 8. 
Encontrar k.
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
13. D eterminar el valor de a en la división:
 
x
x x a
2 5
25 24 2
+
+ + +^ h
 si el valor numé rico de su cociente para x = 0 
es ig ual a 2.
 a) 1 b) 2 c) 4 
d) 3 e) 6
14. D eterminar el residuo de la división:
 ( ) ( ) ( )
x
px qx r p x p q x q p x p
1
2 3 2 25 4 3 2
-
+ + - + - + - +
 si la s ma de coeficientes del cociente es 5 .
 a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) 19
15. C onsiderando el sig uiente esquema de H orner:
2 2 1 4 b1 b2
1
3
b3 b4 b5 1 1
 calcular: b1 + b2 + b3 + b4 + b5
 a) 10 b) -11 c) 12 
d) -13 e) 14
16. L a sig uiente división:
 
x
Ax Bx Cx Dx Ex F
1
5 4 3 2
+
+ + + + +
 se realiza empleando la reg la de fini, o te-
nié ndose el esquema:
A B C D E F
-1 1 3 5 7 9
m n p q r 0
 allar la s ma de coeficientes del di idendo.
 a) -25 b) 50 c) 0 
d) 25 e) -50
17. Si al efectuar la división:
 (6x4 + Ax3 - 14x2 + Bx - 5) : (-5 + x + 2x2)
 se obtuvo como residuo al polinomio (3x + 5), 
calcular: A B 14 + -
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 0
18. H allar el residuo de dividir:
 
( ) ( )
ax b
amx an bm x ap bn x bp3 2
+
+ + + + +
 a) 1 b) -1 c) bn 
d) 2bn e) 0
19. Al efectuar la división: 
x x x
x x x x
3 4
2 7 3 5 1
3 2
5 4 3
+ - +
+ - + +
 se obtiene un residuo de primer g rado. P ro-
porcionar dicho residuo.
 a) 14x + 3 b) 14x - 3
 c) 7(2x + 1) d) 7(2x - 1)
 e) 7(2x + 3) - 20
20. Si: 15x4 + 7x3 + Ax2 + Bx + C se divide en-
tre 5x2 - x + 3, se obtiene un cociente cuyos 
coeficientes an dismin yendo de en a 
partir del principal y un resto 2x + 5. C alcular:
 A B C3 - - -
 a) -3 b) -2 c) -1 
d) 2 e) 3
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COLECCIÓN EL POSTULANTE36
21. L ueg o de dividir: 
x
x x x
3 2
6 19 19 163 2
-
- + -
 hallar la suma del cociente con el residuo.
 a) 2x2 + 5x + 7 b) 2x2 - 5x + 7
 c) 2x2 + 5x - 7 d) 2x2 - 5x - 7
 e) 2x2 + 5x
22. tener la s ma de coeficientes del cociente 
disminuida con el resto de la división:
 
x
x x x
2 1
2 1 3 33 2
+
+ - - +^ h
 a) 5 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 1
23. C alcular (m + 2n), si el resto de:
 
x x
x x mx n
2 3
4
2
4 2
+ -
- + + es: 2x + 5
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
24. Si el cociente de dividir: 
x
x x x
2 5
6 13 3 33 2
-
- - -
 es de la forma mx2 + nx + p, calcular: 
 mn + p + (n + p)m
 a) 8 b) 12 c) 14 
d) 17 e) 57
25. Si el residuo de la división:
 
x x
x x x x ax b
1
2 3 4
2
2 3 4 5
- -
+ + + + + 
 es R(x) = 26x + 17, hallar la alternativa correcta.
 a) a = b b) a + b = 0 c) ab = 0
 d) a + b = 1 e) a + b + 1 = 0
26. C alcular a y b, si al efectuar la sig uiente división:
 
x x
ax bx x x x
3 2
2 11 6
2
5 4 3 2
+ -
+ + - - + el residuo es 
idé nticamente nulo.
 a) 12 y -2 b) 10 y 2 c) -10 y 8
 d) 8 y - 12 e) 6 y -6
27. C uál es el valor de m para que la división:
 
( ) ( )
x a
x m a x a mx a
1
1 13 2 2
- +
+ - + + - posea resi-
duo idé nticamente nulo.
 a) 1 b) a c) -a 
d) a + 1 e) -1
28. Si la división indicada:
 
a b x b a
a b x ab b x abx b ab2 2 4 22 2 3 2 2 2
+ + -
- + - + + -
^
^ ^
h
h h
 es exacta, hallar: (a2 + b2)(ab)-1a) 0 b) 1 c) -1 
d) 0,5 e) -0,5
29. El esquema:
 
2 a0 -5 2 a1 a2
a3 -6 a4 a5 3 -12
a6 a7 a8 a9 a10 a11
 corresponde a la división de dos polinomios 
por la re la de fini. tener: a0 + a4 + a8
 a) 8 b) 11 c) 5 
d) 0 e) 3
30. Al efectuar la división:
 ( ) ( ) ( )
x
ax bx c a x a b x b a x a
1
5 4 3 2
-
+ + - + - + - +
 el resto e se o tiene es . Se alar la s ma 
de coeficientes del cociente.
 a) 15 b) 21 c) 27 
d) 36 e) 45
1. d 7. d 13. e 19. a 25. a
2. b 8. d 14. d 20. a 26. a
3. b 9. d 15. b 21. d 27. e
4. b 10. b 16. e 22. e 28. b
5. c 11. e 17. b 23. c 29. b
6. d 12. d 18. e 24. d 30. c
C
l
a
v
e
s
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periódico
810 pp.
16,5 × 21,5 cm
Textos que te ayudarán a 
familiarizarte con los diversos 
tipos de preguntas propuestas en 
los exámenes de admisión a las 
universidades de nuestro país, con 
métodos de solución prácticos y 
didácticos.
Exámenes 
de Admisión
Solucionarios
S/22
S/29
S/36 S/19
BANCO DE EJERCICIOS34
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 
www.editorialsanmarcos.com
FACTOR ALGEBRAICO
Se dice que N (x) es un factor alg ebraico de P (x) 
de g rado n $ 1; si existe un polinomio M (x) tal que 
P (x) = N (x)M (x), es decir, N (x) es un factor de P (x) 
si la división de P (x) entre N (x) es exacta.
E j e m p l o s :
 x = (x + 1)(x + 3)
 Sus factores alg ebraicos son: x + 1; x + 3; 
 (x + 1)(x + 3)
 x = (x + 3)(x + 4)(x + 6)
 Sus factores son: x + 3; x + 4; x + 6;
 (x + 3)(x + 4), (x + 3)(x + 6); (x + 4)(x + 6); 
 (x + 3)(x + 4)(x + 6)
T e o r e m a
D ado el polinomio mónico: P (x) = (x + a) (x + b)
El nú mero de factores alg ebraicos es: ( + 1)( + 1)
Nota:
N o se considerará como factor a la unidad o 
cualquier constante.
P o l i n o m i o r e d u c t i b l e . U n polinomio P de g rado 
n $ 1 es reductible en un campo numé rico si el po-
linomio se puede descomponer sobre este campo 
en la multiplicación de dos polinomios de g rado 
menores que n.
E j e m p l o :
P (x) = x2 - 3
P (x) es reductible en R, es decir:
P (x) = x x3 3+ -^ ^h h
P o l i n o m i o i r r e d u c t i b l e . U n polinomio de g rado n 
(n $ 1) es irreductible sobre un campo si en cual-
quiera de sus descomposiciones uno de ellos es 
de g rado cero y el otro de g rado n.
E j e m p l o s :
 x = 3x + 12
 Se transforma en P (x) = 3(x + 4)
 ̀P (x) es primo en Q y R
 N (x) = x2 + n; (n 2 0)
 N (x) es primo en Q y R
 R(x) = x2 + p, p 1 0; p no es cuadrado perfecto 
 Entonces R(x) es primo en Q
P r o p i e d a d e s d e l o s p o l i n o m i o s i r r e d u c t i b l e s e n 
u n c a m p o n u m é r i c o
 odo polinomio de primer g rado es irreductible.
 Si el polinomio es irred cti le lo es tam i n 
cualquier polinomio cP donde c es un elemen-
to de dicho campo (c ! 0).
FACTORIZACIÓN
F actoriza r un polinomio de g rado n (n ! 2) reducti-
ble sobre un campo numé rico, es un procedimien-
to que consiste en transformar dicho polinomio, 
en una multiplicación indicada de factores primos 
sobre un campo numé rico.
E j e m p l o :
F actorice P (x) = x4 - 1 en Q
Resolución:
Aplicando diferencia de cuadrados:
P (x) = (x2 + 1)(x2 - 1)
& P (x) = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1)
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
C r i t e r i o d e l f a c t o r c o m ú n . C onsiste en buscar 
factores comunes a todos los té rminos de un po-
linomio para lueg o extraerlos.
E j e m p l o s :
 F actorice:
 P (x; y) = 4x2y + 5xy2 + xy = x(4xy + 5y2 + y)
 P (x; y) = xy(4x + 5y + 1)
 L ueg o el polinomio presenta 3 factores pri-
mos: x; y; 4x + 5y + 1
 F actorice:
 x y = (x + 3)y + (x + 3)x + (x + 3)
 x y = (x + 3)(y + x + 1)
 L ueg o, el polinomio presenta dos factores pri-
mos: (x + 3), (y + x + 1)
FACTORIZACIÓN
35ÁLGEBRA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 
www.editorialsanmarcos.com
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COLECCIÓN EL POSTULANTE38
ru a iones. C onsiste en ag rupar té rminos con-
venientemente tratando que aparezc a alg ú n factor 
comú n.
E j e m p l o s :
 actorice:
 P (x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y
 P (x; y; z) = x(x + y) + z( x + y) + (x + y)
 P (x; y; z) = (x + y)[ x + z + 1]
 L ueg o, el polinomio presenta dos factores pri-
mos: (x + y); [ x + z + 1]
 actorice:
 P (a; b; c) = a2 + ab + ac + a3 + a2b + a2c
 P (a; b; c) = a(a + b + c) + a2(a + b + c)
 P (a; b; c) = (a + b + c)[ a + a2] 
 P (a; b; c) = (a + b + c)a(1 + a)
 L ueg o, el polinomio presenta tres factores pri-
mos: (a + b + c); a; (1 + a)
I d e n t i d a d e s . P or identidades alg ebraicas.
E j e m p l o s :
 actorice:
 P (a; b; c) = a2 + b2 + c2 + a + 2ab + b + 2ac + 
c + 2bc 
 P (a; b; c) = (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac) +
 (a + b + c) 
 P (a; b; c) = (a + b + c)2 + (a + b + c) . 1 
 P (a; b; c) = (a + b + c)(a + b + c + 1)
 L ueg o, el polinomio presenta dos factores pri-
mos: (a + b + c); (a + b + c + 1)
 actori ar:
 P (x; y) = x4 + 2x2y2 + y4 - (x2 + y2)(1 + y2)
 P (x; y) = (x2 + y2)2 - (x2 + y2)(1 + y2)
 P (x; y) = (x2 + y2) [ x2 + y2 - 1 - y2]
 P (x; y) = (x2 + y2)2 [ x2 - 1]
 P (x; y) = (x2 + y2)(x + 1)(x - 1)
 L ueg o, el polinomio presenta tres factores pri-
mos: (x2 + y2); (x + 1); (x - 1)
s a sim le. F orma g eneral de polinomio a fac-
toriz ar.
P (x; y) = Ax2n + Bxnym + C y2m
P (x) = Ax2n + Bxn + C
D onde: m; n ! N
P r o c e d i m i e n t o : se descompone los extremos tra-
tando de buscar el té rmino central.
P (x; y) = Ax2n + Bxnym + C y2m
 a1xn c1ym a2c1xnym
 a2xn c2ym a1c2xnym
 Bxnym (té rmino central)
D onde: Bxnym = (a2c1 + a1c2)xnym
L ueg o: P (x; y) = (a1xn + c1ym)(a2xn + c2ym)
 
Nota:
 x = ax2 + bx + c; a ! 0 / a; b; c ! Q es 
factoriza ble en Q + b2 - 4ac es un cuadra-
do perfecto.
 x = ax2 + bx + c; a ! 0 / a; b; c ! R es 
factoriza ble en R + b2 - 4ac $ 0
E j e m p l o s :
 x = x2 + 5x + 1
 Analiza ndo el discriminante se tiene:
 T= 52 - 4(1)(1) $ 0
 ̀P (x) es factoriz able en R; pero primo en Q
 x = 2x2 + 3x + 1
 Analiza ndo el discriminante
 T = 32 - 4(2)(1) & T = 1
E j e m p l o s :
 actori ar:
 P (x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2
 3x 2y 2xy
 x +6y 18xy (+)
 20xy
 L ueg o: P (x; y) = (3x + 2y)(x + 6y), el polino-
mio presenta dos factores primos.
 actorice:
 P (x) = 14x2 - 3x - 11
 14x 11 & 11x
 x -1 & -14x (+)
 -3x
 L ueg o:
 P (x) = (14x + 11)(x - 1)
 El polinomio presenta dos factores primos.
s a doble.