MATRICES - TEORIA

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MATRICES
Lic. Ch. Jhon Mamani Mayta
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO - CEPRU 
MATRICES
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas columnas
y encerrados entre corchetes o paréntesis, es decir de la forma:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO - CEPRU 
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1 2 3
a a a ... a ... a
a a a ... a ... a
a a a ... a ... a
.
.
.
a a a ... a ... a
.
.
.
a a a ... a ... a
j n
j n
j n
i i i ij in
m m m mj mn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde los diversos números distribuidos en
filas y columnas se denominan elementos o
componentes de la matriz.
1 3 5
En la matriz siguiente: sus elementos son : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
2 4 6
Ejemplo :
 
 
 
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ORDEN O DIMENSION DE UNA MATRIZ: El “orden, dimensión o tamaño” de una matriz
es la multiplicación indicada del numero de filas por el numero de columnas de la matriz
Ejemplo: En la matriz dada:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
......
......
......
.
.
.
......
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Filas
Columnas
m n orden de la matriz 
La matriz tiene m filas y n columnas, por lo tanto la matriz es de orden mxn (m por n)
1 4 8
En la matriz dada: 
5
:
3 7
Ejemplo
 
 
 
se tiene 2 filas 3 columnas entonces la matriz es de orden 2 3y 
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NOTACION: A las matrices usualmente se denota por letras mayúsculas A,B,C,..etc. y a sus
elementos con letras minúsculas a ; b ; c ;..etcij ij ij
Ejemplo: Las siguientes matrices se escriben así.
11 12 13 11 12
11 12 13
21 22 23 21 22
21 22 23
31 3231 32 33
a a a c
 b b
a a a ; B ; C c
 b b
 ca a a
c
b
A c
b
c
   
    = = =     
     
ij
ij m n
Frecuentemente tambien a una matriz se denota por: A= a ;
donde a son sus elementos.

 
 
3 2
Escribir la E matriz :jemplo: A= a ij 
 
 
11 12
21 22
31 32 3 2
a a
En efecto: A= a a ; 3 filas , 2 columnas
a a

 
 
 
  
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EJEMPLO:
35El elemento de la matriz A, corresponde a la tercera fila y la quinta columna.a
32
21
23
1 3 5 8
: 6 1 4 6 ,es una matriz de orden 3 4
6 0 7 9
 elemento 0
 6
 4 y asi sucesivamente
Si A
El a es
a es
a es
 
 = 
 
  
OBSERVACION: Una matriz no tiene valor numérico, es simplemente una manera conveniente
de representar arreglos de números.
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MATRIZ FILA
11 12 1
min , :
, .
1 n
a a ... a n
A la matriz de orden se les deno a matriz fila es decir en la forma siguiente
tambien se le conoce con el nombre de vector fiA la

=   
MATRIZ COLUMNA
11
21
1
min ,
, .
n 1
a
a
.
.
.
a n
A la matriz de orden se les deno a matriz columna es decir en la forma
tambien se le conoce con el nombre de vector columnaA

 
 
 
 
=
 
 
 
  
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IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y sus
elementos correspondientes son iguales.
Se tiene que: a =b , i,j ij ijA B=  
Ejemplo:
11 12 11 12
21 22 21 22
a a b
: , B , :
a a b
b
Si A entonces
b
   
= =   
   
: : 
 a ij ij
Si A y B no son iguales escribiremos aO siBSERVACION
A B b  
11 11 12 12 21 21 22 22 a a a a A B b b b b=  = = = =  
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TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:
MATRIZ CUADRADA : Se dice que una matriz A es cuadrada cuando el numero de filas es
igual al numero de columnas.
En una matriz cuadrada de orden nxn, la diagonal principal es la línea formada por los elementos
11 22 nna ; a ; ... ; a
Y a la suma de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada se llama traza de la matriz.
11 12
21 22
E
 a a
 Si : A
a a
jemplo:
 
 
=  
 
Es una matriz cuadrada, a su traza denotaremos por T(A) de donde:
( ) 11 22T A =a +a
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11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
: a a a
a a a
Si A
 
 =
 
  
Es una matriz cuadrada su traza es: ( ) 11 22 33T =a a aA + +
11 12 1
21 22 2
1 2
a a ... a
a a ... a
.
: 
.
.
a a ... a
n
n
n n nn
Si A
 
 
 
 
=  
 
 
  
Es una matriz cuadrada su traza es:
( ) 11 22
1
T = a a a ... a
n
ij nn
i j
A
= =
= + + +
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MATRIZ NULA: (CERO) Es aquella matriz cuadrada o rectangular donde todos sus elementos
son nulos:
ij ijm n
A= a es nulo si a 0 ; i,j

  =  
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
.
.
.
0 0 0 ... 0
n
n n


 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
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MATRIZ DIAGONAL :
ij ijn n
Matriz cuadrada que tiene elementos nulos a excepcion de por lo menos un
elemento de la diagonal principal y los elementos fuera de la diagonal principal
son todos iguales acero.
A= a / a =0 ; 

    iji j a 0    
( )
11
22
33
11 22 33
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
. a ;a ;a ;...;a
.
.
0 0 0 ...
nn
nn
a
a
a
A diag
a
 
 
 
 
 = =
 
 
 
 
 
3 0 0
0 0 0
0 0 0
0Por lomenosunelementodelaA diagonal principal es
 
 =
 
 


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MATRIZ ESCALAR :
ij ijn n
Es una matriz diagonal que tiene iguales a sus elementos NO NULOS 
de la diagonal principal.
; i=j
A= a / a = ; 0
0; i j
k
k


     
11 22a = a ... a ; 0nn k k= = = 
O sea que es una matriz de la forma:
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
.
.
0 0 0 ...
k
k
k
A
k
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
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MATRIZ IDENTIDAD o MATRIZ UNITARIA : Es una matriz diagonal en la que se verifica
i
11 2
n
2 33
ij jn
1; i=j
A
1a = a a ... 
= a / a =
0; i
 a
j
nn


  
= = =
  
=

Lo cual denotaremos como:
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
.
.
.
0 0 0 ... 1
n
n n
I

 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR : Una matriz cuadrada cuyos elementos
a = 0, para i < j ij
se llama matriz triangular inferior, es decir:
11
21 22
31 32 33
1 2 3
a
a a
a a a
.
.
0 0 ... 0
0 ... 0
.
... 0
a a a ... an n n nn
A
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR : Una matriz cuadrada cuyos elementos
a = 0, para i > j ij
Se llama matriz triangular superior
11 12 13 1
22 23 2
33 3
a a a ... a
a a ... a
a ..
.
0
0 0
0 0 0 ...
. a
.
.
a
n
n
n
nn
A
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
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Ejemplo
1 2 6
 0 4 3 es una matriz triangular superior
0 0 5
)i
 
 
 
  1 0 0
 2 5 0 es una matriz triangular inferior
6 -1 
)
7
ii
 
 
 
  
4 0 0
 0 5 0 es una matriz diagonal
0 0 7
)iii
 
 
 
  
5 0 0
 0 5 0 es una matriz escalar
0 0 5
)iv
 
 
 
  
1 0 0
 0 1 0 es una matriz unitaria
0 0 1
)v
 
 
 
  
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RELACIONES ENTRE MATRICES
MATRIZ TRANSPUESTA : La transpuesta de una matriz A, es una matriz que se obtiene al
intercambiar las filas por las columnas de la matriz A, de tal manera que la fila i de la matriz se
convierte en la columna i de la matriz transpuesta
A la transpuesta de la matriz A denotaremos por: TA
11 12 1
21 22 2
1 2
...
....
.
:
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
Si A
a a a
 
 
 
 
=  
 
 
  
11 21 1
12 22 2
1 2
...
....
.
.
.
...
m
m
T
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 =  
 
 
  
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Ejemplo
2 4 2
 Si: 1 5 1 
3 -2 
)
0
i A
 
 =
 
  
2 1 3
 A 4 5 -2
2 1 0
t
 
  =
 
  
1 3 5
 Si: 
2 4 
)
 6
ii A
 
=  
 
1 2
 A 3 4
5 6
t
 
  =
 
  
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PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1)
t
I I=
( )2)
t
t
A A=
( )3) ;
t t
kA kA k es un escalar=
( )4)
t t t
A B A B = 
( ) ( )5) Im tan
t t t
AB B A por te=
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MATRIZ SIMETRICA
T
ij ji 
Una matriz cuadrada A es simetrica si y solo si, es igual a su transpuesta.
es decir a = a i,j A=A
Ejemplo:
1 0 1 1 0 1
: 0 2 4 0 2 4
1 4 3 1 4 3
t
Si A A A
   
   
=  = =
   
      
: ,
t
Como A A
entonces A es simetrica
=
OBSERVACION:
➢ Los elementos de la diagonal principal se mantienen fijos y se comportan como un espejo.
➢ La simetría se da porque los elementos que están por encima y por debajo de la diagonal principal
son iguales.
Ejemplo: las matrices siguientes son simétricas
;6
6
3 4 2 1
) 7 ) 2 3 5
9 15 8
4
54
5
i A ii A
−   
   = = − −
   
−      
❑ Toda matriz diagonal (escalar
o identidad) se comporta
como una matriz simétrica.
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MATRIZ ANTISIMETRICA O HEMISIMETRICA :
T
ij ji 
Una matriz cuadrada A es antisimetrica si y solo si, es igual al negativo de su transpuesta.
es decir a = -a i,j A=-A
0 1 0 1 0 1
:
1 0 1
:
0 1 0
t t
iEjempl Ao S A A
− −     
=  = = − = −     −     
: ,
t
Como A A entonces A esuna matriz antisimetrica= −
OBSERVACION:
➢ Los elementos de la diagonal principal son necesariamente ceros.
➢ La antisimetría se da porque los elementos que están por encima y por debajo de la diagonal
principal son opuestos.
.
0 4 1 0 3 7 0 1 1
) 4 0 2 ; ) 3 0 6 ; ) 1 0 1
1 2 0 7 6 0 1 1
:
0
E
A
Las siguientes matrices son antisimetr
i
j ica
i ii A i i
empl
A
o
− −     
     = − = − − = −
     
− − −          
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OPERACIONES CON MATRICES
ADICION DE MATRICES
: , a
,
ij ijm n m n
ij m n
Consideremos dos matrices de orden m n A y B b
la suma de las matrices A y B es otra matriz C c
de orden m n en donde cada elemento de la matriz C es la suma
de los elementos correspondientes de A y B
Definicion
 

    = =   
 =  

, : a ; ,ij ij ijes decir c b i j= + 
tan : a aij ij ij ij ijm n m n m n m n
ij m n
Por lo to A B b b c C
A B c C
   

       + = + = + = =       
  + = = 
OBSERVACION: La suma de matrices se define solamente cuando las matrices tienen el mismo
numero de filas y columnas. Si dos matrices se pueden sumar se llaman conformables respecto
a dicha operación.
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4 5 3 2 6 1
: , : 2 1 0 ; B 4 0 7
3 -1 6 5 3 8
E Calcular A B sijemplo A
   
   + = =
   
      
Solución:
4 5 3 2 6 1
2 1 0 + 4 0 7
3 -1 6 5 3 8
A B
   
   + =
   
      
4+2 5+6 3+1 6 11 4
2+4 1+0 0+7 6 1 7
3+5 -1+3 6+8 8 2 14
   
   = =
   
      
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PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES
, , :Consideremos las matrices A B y C del mismo orden y un escalar entonces
(Cumple con la prop. conmutativa) 1) ,A B B A+ = +
( ) ( ) (Cumple con la prop. Asociativa) 2) ,A B C A B C+ + = + +
( )3) A B A B  + = +
( )4) nula tal que , / matriz nulaExiste una matriz A A A   + = =
( )
5) El inverso aditivo de una matriz es UNICO:
 A+ A = (elemento simetrico)
 
−
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SUSTRACCION DE MATRICES
( )
,
:
1
Consideremos dos matrices A y B del mismo orden entonces la diferencia
de las matrices A y B definiremos por
A B A B− = + −
1 3 7 7 5 -1
: , : 2 4 5 ; B 4 -6 9
4 6 8 2 3 8
E Calcularo A sjemp B Al i
   
   − = =
   
      
( ) ( )
1 3 7 7 5 -1 1 3 7 -7 -5 1
1 2 4 5 1 4 -6 9 2 4 5 -4 6 -9
4 6 8 2 3 8 4 6 8 -2 -3 -8
A B A B
       
       − = + − = + − = +
       
              
1-7 3-5 7+1 -6 -2 8
 2-4 4+6 5-9 -2 10 -4
4-2 6-3 8-8 2 3 0
   
   = =
   
      
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MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
, :Dada una matriz de orden m n y un escalar al producto A se define por 
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
.... ....
. .
. .
. .
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a a a a
a a a a a a
A
a a a a a a
  
  
 
  
   
   
   
   
= =   
   
   
      
,
.
Como cada elementode la matriz A es multiplicada por el producto A es
por consiguiente otra matriz de orden m n
 

3 5 7
: : 2 ;hallar: A
2 4 6
Ej o Si yempl A 
 
= =  
 
3 5 7 6 10 14 6 10 14
2 = 
2 4 6 4 8 12 4 8 12
A A 
     
=  =     
     
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
, , :Sean y dos escalares y A B dos matrices del mismo orden entonces 
( ) ( )1) A A  =
( )2) A B A B   + = +
( )3) A A A   + = +
4) 1 A A =
5) 0 0A =
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MULTIPLICACION DE MATRICES
a ,
,
ij ijm n n r
ij m r
ij
Consideremos la matriz A de orden m n y la matriz B b de orden n r
el producto de la matriz A por la matriz B es otra matriz C c de orden m r
donde c es el producto escalar de la i esima fila por la j esima colu
 

   =  =    
 =  
− − , :mna es decir
1
a ; 1,2,..., ; 1, 2,...,
n
ij ik kj
k
c b i m j r
=
= = =
OBSERVACION: El producto de dos matrices AB esta definido solo cuando el numero de
columnas de la matriz A es igual al numero de filas de la matriz B.
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EJEMPLO.
1 2 3 2 0
 AB si: A 4 5 6 , B 1 2 
0 1 0 0 1
Calcular   
   = =
   
      
Solución:
   
   
   
2 0
1 2 3 1 1 2 3 2
0 1
1 2 3 2 0 2 0
AB 4 5 6 1 2 = 4 5 6 1 4 5 6 2
0 1 0 0 1 0 1
2 0
0 1 0 1 0 1 0 2
0 1
    
    
   
      
       
       = 
       
              
   
   
   
      
2 2 0 0 4 3 4 7
8 5 0 0 10 6 13 16
0 1 0 0 2 0 1 2


 
 
  + + + +   
 
   = + + + + = 
   
  + + + +      
 
 
 
 
 
OBSERVACION: B.A no esta definido de acuerdo a la observación.
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
( )1) AB BA No necesariamente cumple con la propiedad conmutativa
( ) ( ) ( )m n n p p q m n n p p q2) A B C A B C Asociativa      = 
( ) ( )3) DistributivaA B C A B A C + =  + 
( )4) B C A B A C A+ =  + 
( ) ( )5) , .k AB A kB k es un escalar=
6) Si AB=BA ; entonces se dice que A y B son matrices conmutativas
 (conmutables o permutables)
7) Si AB=-BA ; entonces se dice que A y B son matrices anticonmutativas
 (anticonmutables no permutables)
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MATRICES IDEMPOTENTES E INVOLUTIVAS:
a) Definición: Una matriz cuadrada A es IDEMPOTENTE si su cuadrado es igual a la
misma matriz, ósea: 2
AA es idempot n te Ae  =
1 1
 
2 2: matriz A= es idempotente.
1 1
 
2 2
E o Ljemp al
 
 
 
 
  
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 + + 
2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 efecto: A =A A= = = =A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 + + 
2 2 2 2 4 4 4 4 2 2
Como A =A A s una idempotente.
En
e matriz
       
       
        
       
              

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b) Definición: Una matriz cuadrada es INVOLUTIVA si su cuadrado es igual a la matriz
identidad, es decir: 2
IA es involuti a Av  =
-1 0
: matriz A= es involutiva.
 0 1
Ejempl Lao
 
 
 
2
2
-1 0 -1 0 1+0 0+0 1 0
 efecto: A =A A= = = =I
 0 1 0 1 0+0 0+1 0 1
Como A =I A s una involutiva.
En
e matriz
       
        
       

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c) Matriz Nilpòtente: Una matriz cuadrada “A” se dice que es NILPOTENTE de índice k, si
su potencia de elevar a algún exponente “k” entero positivo, resulta una matriz nula.
1
 ; donde "0" es la matriz nula; ademas A 0 A 0
kk −
= 
 1 1 3
: Sea la matriz A= 5 2 6
-2 -1 -3
Ejemplo
 
 
 
  
2
3 2
 1 1 3 1 1 3 0 0 0
 efecto: A =A A= 5 2 6 5 2 6 = 3 3 9
-2 -1 -3 -2 -1 -3 -1 -1 -3
 0 0 0
 A =A A= 3 3 9
-1 -1 
En
     
      
     
          

 1 1 3 0 0 0
 5 2 6 0 0 0
 -3 -2 -1 -3 0 0 0
 "A" es una matriz Nilpotente de indice de nilpotencia 3.
     
      =
     
          

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POTENCIA DE UNA MATRIZ:
Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, a la potencia de la matriz definiremos como:
( ) ( )
0
1
2
3
q p
p q p q p q p q
A I
A A
A A A
A A A A
.
.
.
A A A A A
Ademas: A A =A y A = A A
n
+ 
=
=
= 
=  
=     
 =
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MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz cuadrada A se llama ortogonal, si multiplicada por
su transpuesta genera su matriz identidad.
t t
A A A A I =  =
t a b a c 1 0
A A = =I
c d b d 0 1
     
 =      
     
( )
En particular toda matriz ortogonal es invertible
Puesto que de A =A (1) se deduce que la inversa 
 de una matriz ortogonal es tambien una matriz ortogonal
El producto de dos mat
OBSERVACION:
1) 
2) 
3) 
t
t
rices ortogonales es una matriz ortogonal.
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MATRIZ INVERSA: Una matriz cuadrada A, se llama invertible, si existe una matriz cuadrada B
tal que AB = BA = I, entonces a la matriz B se llama inversa de A y se denota por: 1AB
−
=
2 -3
: la inversa de: 
5 -4
Ej Hallaro Aempl
 
=  
 
Solución:
1 a b
Sea A la matriz inversa por calcular. 
c d
−  
=  
 
1
Entonces se tiene: A A I ,de donde 
−
 =
1 2 -3 a b 1 0
A A ,efectuando operaciones 
5 -4 c d 0 1
−      
 = =     
     
2a-3c 2b-3d 1 0
 ,por igualdads se tiene:
5a-4c 5b-4d 0 1
   
=   
   
1
4 3
- 
7 7
A
5 2
- 
7 7
−
 
 
=  
 
  
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PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
1
 I = I1)
−
( )
1
1
 A =A2)
−
−
( )
1 1 1
 AB =B A3)
− − −
( ) ( )
1
1
4 A =) A
t
t
−
−