Ángulos

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MATERIALES DE MATEMATICA PRE U 1 
Geometría 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁNGULOS 
Es aquella figura geométrica 
formada por dos rayos no 
colineales con extremos en común. 
A dichos Mitremos se les denomina 
vértices y a los rayos, lados del 
ángulo 
 
 
 
vértice
Lados
Clasificación 
La medida de sus 
ángulos 
La posición de sus 
lados 
La relación entre 
sus medidas 
Ángulos adyacentes 
complementarios 
 
 
Ángulos adyacentes 
AOB y BOC 
 
 
Ángulo agudo 
 
 
0 90º  

A B
CO
A B
C


  90º+ =
Ángulo recto 
 
 

 90º=
Ángulo obtuso 
 
 

0 180º  =
Ángulos adyacentes 
AOB; BOC y COD 
 
 
A B
C
O D
Ángulos opuestos 
por el vértice AOB y 
MON 
 
 
A
B
M
N
O
 
Ángulos adyacentes 
suplementarios 
 
 
 
  180º+ =
Notación 
La mecida del ángulo 
AOB es  . 
 
 
 

A
BO
Se denota 
m AOB = . 
 
 
 
¡Recuerde que…! 



   360+ + = 
 
 
REYNALDO L. ORTIZ PILCO 
Ángulos 
2 
 
Ángulo geométrico 
Reynaldo RM 01 951533343 
En el gráfico adjunto, 90=
o
m AOD y 
50=
o
m BOC . 
Calcule +m AOB m COD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 20º B) 35º C) 40º 
D) 10º E) 55º 
Resolución 
Dato: 90=
o
m AOD y 50=
o
m BOC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 90m AOB m COD + +  =  
40m AOB m COD  + =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90=  
 
Reynaldo RM 02 951533343 
En el gráfico, calcule  . 
 
 
 
 
 
 
A) 10º B) 30º C) 12º 
D) 15º E) 20º 
Resolución 
Por propiedad 
 
 
 
 
 
 
 30 2 90 +  + =  
3 60 =  
 20 =  
 
 
Reynaldo RM 03 951533343 
En el gráfico, OM es bisectriz del ángulo 
AOB y OB OB es bisectriz del ángulo AOC. 
Calcule m MOC . 

A
B
C
D

2
30
o

2
30
o
50
A
B
C
D
 
 MATERIALES DE MATEMATICA PRE U 3 
Geometría 
 
 
 
 
 
 
 
A) 25º B) 35º C) 40º 
D) 30º E) 50º 
Resolución 
Por propiedad de bisectriz 
 
 
 
 
 
 
 
10 20m MOC =  +  
30m MOC =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m AOM m MOB= 
 
Reynaldo RM 04 951533343 
En el gráfico, OM y ON son bisectrices de 
los m AOB y m COD . Halle x . 
 
 
 
 
 
 
 
A) 120º B) 130º C) 140º 
D) 150º E) 160º 
Resolución 
Dato: OM y ON son bisectrices de los 
m AOB y m COD . 
 
 
 
 
 
 
   100 180 + +  + + =  
   2 2 80 40 + =  + =  
 
Nos piden el valor de x entonces 
  100x = + +  
40 100x =  +  
140x =  
 
 
 
 
 
 
   180+ + =  
 
Reynaldo RM 05 951533343 
B O 
Bisectriz 
 
 
A 
M 
M N 
100° 
x 
O A D 
B C 

 

 
 
 
O
A 
M 
10º 
B 
C 
10
20
A 
M 
10º 
B 
C O
M N 
100° 
x 
O A D 
B C 
 
 
REYNALDO L. ORTIZ PILCO 
Ángulos 
4 
En el gráfico, el BOD es recto y OC es 
bisectriz del AOD . Calcule  . 
 
 
 
 
 
 
 
A) 10º B) 15º C) 18º 
D) 20º E) 24º 
Resolución 
Dato: él BOD es recto y OC es bisectriz 
del AOD 
 
 
 
 
 
 
 
2 3 90 
o
 + = 
5 90
o
 = 
18
o
 = 
 
Reynaldo RM 06 951533343 
A partir del gráfico, OD es bisectriz del 
ángulo EOC. Calcule m AOB . 
 
 
 
 
 
 
 
A) 12º B) 8º C) 20º 
D) 10º E) 15º 
Resolución 
Dato: OD es bisectriz del ángulo EOC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 80
o o
m AOB = − 
10
o
m AOB = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    360+ + + =  
 
Reynaldo RM 07 951533343 
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD, tal que =m AOC m BOD . Calcule 
m AOB
m COD
 
A) 0,5 B) 2 C) 1,5 
D) 0,25 E) 1 
Resolución 
20° 
A 
O 
B 
E D 
C 
20° 
A 
O 
B 
E D 
C 
80º
80º
80º
 
 
 
 


3
A
B
C
DO

3
A
B
C
DO
2
 
 MATERIALES DE MATEMATICA PRE U 5 
Geometría 
Dato: se tienen los ángulos consecutivos AOB, 
BOC y COD, tal que =m AOC m BOD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
m AOB
m COD
 = 
 
 
Reynaldo RM 08 951533343 
El complemento de 30º más el complemento 
de 40º es igual a 10 . Calcule  . 
A) 9º B) 7º C) 11º 
D) 13º E) 6º 
Resolución 
90 
o
Complemento de un = − 
( ) ( )90 30 90 40 10o o o o − + − = 
60 50 10
o o
 + = 
110 10
o
 = 
11
o
 = 
11
o
 = 
 
 
Reynaldo RM 09 951533343 
En el gráfico mostrado, =m BOD m COE 
Calcule m EOF . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 70º B) 55º C) 50º 
D) 60º E) 85º 
Resolución 
Dato =m BOD m COE , entonces 
m BOC m DOE= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60
o
m EOF = 
 
 
Reynaldo RM 10 951533343 
Según el gráfico, 
3 5 10
= =
m AOB m BOC m COD
 
Calcule m AOC . 
 
 
 
 
 
 
30° 
E 
F 
A D 
O 
C 
B 
C 
B 
A O D 
A 
B 
C 
D 
O 


30° 
E 
F 
A D 
O 
C 
B 
30° 
60º
 
 
REYNALDO L. ORTIZ PILCO 
Ángulos 
6 
 
A) 70º B) 55º C) 40º 
D) 64º E) 80º 
Resolución 
Dato: 
3 5 10
m AOB m BOC m COD
k k k
= = 
3
5
10
m AOB k
m BOC k
m COD k
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
3 5 10 180k k k→ + + =  
18 180 10k k→ =  → =  
( )8 10 80m AOC =  =  
 
 
Reynaldo RM 11 951533343 
En el gráfico, 
3 7 2
= =
m AOB m BOC m COD
 
Si OE es bisectriz del ángulo AOC, calcule 
m BOE . 
 
 
 
 
 
 
A) 20º B) 45º C) 25º 
D) 30º E) 50º 
Resolución 
3 7 2
m AOB m BOC m COD
k k k
= = 
 
 
 
 
 
 
3 7 2 180k k k→ + + =  
12 180 15k k→ =  → =  
 
Si OE es bisectriz del ángulo AOC 
( )10 10 15 150AOC k = =  =  
75AOE =  
45AOB =  
75 45 30m BOE =  −  =  
 
 
Reynaldo RM 12 951533343 
Si el suplemento del suplemento del 
suplemento de un ángulo es igual que el triple 
del mismo ángulo, calcule el complemento del 
complemento del ángulo. 
A) 30º B) 45º C) 60º 
D) 20º E) 80º 
Resolución 
3 3  SSS S=  = 
180 3 180 4 45    − =   =  =  
 
Piden el complemento del complemento del 
ángulo. 
 CC = 
45 =  
B
A
E
C
DO
C 
B 
A O D 
3k 
5k 10k 
B
A
E
C
DO
3k 2k
7k
 
 MATERIALES DE MATEMATICA PRE U 7 
Geometría 
 
Reynaldo RM 13 951533343 
En el gráfico mostrado, =m BOE m DOF 
y OC es bisectriz del ángulo AOD. Calcule 
m COD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 30º B) 45º C) 20º 
D) 25º E) 40º 
Resolución 
Dato: =m BOE m DOF y OC es bisectriz 
del ángulo AOD. 
 
 
 
 
 
 
 
45m COD =  
 
 
Reynaldo RM 14 951533343 
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COA, de modo que 
3 4 5
= =
m AOB m BOC m COA
. Calcule 
m BOC . 
A) 120º B) 90º C) 150º 
D) 75º E) 60º 
Resolución 
Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COA 
Dato: 
3 4 5
m AOB m BOC m COA
k k k
= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4 5 360k k k + + =  
12 360 30k k =   =  
 
Nos pide: 4m BOC k= 
( )4 30 120m BOC =  =  
 
 
Reynaldo RM 15 951533343 
El suplemento del complemento de un ángulo 
excede en 80º al complemento del mismo 
ángulo. Calcule el suplemento del ángulo. 
A) 140º B) 60º C) 40º 
D) 80º E) 100º 
Resolución 
  80SC C − =  
( ) ( ) 180 90 90 80 −  − −  − =  
 180 90 90 80 −  + −  + =  
 2 80 40 =   =  
 
Nos piden el suplemento del ángulo. 
40 180 40S  = −  
40 140S   =  
 
 
O A
B
C
D
E
F


O
O A
B
C
D
E
F


O
A
B
C
O
4k
5k
3k
 
 
REYNALDO L. ORTIZ PILCO 
Ángulos 
8 
 
1 C 5 C 9 D 13 B
2 E 6 D 10 E 14 A
3 D 7 E 11 D 15 A
4 C 8 C 12 B