Inecuaciones racionales con variable en el denominador

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
 FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
 MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
INECUACIONES RACIONALES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR 
Algunos ejemplos de este tipo de inecuaciones son: 
𝟒 ≥
𝟐
𝒙 + 𝟏
 
𝟏
𝒙
< 𝟓 
𝟐
𝒙
+ 𝒙 ≥
𝒙
𝒙 + 𝟏
 
 
Una forma de resolver estas inecuaciones es proceder de la siguiente manera: 
1. Se trasladan todos los términos a un solo miembro de la desigualdad. 
2. Se suman o se restan las fracciones para transformarlas (el símbolo de la desigualdad 
puede ser también transformado). 
3. Se factoriza (si es posible) el numerador y el denominador. 
4. Luego se encuentran las raíces de cada uno de los factores, tanto del numerador como 
del denominador. 
5. Posteriormente se construye un cuadro de variación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Resolver la inecuación 
𝟑
𝒙
≤ 𝟐 
Solución: 
𝟑
𝒙
≤ 𝟐 
Notemos que: 𝒙 puede tomar valores positivos 
y negativos. 
Si trasladamos a multiplicar la 𝒙 al miembro 
derecho habrá que considerar los dos casos, es 
decir, primero suponiendo que 𝒙 es positivo y 
después suponiendo que 𝒙 es negativo. 
Resolver la desigualdad de esta manera es un 
poco complicado. 
 
Por esta razón, lo mejor es seguir los pasos que se dieron al inicio. 
Observaciones: 
 En el conjunto solución hay que excluir los valores que hacen cero el denominador. 
 Si al resolver este tipo de inecuaciones, ejecutamos bien los 5 pasos anteriores no 
hay espacio para equivocarnos. 
 
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 MATEMÁTICA I 
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responsabilidad del estudiante. 
 
 
𝟑
𝒙
≤ 𝟐 
Trasladar todo a un solo miembro de la 
inecuación. 
𝟑
𝒙
− 𝟐 ≤ 𝟎 
Hacer una sola fracción, es decir, en este caso 
es efectuando la resta. 
𝟑 − 𝟐𝒙
𝒙
≤ 𝟎 
Factorizar donde se pueda. En este caso ya 
está listo. 
 
Encontrar las raíces de los factores, es decir, 
los valores que hacen cero cada factor. 
𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟎 → 𝟑 = 𝟐𝒙 
𝟑
𝟐
= 𝒙 
Encontremos el valor que hace cero al 
numerador. 
𝒙 = 𝟎 Encontremos el valor que hace cero al 
denominador. 
 
 
Construir el cuadro de variación. 
Resolver 
𝟑
𝒙
≤ 𝟐 equivale a resolver 
𝟑−𝟐𝒙
𝒙
≤ 𝟎 y según el cuadro de variación, este cociente es 
menor que cero o negativo en: 
𝑪. 𝑺 = ]−∞, 𝟎 [ ∪ [
𝟑
𝟐
, +∞[ 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Resolver 𝒙 ≥
𝟐
𝒙+𝟏
 
Solución: 
𝒙 ≥
𝟐
𝒙 + 𝟏
 
 
Trasladar todo a un solo miembro. 
Observación: Aunque el símbolo de la desigualdad es ≤ , que nos indica que el cociente es 
menor o es igual a cero, hay que quitar los elementos que hacen “cero” el denominador. 
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𝒙 −
𝟐
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
 
𝒙(𝒙 + 𝟏) − 𝟐
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
 
 
 
Efectuar la suma o resta de fracciones. 
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)
𝒙 + 𝟏
≥ 𝟎 
 
 
Factorizar donde se pueda. 
𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
𝒙 = −𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒙 = −𝟏 
 
 
Encontrar las raíces de los factores 
 
 
 
 
 
 
 
Construir un cuadro de variación 
 
𝑪. 𝑺 = [−𝟐, −𝟏[ ∪ [𝟏, +∞[ 
 
Como la expresión es mayor o igual que cero el -1 hace cero el denominador por eso no se 
coloca en la solución, obsérvese que en -1 está abierto el intervalo.