Matematica II_Calculo de determinante

Vista previa del material en texto

1 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En este Documento de Apoyo se exponen aspectos generales referidos al determinante de 
una matriz y las propiedades que cumple, el cálculo de la matriz inversa utilizando el 
concepto de determinante, y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales desde el punto 
de vista matricial. 
 
Es de fundamental importancia para la compresión de definiciones, propiedades y 
procedimientos, que los estudiantes realicen un análisis detallado de cada ejercicio resuelto. 
Y con la finalidad de complementar y dinamizar el proceso de enseñanza y aprendizaje se 
sugiere la utilización de otros materiales didácticos, como libros, artículos, materiales 
audiovisuales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
UNIDAD IV: Álgebra matricial 
 
1. Determinante de una matriz 
 
2. Matriz inversa 
 
3. Forma matricial de sistemas de ecuaciones lineales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Determinante de una matriz 
 
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛. El determinante de 𝐴, denotado por |𝐴| o también det 𝐴, 
se define de la siguiente manera: 
 
1. Si 𝐴1𝑥1 = [𝑎11], entonces |𝐴| = 𝑎11 
2. Si 𝐴2𝑥2 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
], entonces |𝐴| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 
3. Si 𝐴3𝑥3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
], entonces |𝐴| = 𝑎11𝐴
11 + 𝑎12𝐴
12 + 𝑎13𝐴
13 
 
Donde 𝐴𝑖𝑗 se llama cofactor y se define como 
 
Entonces |𝐴| = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| + 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
 
Para calcular este valor se puede usar cualquier fila o columna. La forma antes expuesta 
para encontrar el determinante se llama método de menores. Sin embargo, existen otros 
métodos que podrían emplearse. 
 
Ejemplo 1. Calcular el determinante de la matriz 𝐴, 
 
𝐴 = [
2 1 4
3 5 −1
1 0 0
] 
Solución: 
 
Para calcular el determinante es mejor utilizar la última fila porque tiene algunos ceros, 
lo cual hace más rápido el cálculo: 
 
|𝐴| = 1 |
1 4
5 −1
| − 0 |
2 4
3 −1
| + 0 |
2 1
3 5
| 
|𝐴| = 1[(1)(−1) − (4)(5)] − 0 + 0 
|𝐴| = −21 
 
4 
 
Ejemplo 2. Calcular el determinante de la matriz 𝐴, 
 
𝐵 = [
1 0 3 3
2 3 2 3
1 2 1 2
3 2 5 0
] 
Solución: 
 
Para calcular el determinante en esta ocasión se utiliza la fila 1, 
 
 
|𝐴| = 1 |
3 2 3
2 1 2
2 5 0
| − 0 |
2 2 3
1 1 2
3 5 0
| + 3 |
2 3 3
1 2 2
3 2 0
| − 3 |
2 3 2
1 2 1
3 2 5
| 
|𝐴| = 1[3(−10) − 2(−4) + 3(8)] − 0 + 3[2(−4) − 3(−6) + 3(−4)]
− 3[2(8) − 3(2) + 2(−4)] 
|𝐴| = 1(2) − 0 + 3(−2) − 3(2) 
|𝐴| = −10 
 
Propiedades 
 
Sean 𝐴𝑛𝑥𝑛 y 𝐵𝑛𝑥𝑛 matrices, entonces: 
 
1. |𝐴𝐵| = |𝐴||𝐵| 
2. |𝐴𝑡| = |𝐴| 
3. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal, entonces su 
determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. 
4. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o bien, una fila o columna es múltiplo 
de otra, entonces su determinante es igual a cero. 
5. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz, entonces su determinante cambia 
de signo. 
6. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz 𝐴 los multiplicamos por 
una constante 𝑘 ≠ 0, entonces el determinante de la nueva matriz es 𝑘 veces el 
determinante de la matriz 𝐴. 
7. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz 𝐴 les sumamos 
respectivamente 𝑘 veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. Matriz inversa 
 
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛. Si existe una matriz 𝐴−1 también 𝑛𝑥𝑛 tal que 
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼, entonces se dice que 𝐴 es inversible. En este caso a la matriz 𝐴−1 se 
le denomina matriz inversa de 𝐴. 
 
Si 𝐴−1 existe, entonces se dice que 𝐴 es una matriz no singular. Caso contrario, es decir 
que Si 𝐴−1 no exista, se dice que 𝐴 es una matriz singular. 
 
Existen varias formas de calcular matrices inversas, pero aquí sólo se realizará empleando 
la siguiente fórmula: 
 
𝐴−1 =
1
|𝐴|
(𝐴𝐶)
𝑡 
 
Donde 𝐴𝐶 es la matriz de cofactores de 𝐴. 
 
Esto da lugar al siguiente teorema (una condición necesaria y suficiente para la existencia 
de la matriz inversa): 𝐴−1 existe si y sólo sí |𝐴| ≠ 0. 
 
Ejemplo 1. En el caso que exista, determinar la inversa de la matriz dada, 
 
𝐴 = [
−1 3
4 −5
] 
Solución: 
 
Al calcular |𝐴| se obtiene: 
 
|𝐴| = (−1)(−5) − (3)(4) 
|𝐴| = −7 
 
Este resultado indica que la matriz 𝐴 es inversible. A continuación, se calcula la matriz 
de cofactores: 
 
𝐴𝐶 = [
𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22
] 
 
 
Recordar que cada cofactor 𝐴𝑖𝑗 se define como 
 
 
6 
 
 
Calculando cada cofactor: 
 
𝐴11 = (−1)1+1(−5) = −5 
𝐴12 = (−1)1+2(4) = −4 
𝐴21 = (−1)2+1(3) = −3 
𝐴22 = (−1)2+4(−1) = −1 
Por tanto, la matriz de cofactores es la siguiente: 
 
𝐴𝐶 = [
−5 −4
−3 −1
] 
 
La inversa de la matriz 𝐴 se calcula de la siguiente forma: 
 
𝐴−1 =
1
|𝐴|
(𝐴𝐶)
𝑡 
𝐴−1 =
1
−7
 [
−5 −4
−3 −1
]
𝑡
 
𝐴−1 =
1
−7
[−5 −3
−4 −1
] 
𝐴−1 = [
5 7⁄ 3 7⁄
4 7⁄ 1 7⁄
] 
Comprobando 
𝐴𝐴−1 = [
−1 3
4 −5
] [
5 7⁄ 3 7⁄
4 7⁄ 1 7⁄
] 
𝐴𝐴−1 = [
(−1)(5 7⁄ ) + (3)(4 7⁄ ) (−1)(3 7⁄ ) + (3)(1 7⁄ )
(4)(5 7⁄ ) + (−5)(4 7⁄ ) (4)(3 7⁄ ) + (−5)(1 7⁄ )
] 
𝐴𝐴−1 = [
−5 7⁄ + 12 7⁄ −3 7⁄ + 3 7⁄
20 7⁄ − 20 7⁄ 12 7⁄ − 5 7⁄
] 
𝐴𝐴−1 = [
1 0
0 1
] = 𝐼 
 
 
7 
 
Ejemplo 2. En el caso que exista, determinar la inversa de la matriz dada, 
 
𝐴 = [
1 0 2
0 3 1
2 −1 0
] 
 
Solución: 
 
Al calcular |𝐴| se obtiene: 
 
|𝐴| = (1)(0 + 1) − (0)(0 − 2) + (2)(0 − 6) 
|𝐴| = (1)(1) − (0)(−2) + (2)(−6) 
|𝐴| = −11 
Como el determinante es diferente de cero resulta que la matriz 𝐴 es inversible. Y 
continuación se procede a calcular la matriz de cofactores: 
 
𝐴𝐶 = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] 
 
Calculando cada cofactor: 
 
𝐴11 = (−1)1+1 |
3 1
−1 0
| = 1 
𝐴12 = (−1)1+2 |
0 1
2 0
| = 2 
𝐴13 = (−1)1+3 |
0 3
2 −1
| = −6 
𝐴21 = (−1)2+1 |
0 2
−1 0
| = −2 
𝐴22 = (−1)2+2 |
1 2
2 0
| = −4 
𝐴23 = (−1)2+3 |
1 0
2 −1
| = 1 
𝐴31 = (−1)3+1 |
0 2
3 1
| = −6 
𝐴32 = (−1)3+2 |
1 2
0 1
| = −1 
𝐴33 = (−1)3+3 |
1 0
0 3
| = 3 
 
 
 
8 
 
Luego, la matriz de cofactores es la siguiente: 
 
𝐴𝐶 = [
1 2 −6
−2 −4 1
−6 −1 3
] 
 
Seguidamente, se aplica la fórmula para calcular la inversa de la matriz 𝐴: 
 
𝐴−1 =
1
|𝐴|
(𝐴𝐶)
𝑡 
𝐴−1 =
1
−11
 [
1 2 −6
−2 −4 1
−6 −1 3
]
𝑡
 
𝐴−1 =
1
−11
[
1 −2 −6
2 −4 −1
−6 1 3
] 
𝐴−1 =
1
11
[
−1 2 6
−2 4 1
6 −1 −3
] 
Comprobando 
𝐴𝐴−1 = [
1 0 2
0 3 1
2 −1 0
]
1
11
[
−1 2 6
−2 4 1
6 −1 −3
] 
𝐴𝐴−1 =
1
11
[
11 0 0
0 11 0
0 0 11
] 
𝐴𝐴−1 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
Propiedades 
 
Sean 𝐴𝑚𝑥𝑛 y 𝐵𝑚𝑥𝑛 matrices inversibles, entonces: 
1. (𝐴−1)−1 = 𝐴 
2. |𝐴−1| =
1
|𝐴|
 
3. (𝐴−1)𝑡 = (𝐴𝑡)−1 
4. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 
 
 
 
9 
 
3. Forma matricial de sistemas de ecuaciones lineales 
 
Dado un sistema de ecuaciones lineales de 𝑚 ecuaciones con 𝑛 variables 
 
 
 
Los coeficientes del lado izquierdo del sistema se pueden expresar de forma matricial de 
la siguiente forma: 
 
 
Las variables del sistema, y las constantes del lado derecho, en forma matricial se 
expresan así: 
 
 
 
Luego, el sistema de ecuaciones inicial, expresado en forma matricial sería el siguiente: 
 
 
10 
 
 
𝐴𝑋 = 𝐵 
 
Ejemplo 1. Expresar el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial, 
 
{
2𝑥 − 3𝑦 = 7
4𝑥 + 𝑦 = 21
 
 
Solución: 
 
El sistema consta de dos ecuaciones lineales simultáneas en las variables 𝑥 y 𝑦. Se tiene 
el siguiente producto de matrices: 
 
[
2 −3
4 1
] [
𝑥
𝑦] = [
2𝑥 −3𝑦
4𝑥 + 𝑦
] 
 
Pero de las ecuaciones simultáneas dadas, tenemos la igualdad siguiente: 
 
[
2𝑥 −3𝑦
4𝑥 + 𝑦
] = [
7
21
] 
 
Por consiguiente, 
[
2 −3
4 1
] [
𝑥
𝑦] = [
7
21
] 
 
 
 
 
 
11 
 
Ejemplo 2. Exprese el sistema de ecuaciones siguiente en formamatricial 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 7
4𝑦 = 2 + 5𝑧
−2𝑥 + 3𝑧 + 6 = 0
 
 
Solución: 
 
Primero se debe ordenar el sistema de ecuaciones lineales, 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 7
4𝑦 − 5𝑧 = 2
−2𝑥 + 3𝑧 = −6
 
Luego, 
 
𝐴 = [
2 3 4
0 4 −5
−2 0 3
] 𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] y 𝐵 = [
7
2
−6
] 
 
El sistema dado puede escribirse en la forma AX = B, 
 
[
2 3 4
0 4 −5
−2 0 3
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
7
2
−6
] 
 
 
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones entre filas 
 
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 mediante operaciones entre filas 
se debe realizar lo siguiente: 
 
1. Formar la matriz aumentada del sistema, denotada por [𝐴|𝐵] 
2. Realizar operaciones entre filas en [𝐴|𝐵] para llevarla a la forma [𝐼|𝐶], donde 𝐼 es la 
matriz identidad. 
3. Realizar las sustituciones correspondientes para determinar los valores de las 
variables. 
 
Las operaciones entre filas o renglones que se pueden realizar de la matriz aumentada 
son las siguientes: 
 
a. Intercambio de dos filas. 
b. Multiplicación o división de una fila por una constante distinta de cero. 
c. Adición (o sustracción) de un múltiplo constante de una fila a (o de) otra fila. 
 
12 
 
Ejemplo 1. Resolver el sistema de ecuaciones, utilizando operaciones entre filas 
 
{
3𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥 + 3𝑦 = 5
 
 
Solución: 
 
Primeramente, se forma la matriz aumentada: 
 
[
3 −2
1 3
 | 
4
5
] 
Luego se procede realizar las operaciones entre filas: 
 
Intercambiar la primera y segunda fila (𝑅1 ⟷ 𝑅2): 
 
[
1 3
3 −2
 | 
5
4
] 
Multiplicar por (−3) a la primera fila y sumar a la segunda fila (−3𝑅1 + 𝑅2): 
 
[
1 3
0 −11
 | 
5
−11
] 
Multiplicar la segunda fila por −1 11 ⁄ (
−1
11
𝑅1): 
 
[
1 3
0 1
 | 
5
1
] 
Multiplicar la segunda fila por −3 y sumar a la primera fila (−3𝑅2 + 𝑅1): 
 
[
1 0
0 1
 | 
2
1
] 
Esta última matriz aumentada ya tiene la forma [𝐼|𝐶], por tanto la solución del sistema 
es el siguiente: 𝑥 = 2, 𝑦 = 1. 
 
Ejemplo 2. Resolver el sistema de ecuaciones, utilizando operaciones entre filas 
 
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 13
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4
3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −4
 
 
 
 
 
13 
 
Solución: 
 
Primeramente, se forma la matriz aumentada: 
 
[
2 −3 4
1 1 2
3 5 −1
 | 
13
4
−4
] 
 
Seguidamente se inicia a realizar las operaciones entre filas: 
 
Intercambiar la primera y segunda fila (𝑅1 ⟷ 𝑅2): 
 
[
1 1 2
2 −3 4
3 5 −1
 | 
4
13
−4
] 
 
Multiplicar por (−2) a la fila 1 y sumarle la fila 2 (−2𝑅1 + 𝑅2): 
 
[
1 1 2
0 −5 0
3 5 −1
 | 
4
5
−4
] 
 
Multiplicar por (−3) a la fila 1 y sumarle la fila 3 (−3𝑅1 + 𝑅3): 
 
[
1 1 2
0 −5 0
0 2 −7
 | 
4
5
−16
] 
 
Multiplicar la segunda fila por −1 5 ⁄ (−
1
5
𝑅2): 
 
[
1 1 2
0 1 0
0 2 −7
 | 
4
−1
−16
] 
 
Al realizar de forma simultanea (−𝑅2 + 𝑅1) y (−2𝑅2 + 𝑅3), se obtiene: 
 
[
1 0 2
0 1 0
0 0 −7
 | 
5
−1
−14
] 
Multiplicar la fila 3 por −1 7 ⁄ (−
1
7
𝑅3): 
 
[
1 0 2
0 1 0
0 0 1
 | 
5
−1
2
] 
 
 
14 
 
Multiplicar por (−2) a la fila 3 y sumarle la fila 1 (−2𝑅3 + 𝑅1): 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 | 
1
−1
2
] 
 
Esta última matriz aumentada ya tiene la forma [𝐼|𝐶], por tanto la solución del sistema 
es el siguiente: 𝑥 = 1, 𝑦 = −1, 𝑧 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemática aplicada a la administración y a la economía. 
México: Pearson Educación. 
 Edwards, C. y Penney, D. (1996). Cálculo con Geometría Analítica. México: Prentice 
Hall Hispanoamericana, S.A. 
 Haeussler, F., Ernest J. (2003). Matemáticas para administración y economía. México: 
Pearson Educación. 
 Margaret L. Lial, Thomas W. Hungerford. Matemáticas para administración y 
economía: en las ciencias sociales, naturales y de administración. México: Pearson 
Educación. 
 Muñoz, A., Santos, J. (2002). Problemas de Matemáticas para Economía, 
Administración y Dirección de empresas. España: Editorial Universitas. 
 Weber, J. (1983). Matemáticas para Administración y Economía. México: Harla. 
 Tan, S. (2012). Matemáticas Aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y la vida. 
México: Cengage Learning.