ALGEBRA4

Vista previa del material en texto

ÁLGEBRA 4° 
 
TEORÍA DE EXPONENTES 
 
Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de operaciones de potenciación y 
radicación. 
POTENCIACIÓN 
an = P a: base, a  R 
 n: exponente n  Z 
 P: potencia P  R 
DEFINICIONES 
1. Exponente Natural 
  
vecesn
n x....... . . . . . . . . ..x.xx  ;  x  R  n  Z+ 
2. Exponente Cero x0 = 1 ;  x  R – { 0 } 
3. Exponente Negativo 
n
n
x
1
x  ; ;  x  R – {0}  n  Z+ 
 
TEOREMAS 
I) BASES IGUALES 
1. Multiplicación am . an = am+n 
 
2. División nm
n
m
a
a
a  ;  a  0 
 
II) EXPONENTES IGUALES 
1. Multiplicación an . bn = (ab)n 
 
 
2. División 
n
n
n
b
a
b
a






 ; b  0 
III) EXPONENTE DE EXPONENTE   mnpPnm a)]a([  
RADICACIÓN 
ba
n
 n: es el índice; n  N  n  2 
 a: es el radicando 
 b: es la raíz enésima 
DEFINICIONES 
xyyx n
n
 ; n  N  n  2 
(x  R, además, cuando n es par, x  0) 
nn xx 
1
)( ; n  0 
 
n mmnn
m
x)x()x(  ; n  0 
TEOREMAS 
I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA 
nnn y.xxy  
II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN 
n
n
n
y
x
y
x
 ; y  0 
III) RAÍZ DE RAÍZ 
p.n.mm n p
xx  
 
CASOS ESPECIALES 
 
p.n.m tp.sp.n.rm n p tsr z.y.xz.y.x  
 
p.n.m cp)ban(m n p cba xxxx  
 
ECUACONES EXPONENCIALES 
Son aquellas en las que la incógnita esta como exponente y también como base y exponente a la vez. 
Ejm.: 3x + 3x+1 + 3x+2 = 39 
 x-x = 4 
PROPIEDAD 
1. Si: am = an  m = n ;  a  0, 1, -1 
 
2. ax = bx  a = b  a > 0  b > 0 
Además: Si: x = 0  a  b 
3. Si: xx = aa  x = a 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Simplificar: 
342
55
)4()15()48(
)24()6()10(
E 
 
E = 
(2.5)5(2.3)523.3
(24.3)2.(3.5)4(22)3
 
 
E = 
25.55.25.35.23.3
28.32.34.54.26
 
 
E = 
213.55.36
213.54.36
 = 213−14. 55−4 = 2−1. 5 = 
5
2
 
 
 
a) 5/2 b) 1/6 c) 5/6 d) 4/3 e) 3/8 
 
 
2. Efectuar: 
1
4
1
21
2
31 1 1 1
2 4 125 81
E


  
       
         
       
 
 
E = [
1
2
 (4)2 + (125)
1
3 + (81)
1
4]
−
1
2
 
 
E = [
1
2
 .16 + √125
3
 + √81
4
 ]
−
1
2 
 
E = [8 + 5 + 3]−
1
2 
 
E = [16]−
1
2 
 
E = [
1
16
]
1
2
 
 
E = √
1
16
 
 
E = 
1
4
 = 0.25 
 
 
a) 0.25 b) 1 c) 0.5 d) 4 e) 16 
 
3. Resolver: 
  1 1 34 8 16x x x  
 
(22)𝑥+1. (23)𝑥−1 = (24)𝑥+3 
 
(22)𝑥+1. (23)𝑥−1 = (24)𝑥+3 
 
22𝑥+2. 23𝑥−3 = 24𝑥+12 
 
 25𝑥−1 = 24𝑥+12 
 
 ⇒ 5x – 1 = 4x + 12 
 x = 13 
 
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS: 
4. Simplificar : 
5 3
4 3 2
15 .14 .24
6 .35 .30
J  
a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
5. Calcular:  
3 1
00 2 8
11 4 5
3 5
 
   
       
   
 
a) 0 b) 1 c) -1 d) -6 e) 2 
 
 
6. Efectuar : 
80
1
5
6
3
1
16P




























 
a) 1/2 b) 3 c) 3 d) 2 e) 2 
 
 
7. Hallar “x” en: 
x253x5 22 

 
 
a) 1 b) 3 c) -3 d) 4 e) -1 
 
 
 
8. Resolver: 
  
veces)2n(vecesn
4.......4.48...... . .8.8.8

 
 
a) 4 b) 2 c) 8 d) -8 e) -2