diapo-clase-09

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LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES
• Definición de potencia y signos de esta.
• Multiplicación y división de potencias de igual base.
• Potencia de potencia.
• Potencia de un producto y de un cuociente.
• Multiplicación y división de potencias de igual 
exponente.
• Potencias de exponente cero, negativo y fraccionario
Potencias:
Una potencia es el producto de un número "a" por si 
mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a ∈IR y 
n ∈ Z ; luego: 
a......aaana ⋅⋅⋅⋅=
n veces a
donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el 
producto a obtener es la potencia.
Ejercicios:
Calcular aplicando la definición las siguientes potencias 
indicadas:
8⋅8=64
5⋅5⋅5=125
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32
(a) 82 =
(b) 53 =
(c) (-3)4 =
(d) (-2)5 =
(e) (-12)2 =
(f) 73 =
(g) 44 =
(h) (-3)5 =
(-12)⋅(-12)=144
7⋅7⋅7=343
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)=-243
4⋅4⋅4⋅4 = 256
Notar que:
(c) Si la base es negativa, se indica esta entre 
paréntesis; así:
(a) Si el exponente es par, la potencia es siempre
positiva.
(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el 
signo de la base.
(-5)2 =
(-4)3 =
-52 =
-43 =
(-2)4 = -24 =
En el caso de tener exponente par, podemos ver la 
diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.
(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25
(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16
-1 ⋅ 43 = -1 ⋅ 64 = -64
-1 ⋅ 24 = -1 ⋅ 16 = -16
d) Al calcular y comparar:
i) (3 + 5)2 =
32 + 52 =
ii) (8 - 5)2 =
82 - 52 = 
generalizando, se deduce que: 
( 8 )2 = 64
9 + 25 = 34
( 3 )2 = 9
64 - 25 = 39
≠ ≠
nbnan)ba(
nbnan)ba(
−≠−
+≠+
La potencia de una suma es distinta de una suma de 
potencias, de igual forma la potencia de una resta es 
distinta de una resta de potencias, luego la potenciación 
no es distributiva sobre la adición y sustracción.
Propiedades de las potencias:
1) Para multiplicar potencias de igual base, se 
conserva la base y se suman los exponentes.
Ejemplos: Al calcular:
(a) 23 . 24 =
(b) 5-3 ⋅ 57 =
(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=
(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =
23 + 4 =27= 128
5-3 + 7 = 54= 625
31+ 2+ 3 =36 = 729
(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16
(e) 21/2 ⋅ 25/2 =
nmanama +=⋅
26/2 = 23 = 821/2 + 5/2 =
1
1
(g) (-3)2 ⋅ ⋅ (-3)5 = 81(-3)-3 = (-3)4
(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1
Recíprocamente se tiene que ; luego:namanma ⋅=+
Ejemplos:
(a) 42+3 =
(b) 5x+y+z =
42 · 43
5x ·5y · 5z
(f) . 23 = 256 = 2825
2) Para dividir potencias de igual base, se conserva 
la base y se restan los exponentes.
nmana:ma −=
Ejemplos: Al calcular:
(a) 27 : 24 =
(b) 59 : 55 =
(c) (-3)-2 : (-3)-5 =
(d) (-4)3 : (-4)-2 =
(e) 68/3 : 62/3 =
27 - 4 = 23 = 8
59 - 5 = 54 = 625
(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27
(-4)3 - -2 = (-4)3+2 = (-4)5 = -1.024
68/3 - 2/3 = 66/3 = 62 = 36
(h) (-1)-12 : (-1)-25 =
Recíprocamente se tiene que ; luego:na:manma =−
Ejemplos:
(a) 35 - 2 =
(b) 5x – y - z =
(f) : 43 = 256 = 4447
= (-3)4(g) (-3)2 : = 81(-3)-2
(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1
35 : 32
5x : 5y : 5z
3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva 
la base y se multiplican los exponentes.
nma
nma ⋅=




Ejercicios:
(a) (32)3 =
(b) (x5)4 =
(c) ((a2)3)5 =
(d) (615)1/5 =
(e) (((-3)5)9)1/15 =
(f) ((-1)3)6)7 =
36 = 729
x20
a30
615/5 = 63 = 216
(-3)45/15 = (-3)3 = -27
(-1)126 = 1
4) Un producto elevado a un exponente común, es 
igual al producto de cada uno de los factores 
elevados a tal exponente; en consecuencia la 
potenciación es distributiva sobre la 
multiplicación.
( ) nbnanba ⋅=⋅
Ejercicios:
(a) (2 ⋅ 3)2 =
(b) (-5 ⋅ 2)3 =
(c) (2 ⋅ -4)4 =
(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =
22·32 = 4 · 9 = 36
(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000
24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096
(-2)5·(-3)5·(-1)5 = -32 ·-243 ·-1= -7.776
(e) (-3x2y3)5 =
(f) (2a6b4c3d)7 =
Ejecicios:
(a) 34 . 24 =
(b) x6 . y6 =
(3 · 2)4 = 64 = 1.296
(x·y)6 = (xy)6
27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7
(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15
Recíprocamente se tiene que ; luego 
se deduce que para multiplicar potencias de igual 
exponente, se eleva el producto de las bases al 
exponente común.
n)ba(nbna ⋅=⋅
(c) 44 ⋅ (-5)4 =
(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =
(e) (-8)3 ⋅ 103 =
(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =
(g) (2x)3 . (4x)3 =
(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =
(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000
(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576
(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000
(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000
(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6
(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2
= (-6)2·(a5)2·(b2)2 = 36a10b4
5) Al tener un cuociente elevado a un exponente 
común, es igual al cuociente de cada uno de los 
términos elevados a tal exponente; en consecuencia 
la potenciación es distributiva sobre la división.
( ) nb:nanb:a =
nb
nan
b
a
=





Ejercicios:
(a) =




 5
3
2
(b) =




−
3
4
3
=
53
52
243
32
=
−
34
3)3(
64
27−
(c) =




−
4
5
2
(d) =




 5
10
1
=






 3/1
92
65(e)
(f) =






 5
3y
2x
(g) =






 3
3b4
2a3
=
−
45
4)2(
625
16
=
510
51
000.100
1
=
3/92
3/65 =
32
25
8
25
=
5)3y(
5)2x(
15y
10x
=
3)3b4(
3)2a3(
=
⋅
⋅
3)3b(34
3)2a(33
9b64
6a27
=
3/1)92(
3/1)65(
Recíprocamente se tiene que:
n)b:a(nb:na =
n
b
a
nb
na





=
luego se deduce que para dividir potencias de igual 
exponente, se eleva el cuociente de las bases al 
exponente común.
Ejercicios:
(a) 183 : 93 =
(b) 754 : 254 =
(18 : 9)3 = 23 = 8
(75 : 25)4 =34 = 81
=




 ⋅
5
4
5
15
8
(c) (-35)5 : 75 =
(d) 1353 : (-15)3 =
(e) (-96)4 : (-12)4 =
(h) (-36a5)6 : (12a2)6 =
=










 5
5
4
:
5
15
8(f)
=










−
3
5
6
:
3
5
2
(g)
(-35 : 7)5 =
(135 : -15)3 =
(-96 : -12)4 =
(-5)5 = -3.125
(-9)3 = -729
(8)4 = 4.096
=




 5
5
4
:
15
8 =




 5
3
2 =
53
52
-1
27
3 1
12
=




 − 3
5
6
:
5
2 =





⋅
−
3
6
5
5
2
1 3
1-1
=
−
33
3)1(=




 −
3
3
1
32
243
(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6
= (-3)6·(a3)6 = 729a18
6) Toda potencia de exponente negativo es igual al 
valor recíproco de la base elevada al mismo 
exponente , pero positivo.
na
1na =−
na
nbn
a
bn
b
a =




=
−






Ejercicios:
(a) (5)-3 =
(b) (-3)-5 =
(c) =
−





 4
3
2
=
35
1
125
1
=
− 5)3(
1
=
− 243
1
243
1
−
=




 4
2
3 =
42
43
16
81
=
−





−
3
7
5(d)
(e) (a)-3 =
(f) (-2x3)-5 =
=
−





 3
y5
x3(g)
=




−
3
5
7 =−
35
37
125
343
−
3a
1
=
− 5)3x2(
1 =
⋅− 5)3x(5)2(
1
=
− 15x32
1
15x32
1
−
=




 3
x3
y5
=
3)x3(
3)y5( =
⋅
⋅
3x33
3y35
3x27
3y125
=







−
4
3a2
2b5
=
−
4)3a2(
4)2b5(
=
⋅
⋅−
4)3a(42
4)2b(4)5((h)
4
2b5
3a2
−








− = 12a16
8b625
7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.
10a =
(a) 30 =
(b) (-2)0 =
(c) =




−
0
7
5
(e) (-5)0 + 30 + 70 =
(f) 3x0 - 2y0 + 5z0 =
(d) ( ) =023
1
1
1
1
1 + 1 + 1 = 3
3·1 - 2·1 + 5·1
= 3 - 2 + 5
= 6
8) Toda potencia de exponente fraccionario se 
transforma a raíz.
n man
m
a =
Notar que el denominador del exponente 
fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el 
numerador de este es el nuevo exponente de la base 
quedando esta expresión como cantidad 
subradical.
Ejercicios:
(a) 91/2 =
(b) 641/3 =
=
2 19 =9 3
=3 164 =3 64 4
(c) (-125)1/3 =
(d) 2561/4 =
(e) 43/2 =
(f) 82/3 =
=−3 1125 =−3 125 -5
=4 1256 =4 256 4
=2 34 =64 8
=3 28 =3 64 4
Ejercicios Complementarios:
1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:
(a) Para x = -3 el valor de:
5x3 - 3x2 + 5x – 1 =
(b) =
−





⋅




 2
3
4
4
3
5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1
5·-27 - 3·9 + -15 - 1
-135 - 27 + -15 - 1
-162 + -15 - 1
-177 + -1
= -178
2
4
31
4
3




⋅




=
3
4
3





=
=
27
64
(c) =










 7
3
2
:
3
3
2
(d) =⋅ 12)6/154/16(
73
3
2 −





=
=
81
16
4
3
2 −





=
4
2
3





=
42
43
=
12)6/15(12)4/16( ⋅=
1212
646 5= ⋅
2536 ⋅=
= 216·25 
= 5.400
=










 4
8
1
:
2
16
1(f)=







 −






22
5
3(e)
43
2
1
:
24
2
1























=
12
2
1
:
8
2
1











=
4
2
1 −





=
42=
= 16
22
3
5













=
4
3
5



=
=
625
81
43
45
=
(g) =




⋅




 3
16
53
15
8
=










 5
4
21
:
5
20
35(h)
3
16
5
15
8





 ⋅=
3
6
1





=
=
1
216
36
31
=
1 1
3 2
5
4
21
:
20
35





=
5
21
4
20
35





 ⋅=
5 1
5 3
1
1
51
3
 =  
 
=
1
243
51
53
=
(i) =
−
−−−
33
2313
33
1
23
1
13
1
−
27
1
9
1
3
1
−
=
27
1
9
2
=
1
27
9
2
⋅=
3
1
1
6
= = 6
2) Si y ¿Cuál de las relaciones 
es verdadera?
2 3a b 32⋅ = 3a 8=
A) a = b
B) > 2·a
C) 2·a > 
D) b < a
E) a < b
2b
2b
Si 3a =8 ⇒ a = 2
Si a = 2 ⇒ 2 3a b =32⋅
2 32 b =32⋅
34 b =32⋅
323b = =8
4
⇒ b = 2
3) Si A = ; entonces = ?32x 4A
A) 2x
B) 6x
C) 8x
D) 16x
E) 16x
12
12
12
12
7
3A=2x ⇒ 4A =
3 4(2x )
4 3 4= 2 (x )⋅
= 16 12x
3 1 23 3 2
: ?
2 2 3
− − −           ⋅ =                
4)
A) 4/9
B) 9/4
C) 81/16
D) 64/729
E) 729/64
3 1 23 3 2:
2 2 3
− − −           ⋅ =                
43
2
−       
:
23
2
    =    
4 23
2
− −  = 
 
63
2
−  = 
 
62
3
  = 
 
64
729
5 5 3 36 4 5 2
: ?
8 9 6 5
             ⋅ ⋅ =                    
5)
A) 9
B) 3
C) 1
D) 
E) 
1
3
1
9
5 36 4 5 2
:
8 9 6 5
         ⋅ ⋅ =            
2
3
1
2 3
1 1
1
1
1
5 31 1
:
3 3
   =    
   
5 31
3
− =  
 
21
3
 = = 
 
1
9
6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones 
es (son) verdadera(s):
2n 3b
l) Si a = 64 ⇒ b = 2
ll) Si n = 8 ⇒ a = 64 
lll) Si b = 2 ⇒ n = 8
A) Sólo l y ll
B) Sólo l y lll
C) Sólo ll y lll
D) Todas
E) Ninguna
2a=n ⇒; si a = 64 264=n
 ⇒ 8 = n
3n=b ⇒; si n = 8 38=b
 ⇒ 2 = b
 ⇒ 2a=8
 ⇒ a = 64
si n = 8 con 2a=n
 ⇒ 3n=2
 ⇒ n = 8
si b = 2 con 3n=b
ü
ü
ü
7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que 
es un número positivo si:
n(a-b)
(1) El exponente “n” es par.
(2) Si se cumple que a > b.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
Si
Exponente par ⇒ potencia positiva.
Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva
Si
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10
1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256 
e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375
2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91
an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn
3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .
9
25
8
27
−
4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .
9
16
8
125
−
5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .
1
729
1
64
−
6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 .1
216
7) a) 225 b)-1.000.000 c) d) e) 128 .27
8
1
256
8) a) b) c) d) e)
8
27
121
9
1
64
− 7
72
−
3
6
16
9) a) 25 b) -27 c) d) -27 e) .
1
32
1
64
10) a) b) c) d) e) 243 .
1
16
1
243
−
4
9
125
216
11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3
12) a) 4 b) 2 c) d) 8 e) 2 .1
2
13) E 14) D 15) C 16) A
17) D 18) C 19) A 20) D