2023-06-30 18-54-35

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ÁLGEBRA
Tema:
DOCENTE:CARLOS CALDERÓN LAUREANO
Ecuación bicuadrada 
y fraccionaria
OBJETIVOS
01
03
02
Reconocer y resolver una ecuación 
bicuadrada y fraccionaria.
Aplicar las propiedades de la
ecuación bicuadrada.
Resolver los ejercicios y problemas
con el apoyo teórico
INTRODUCCIÓN
Resolución de una ecuación bicuadrada
Ecuación Bicuadrada
Para resolver una ecuación
bicuadrada se puede aplicar la
factorización por
Sabias que:
Tiene la forma:
𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂𝒃𝒄 ≠ 𝟎
¨aspa simple¨
Ejemplo
1)
2)
𝟑𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑 = 𝟎
Ejemplos
𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎
Resuelva
𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0
Resolución :
𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0
𝒙𝟐
𝒙𝟐
− 𝟒
− 𝟗
(𝑥2 − 4)(𝑥2 − 9) = 0
𝑥2 − 4 = 0 ∨ 𝑥2 − 9 = 0
∴ C.S.= 2 ;−2 ; 3 ;−3
𝑥2 = 4
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2
∨ 𝑥2= 9
∨ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −3
Ejercicio
Resolución :
Resuelva
𝟒𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐 = 𝟎
A partir de la ecuación 4𝑥4 – 9𝑥2 + 2 = 0
Se factoriza por Aspa Simple 
4𝑥4 − 9𝑥2 + 2 = 0
4𝑥2
𝑥2
−1
−2
→ 4𝑥2 − 1 𝑥2 − 2 = 0
→ 4𝑥2 − 1 =0 ∨ 𝑥2 − 2 =0
𝑥 =
1
2
∨ 𝑥 = −
1
2
∨→ 𝑥 = 2 𝑥 = − 2∨
𝐶. 𝑆 =
1
2
; −
1
2
; 2; − 2
La ecuación 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒂𝒃𝒄 ≠ 𝟎
cumple
1. Tiene 4 raíces y tienen las siguientes formas:
𝛂 ; −𝛂 ; 𝛃 ; −𝛃
En toda ecuación bicuadrada bastara conocerse 
dos de sus raíces para conocer las otras dos: 
Raíces conocidas Raíces faltantes
2 y 3 − 2 y − 3
− 1 y 2 1 y − 2
−1/2 y − 4 1/2 y 4
2. La suma de raíces de una ecuación bicuadrada
es cero.
Ejercicio
Resolución :
Si la ecuación bicuadrada 𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎
tiene 𝑪𝑺 = 𝜶;−𝜶; 𝜷;−𝜷 con 𝜶 > 𝜷 > 𝟎 .
Determine𝜶 + 𝜷
3. α2 + β2 =−
𝑏
𝑎
α2. β2 =
𝑐
𝑎
Ejemplos
• Sea la ecuación 2𝑥4 + 3𝑥2 + 5 = 0
cuyas raíces son α, −α, β y −β.
α2 + β2 = α2. β2 =
• Sea la ecuación 𝑥4 − 7𝑥2 + 4 = 0 cuyas
raíces son 𝑚,−𝑚, n y −𝑛.
• Sea la ecuación 5𝑥4 − 10𝑥2 + 5 = 0
cuyas raíces son 𝑚,−𝑚, n y −𝑛.
−
3
2
5
2
𝑚2 + 𝑛2 = 7 𝑚2 . 𝑛2 = 4
𝑚2 + 𝑛2 =
10
5
= 2 𝑚2 . 𝑛2 =
5
5
= 1
A partir de los datos
α2 + β2 = 7 ; 𝛼2 . 𝛽2 = 1
→ 𝜶 𝜷 = 𝟏
α2 + β2 = 7+𝟐 𝜶 𝜷 = +𝟐𝜶 𝜷
→ 𝛼 + 𝛽 2 = 7 + 2 1
→ 𝛼 + 𝛽 2 = 9
→ 𝛼 + 𝛽 = 3 ∨ 𝛼 + 𝛽 = −3
∴ 𝛼 + 𝛽 = 3
4. Una ecuación bicuadrada de sus raíces
α,−α, β y − β es:
𝒙𝟒 − 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 𝒙𝟐 + 𝜶𝟐. 𝜷𝟐 = 𝟎
Ejemplo
1) Una ecuación bicuadrada de raíces son 3, −3, 5
y −5 es:
𝑥4 − 32 + 52 𝑥2 + 32. 52 = 0
𝑥4 − 34𝑥2 + 225 = 0
2) Una ecuación bicuadrada de raíces son 2,
− 2, 1 y −1 es:
Ecuación Fraccionaria
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0
𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 son polinomio.
𝑄 𝑥 de grado mayor a 0.
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0 ↔ 𝑃 𝑥 = 0 ∧ 𝑄 𝑥 ≠ 0
Teorema
En la resolución de las ecuaciones
fraccionarias se hace uso de este teorema
Ejemplos
𝑥2 − 25
𝑥 − 4
= 0
𝑥 + 3
𝑥 − 1
=
𝑥 − 2
𝑥 + 1
La forma general de una ecuación fraccionaria es:
𝑥4 − 2
2
+ 12 𝑥2 + 2
2
. 12 = 0
𝑥4 − 3𝑥2 + 2 = 0
Al indicar que el denominador es
diferente de cero, obtenemos
restricciones que debemos quitar
del conjunto solución.
Sabias que:
• 1.-Resuelva
𝑥2 − 25
𝑥 − 4
= 0
𝑥2 − 25 = 0 ∧ 𝑥 − 4 ≠ 0
𝑥2 = 25 ∧ 𝑥 ≠ 4
(𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −5) ∧ 𝑥 ≠ 4
𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −5
C.S.= 5 ;−5
Ejemplos Ejercicio
Resolución :
Resuelva
𝒙 + 𝟑
𝒙 − 𝟏
=
𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟏
𝑥 ≠ 1 ;−1
𝑥 + 3 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥 + 3 = −3𝑥 + 2
7𝑥 = −1
𝑥 = −
1
7
𝐶. 𝑆. = −
1
7