2023-12-18 12-01-12

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Tema: Introducción a la 
programación lineal
ÁLGEBRA
DOCENTE: PHFLUCKER H. COZ
1
Resolución 
Clave 𝑬𝑬
máx. mín. 𝑓𝑓 𝑥𝑥;𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
sujeto a (s.a.): 
𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 ≤ 𝑐𝑐1
𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 ≥ 𝑐𝑐2
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑛𝑛𝑦𝑦 ≤ 𝑐𝑐𝑛𝑛
𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑦𝑦 ≥ 0
⋮
𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐨𝐨
𝐂𝐂𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐅𝐅𝐅𝐅𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐝𝐝𝐨𝐨
𝐫𝐫𝐨𝐨𝐫𝐫𝐨𝐨𝐫𝐫𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐫𝐫
… ∗
Estructura de un problema de PL:
.
.
.
.
.
.
Teorema fundamental de la programación lineal
Si un problema de Programación Lineal tiene
región factible no vacía, entonces, si existe el
óptimo (máximo o mínimo) de la función
objetivo, esta se encuentra en un punto extremo
(vértice) de la región factible.
2
Resolución 
𝐗𝐗
𝐘𝐘
 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4
Cuándo 𝑥𝑥 = 0 ⟹ 𝑦𝑦 = 4
4
Cuándo 𝑦𝑦 = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = 4
4
 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6
Cuándo 𝑥𝑥 = 0 ⟹ 𝑦𝑦 = 6
6
Cuándo 𝑦𝑦 = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = 3
3
𝑷𝑷
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6
𝑥𝑥 = 2
𝑦𝑦 = 2
𝑥𝑥 = 2
Coordenadas de P:
2; 2
2
Clave 𝑬𝑬
3
Resolución 
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐷𝐷
Evaluando en cada punto extremo
en la función objetivo
𝒇𝒇 𝒙𝒙;𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒚𝒚
En A: 𝑓𝑓 1; 2 = 3 1 + 5 2 ⟹ 𝑓𝑓 1; 2 = 13
En B: 𝑓𝑓 2; 4 = 3 2 + 5 4 ⟹ 𝑓𝑓 2; 4 = 26
En C: 𝑓𝑓 3; 5 = 3 3 + 5 5 ⟹ 𝑓𝑓 3; 5 = 34
En D: 𝑓𝑓 5; 3 = 3 5 + 5 3 ⟹ 𝑓𝑓 5; 3 = 30
⇐ 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦. .
Clave 𝑫𝑫
4. Resolución:
N° de toneladasUtilidad
Bonito
Corvina 1500
1000 𝒙𝒙
𝒚𝒚
𝑥𝑥 ≥ 0 ;𝑦𝑦 ≥ 0
𝑴𝑴𝐦𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚
𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 3000
3000
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐; 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑥𝑥 ≤ 2000
𝑦𝑦 ≤ 2000
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 3000
2000
2000
3000
𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐; 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑓𝑓 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟐𝟐
𝟐𝟐;𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 4000000
𝑓𝑓 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 3500000
𝑓𝑓 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟐𝟐 = 2000000
𝑓𝑓 𝟐𝟐;𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 3000000
= 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐𝟐𝟐𝒚𝒚
Evaluamos en los vértices:
𝐑𝐑𝐑𝐑𝐨𝐨𝐑𝐑.
𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐝𝐝𝐨𝐨 𝐨𝐨𝐨𝐨𝐅𝐅𝐅𝐅𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐲𝐲 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝐝𝐝𝐨𝐨 𝐅𝐅𝐨𝐨𝐫𝐫𝐨𝐨𝐅𝐅𝐅𝐅𝐑𝐑
Clave 𝑫𝑫
5
Resolución 
Dieta carbohidratos proteínas Costo unidad Cantidad
Tipo A
Tipo B
2 31,5
2 77,5
𝐑𝐑𝐚𝐚 𝐦𝐦𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐫𝐫 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟓𝟓
𝒙𝒙
𝒚𝒚
Costo: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦
2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≥ 12
3
2
𝑥𝑥 +
15
2
𝑦𝑦 ≥ 15
𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑦𝑦 ≥ 0
�Restricciones
6
6
2
10
𝑷𝑷
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6
𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 10
𝑦𝑦 = 1
𝑦𝑦 = 1
𝑥𝑥 = 5
Coordenadas de P:
5; 1
Clave 𝑨𝑨
6
Resolución 
Cocina Horas en 
máquina
Horas a 
mano
Utilidad por 
unidad
Cantidad
Tipo A
Tipo B
2 402
4 701
𝐅𝐅𝐨𝐨𝐦𝐦𝐨𝐨
𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐅𝐅𝐦𝐦𝐨𝐨
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝒚𝒚
Costo: 𝑚𝑚𝐦𝑥𝑥 𝑈𝑈 𝑥𝑥;𝑦𝑦 = 40𝑥𝑥 + 70𝑦𝑦
2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 ≤ 200
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 140
𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑦𝑦 ≥ 0
�Restricciones
50
100
140
70
𝑷𝑷
2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 200
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 140
𝑦𝑦 = 20
𝑦𝑦 = 20
𝑥𝑥 = 60
Coordenadas de P:
60; 20
Clave 𝑨𝑨
1
TEST
Resolución
máx. mín. 𝑓𝑓 𝑥𝑥;𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
sujeto a (s.a.): 
𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 ≤ 𝑐𝑐1
𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 ≥ 𝑐𝑐2
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑛𝑛𝑦𝑦 ≤ 𝑐𝑐𝑛𝑛
𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑦𝑦 ≥ 0
⋮
𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐨𝐨
𝐂𝐂𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐅𝐅𝐅𝐅𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐝𝐝𝐨𝐨
𝐫𝐫𝐨𝐨𝐫𝐫𝐨𝐨𝐫𝐫𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐨𝐨𝐅𝐅𝐨𝐨𝐫𝐫
… ∗
Estructura de un problema de PL:
.
.
.
.
.
.
Teorema fundamental de la programación lineal
Si un problema de Programación Lineal tiene
región factible no vacía, entonces, si existe el
óptimo (máximo o mínimo) de la función
objetivo, esta se encuentra en un punto extremo
(vértice) de la región factible.
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐷𝐷
Resolución
2
3
Resolución
10
20
15
15
𝑷𝑷
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 20
𝑦𝑦 = 5
𝑦𝑦 = 5
𝑥𝑥 = 10
Coordenadas de P:
10; 5
Clave 𝑫𝑫
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13