OSCILACIONES

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OSCILACIONES
Contenido
3.1 Oscilador Armónico Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.1 Solución de la ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.2 Signicado físico de ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.3 Signicado físico de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.4 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.5 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1.6 Algunos sistemas que realizan Movimiento Armónico Simple . . . . . . . . 
3.2 El Oscilador Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.2.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.2.2 Solución de la ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.2.3 Oscilador Amortiguado con sub-amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . 
3.2.4 Oscilador Amortiguado con sobre-amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . 
3.2.5 Oscilador Amortiguado con amortiguamiento crítico . . . . . . . . . . . . 
3.3 El Oscilador Forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.3.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.3.2 Solución de la ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.3.3 Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.4 Ejercitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Los procesos que se distinguen por uno u otro grado de repetición
reciben el nombre de Oscilaciones, es decir, movimientos repetidos de
un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio.
En dependencia de la naturaleza física del proceso que se repite se distinguen
las siguientes oscilaciones: mecánicas, electromagnéticas, electromecánicas, etc. En
este capítulo sólo serán consideradas las mecánicas.
Las oscilaciones más sencillas son las armónicas, es decir, aquellas
donde la magnitud que oscila varía con el tiempo según la ley del seno
o coseno.
Este tipo de oscilaciones es de particular importancia por las siguientes razones:
1. En la naturaleza y en física aplicada las oscilaciones tienen, con frecuencia, un
carácter próximo al de las armónicas y,
2. los procesos periódicos de otra índole (con otra dependencia del tiempo) pueden
ser representados como la superposición (suma) de varias oscilaciones armónicas.
Es buena idea, antes de comenzar a estudiar el presente capítulo, hacer un repaso
referente a la cinemática y dinámica del Movimiento Circular Uniforme (MCU), pues
existe una relación estrecha entre éste y el movimiento oscilatorio. Para tal fin podría
consultar, por ejemplo, el capítulo 4 del texto [2] o del texto [6].
3.1 Oscilador Armónico Simple
Considérese una partícula que puede moverse a lo largo del eje x, como se mues-
tra en la figura 3.1, en virtud de una fuerza externa de la forma,
Fx (x) = �kx (3.1)
donde k es una constante positiva.
La Segunda Ley de Newton establece que,
Fx =
dpx
dt
= m
d2x
dt2
(3.2)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura 3.1: Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo Fx = �kx.
donde px es la componente a lo largo del eje x del momento lineal mvx = m
dx
dt
de la
partícula estudiada. Entonces, al igualar (3.1) y (3.2) es posible escribir que,
m
d2x
dt2
= �kx
d2x
dt2
+ !2x = 0 (3.3)
donde,
!2 =
k
m
(3.4)
que, como puede observarse, es una constante para un sistema dado. La expresión
(3.3) recibe el nombre de Ecuación de Movimiento del Oscilador Armónico Simple. En
este caso se dice que la partícula realiza un Movimiento Armónico Simple (MAS).
Se denomina Oscilador Armónico Aimple (OAS) al movimiento de
toda partícula, cuyo momimiento esté gobernado por una ecuación de
movimiento del tipo (3.3).
3.1.1 Solución de la ecuación de movimiento
Al resolver la ecuación (3.3) es posible encontrar la manera como varía la posición x de
la partícula con respecto al tiempo. Cuando se conoce como depende la posición de
una partícula con respecto al tiempo, se conoce también su trayectoria. Sus soluciones
son,
x (t) = ACos (!t+ ') (3.5)
x (t) = A Sen (!t+ ') (3.6)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
las cuales se tomarán sin demostración ya que, a este nivel, no se cuenta con las her-
ramientas necesarias para resolver la ecuación diferencial (3.3)1. Debido a que en
estas soluciones entán presentes las funciones armónicas seno y coseno, entonces el
movimiento efectuado por la partícula es oscilatorio. La cantidad (!t+ ') se llama la
Fase del Movimiento y la constante ' se denomina Constante de Fase o Fase Inicial,
que es un ángulo que será medido en radianes (rad)2.
El movimiento ejecutado por el OAS recibe el nombre de Oscilación
Libre y es tal que, una vez iniciado, no cesa nunca manteniéndose con-
stante su energía una vez establecida su amplitud. Por supuesto, se trata
de una simplificación del caso físico real en el que las fuerzas disipativas
o de rozamiento acabarían por extinguir finalmente el movimiento, desa-
pareciendo las oscilaciones. El caso con disipación será estudiado más
adelante en sus aspectos má relevantes.
Se usará (3.5) como solución predeterminada, de ahora en adelante, a menos que
sea indicado lo contrario. Además, se supondrá nula la fase inicial ' en aquellos sis-
temas donde no de diga nada respecto a la misma.
3.1.2 Significado físico de !
Se determinará ahora el significado físico de la constante !. Si en la solución (3.5)
se aumenta el tiempo t en
2�
!
resulta (verificarlo),
x
�
t+
2�
!
�
= ACos
�
!
�
t+
2�
!
�
+ '
�
= ACos (!t+ ') (3.7)
y, como es posible observar, la solución simplemente se repite a sí misma después de
un tiempo t =
2�
!
. Por lo tanto3,
2�
!
es el Período � o del movimiento y ! es la Frecuencia Angular.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Entonces, a partir de (3.4) es posible escribir ahora,
� =
2�
!
= 2�
r
m
k
(3.8)
y de aquí que la frecuencia # del oscilador venga dada por,
# =
1
�
=
1
2�
r
k
m
(3.9)
La frecuencia angular ! tiene como unidades4,
rad
s
,
rad
min
,
rad
h
, etc.
y la frecuencia #,
1
s
o s�1 = Hertz (Hz)
1
min
o min�1 = revoluciones por minuto (rpm)
1
h
o h�1, etc.
3.1.3 Significado físico de A
La costante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar los
valores de �1 a 1. El desplazamiento x medido desde la posición central de equilibrio
x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de A [ver ecuación (3.5)]. Así pues,
A es la Amplitud del Movimiento.
Como A no queda determinada por la ecuación diferencial (3.3), de ella resultan
muchos posibles movimientos de amplitudes distintas, pero todas ellas tienen la misma
frecuencia y período. La frecuencia en un oscilador armónico simple es independiente
de la amplitud del movimiento.
Dos movimientos armónicos simples pueden tener la misma amplitud
y frecuencia pero distinta constante de fase '.
4En la práctica es obviada la unidad rad.
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En la figura 3.2 se ilustra el significado de ', para lo cual se han tomado como ejem-
plo dos oscilaciones,
x(t) = A Sen (!t) (3.10)
x(t) = A Sen (!t+ ') (3.11)
que están desfasadas en ' radianes. Obsérvese que la fase ' corresponde a un desliza-
miento de la curva de posición en función del tiempo hacia tiempos menores o may-
ores.
Figura 3.2: Interpretación de '. Gráficas de x(t) = ASen (!t) y x(t) = ASen (!t+ ') para A = 10, m = 10, k = 1 y ' = �
2
, en
unidadesdel M.K.S.C.
3.1.4 Velocidad y aceleración
3.1.4.1 Para una solución del tipo x (t) = ACos (!t+ ')
A partir de (3.5), la velocidad y la aceleración vendrán dadas por,
vx =
dx
dt
vx = �!A Sen (!t+ ') (3.12)
ax =
d2x
dt2
=
dvx
dt
ax = �!2ACos (!t+ ') = �!2x (3.13)
Es obvio que la velocidad máxima vxm�ax y la aceleración máxima axm�ax vienen dadas
por,
vxm�ax = �!A (3.14)
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axm�ax = �!2A (3.15)
La vxm�ax resulta cuando el argumento del seno en (3.12) toma valores de
�
2
, 3�
2
, 5�
2
, 7�
2
,...
es decir,
(2n� 1)�
2
, con n = 1; 2; 3; ::: (3.16)
y la axm�ax resulta cuando el argumento del coseno en (3.13) toma valores de 0, �, 2�, 3�,
... es decir,
(n� 1)�, con n = 1; 2; 3; ::: (3.17)
Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren (3.14) y (3.15) son respectivamente
(verificarlo),
t = 1
!
h
(2n�1)
2
� � '
i
, para vxm�ax (3.18)
t = 1
!
[(n� 1)� � '], para axm�ax (3.19)
La distancia total d (NO EL DESPLAZAMIENTO) recorrida por la partícula, transcurrido
un tiempo �t de su movimiento, viene dada por (verificarlo),
d = 2A
�
(!�t+ ') (3.20)
que puede ser obtenida sabiendo que en un período completo la distancia recorrida
por la partícula es de 4A y sabiendo que !t = 2� rad.
3.1.4.2 Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t+ ')
A partir de (3.6), la velocidad y la aceleración vendrán dadas por,
vx =
dx
dt
vx = !ACos (!t+ ') (3.21)
ax =
d2x
dt2
=
dvx
dt
ax = �!2A Sen (!t+ ') = �!2ox (3.22)
Es obvio que la velocidad máxima y la aceleración máxima vienen dadas por,
vxm�ax = �!A (3.23)
axm�ax = �!2A (3.24)
que son las mismas obtenidas en la sección anterior.
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La vxm�ax resulta cuando el argumento del coseno en (3.21) toma valores de 0, �, 2�,
3�,... es decir,
(n� 1)�, con n = 1; 2; 3; ::: (3.25)
y la axm�ax resulta cuando el argumento del seno en (3.22) toma valores de
�
2
, 3�
2
, 5�
2
, 7�
2
,...
es decir,
(2n� 1)�
2
, con n = 1; 2; 3; ::: (3.26)
Aquí, como vemos, se invierten los resultados con respecto a los de la sección ante-
rior. Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren vxm�ax y axm�ax son respectivamente
(verificarlo),
t = 1
!
[(n� 1)� � '], para vm�ax (3.27)
t = 1
!
h
(2n�1)
2
� � '
i
, para am�ax (3.28)
La distancia total d recorrida por la partícula, transcurrido un tiempo�t de su movimiento,
viene dada por (verificarlo),
d = 2A
�
(!�t+ ') (3.29)
que es la misma obtenida en la sección anterior, como era de esperarse.
3.1.5 Energía
Se procederá a encontrar la energía cinética T , la energía potencial U y la energía
mecánica total E para un OAS.
3.1.5.1 Energía Cinética
Como fue visto antes, la posición de una partícula cuya ecuación de movimiento
sea (3.3) es,
x (t) = ACos (!t+ ') (3.30)
por lo tanto, la energía cinética T vendrá dada por (verificarlo),
T =
1
2
mv2x =
1
2
m
�
dx
dt
�2
(3.31)
T =
1
2
m!2A2 Sen2 (!t+ ') (3.32)
y al usar (3.4),
T =
1
2
kA2 Sen2 (!t+ ') (3.33)
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que es la Energía Cinética del OAS. Al usar , la energía cinética puede ser escrita tam-
bién como,
La energía (3.33) puede ser expresada sólo en función de la posición x. Al usar la
conocida identidad Sen2 � = 1� Cos2 � y la ecuación (3.30) resulta (verificarlo),
T =
1
2
k (A2 � x2) (3.34)
de la cual es posible observar que T es máxima para x = 0 y nula cuando x = A (en los
extremos).
Es posible encontrar la velocidad de la partícula que realiza el MAS. Al igualar (3.31)
y (3.34) resulta,
1
2
mv2x =
1
2
k
�
A2 � x2
�
vx = �!
p
A2 � x2 (3.35)
a partir de la cual se obtiene la velocidad máxima cuando x = 0.
La aceleración se obtiene al derivar (3.35) con respecto al tiempo, resultando (veri-
ficarlo),
ax = �!2x
en concordancia con (3.13), como era de esperarse, y a partir de la cual se obtiene la
aceleración máxima cuando x = �A.
3.1.5.2 Energía Potencial
La energía potencial vendrá dada por el trabajo realizado para desplazar a la
partícula desde una posición 0 hasta una posición x en contra de la fuerza (3.1). Por lo
tanto,
U(x) = �
Z x
0
F (ex) dex (3.36)
donde se usó ~ para distinguir entre la variable y el límite de integración. De aquí que,
al sustituir (3.1) en (3.36) resulta (verificarlo),
U(x) =
1
2
kx2 (3.37)
que es la Energía Potencial del OAS. En el caso de un resorte (que será tratado más
adelante), esta energía recibe el nombre de Energía Potencial Elástica, siendo k su
constante de elasticidad.
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3.1.5.3 Energía Mecánica
Como se sabe, la energía mecánica total E viene dada por,
E = T + U (3.38)
entonces al introducir aquí los resultados (3.34) y (3.37) se obtiene (verificarlo),
E =
1
2
kA2 (3.39)
que es la Energía Mecánica del OAS. Como es fácil apreciar, es una constante para
una amplitud dada por lo que se dice que el OAS es un Sistema Conservativo.
De lo anterior es posible observar que durante una oscilación hay un intercambio
continuo de energías potencial y cinética. Al alejarse de la posición de equilibrio, la en-
ergía potencial aumenta a expensas de la energía cinética; lo inverso sucede cuando
la partícula se acerca hacia la posición de equilirio.
Figura 3.3: Energía de un OAS.
La figura 3.3 es la representación gráfica de la energía potencial (3.37). Para una
energía total dada E, correspondiente a la línea horizontal, los límites de la oscilación
están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial (a estos
puntos se les da el nombre de Puntos de Retorno y en ellos T = 0). Como la parábola
es simétrica, los límites de oscilación (los puntos de retorno) se encuentran a distancias
iguales a �A del origen. En cualquier punto x la energía cinética T está dada por la
distancia entre la curva U(x) y la línea E.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ejemplo 3.1: La posición de una partícula en está dada por,
x (t) = 8; 0mCos
�
5; 0�t+
�
2
�
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia y
período del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase
y (d) la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 0; 5 s.
Solución:
Lo primero que se debe hacer es comparar la ecuación dada con su correspondi-
ente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.5). Por lo
tanto, al compararlas se encuentra que,
A = 8; 0 m (3.40)
! = 5; 0�
rad
s
(3.41)
' =
�
2
rad (3.42)
(a) Como ! = 5; 0� rad
s
entonces,
� =
2�
!
(3.43)
� =
2:�
5; 0� rad
s
� = 0; 4s (3.44)
y,
# =
1
�
(3.45)
# =
1
0; 4 s
# = 2; 5s�1 = 2; 5Hz (3.46)
(b) La amplitud fue encontrada por comparación resultando,
A = 8; 0m (3.47)
(c) De la misma manera, la constante de fase ' fue encontrada por comparación
resultando,
' = �
2
rad (3.48)
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(d) La posición dada es,
x (t) = 8; 0mCos
�
5; 0�t+
�
2
�
(3.49)
entonces para t = 0; 5s,
x = 8; 0 mCos
�
5; 0:�
rad
s
:0; 5 s+
�
2
rad
�
= 8; 0 mCos
�
2; 5� rad+
�
2
rad
�
= 8; 0 mCos (3�)
x = �8m (3.50)
Para hallar la velocidad se usa (3.12),
vx =
dx
dt
= �!A Sen (!t+ ')
vx = �5; 0�
rad
s
:8; 0m Sen
�
5; 0�:0; 5 s+
�
2
�
vx = �5; 16ms (3.51)
y, por último, al usar (3.13),ax =
dvx
dt
= �!2x
ax = �
�
5; 0�
rad
s
�2
: (�8 m)
ax = 1; 97:10
3m
s2
(3.52)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.2: Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS a
partir del origen en t = 0, siguiendo la ecuación,
x (t) = 4; 00 cm Sen (1; 00�t)
Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b)
la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre y (c) la distancia
total recorrida entre t = 0 y t = 2; 00 s.
Solución:
Lo primero que se debe hacer es comparar la ecuación dada con su correspondi-
ente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.6). Por lo
tanto, al compararlas se encuentra que,
A = 4; 00 cm (3.53)
! = 1; 00�
rad
s
(3.54)
' = 0 rad (3.55)
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(a) Según (3.23),
vxm�ax = �!A (3.56)
vxm�ax = �1; 00�
rad
s
:4; 00 cm
vxm�ax = �4� cms (3.57)
Por otro lado,según (3.21), la ecuación para la rapidez correspondiente a la solución
senoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),
vx = !A Cos (!t) (3.58)
entonces, al hacer vx = vxm�ax (pues como se desplaza hacia la derecha la primera
vxm�ax es positiva), podemos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
vxm�ax = !A Cos (!t) (3.59)
de aquí que,
t =
1
!
Cos�1
�vxm�ax
!A
�
(3.60)
entonces,
t =
1
1; 00� rad
s
Cos�1
 
4� cm
s
1; 00� rad
s
:4; 00 cm
!
=
1
1; 00�
s
rad
Cos�1 (1)
=
1
1; 00�
s
rad
:0 rad
t = 0s (3.61)
También se puede obtener el tiempo pedido al usar (3.27) para n = 1 (¿por qué?),
t =
1
!
[(n� 1)� � '] (3.62)
t =
1
1; 00� rad
s
:0 rad
t = 0s (3.63)
(b) Según (3.24),
axm�ax = �!2A (3.64)
axm�ax = �
�
1; 00�
rad
s
�2
:4; 00 cm
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
axm�ax = �4�2 cms2 (3.65)
Por otro lado, según (3.22), la ecuación para la aceleración correspondiente a la
solución senoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),
ax = �!2A Sen (!t) (3.66)
entonces, al hacer ax = axm�ax (tomando axm�ax positiva pues se desplaza hacia la
derecha), es posible encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
axm�ax = �!2A Sen (!t) (3.67)
de aquí que,
t =
1
!
Sen�1
�
�axm�ax
!2A
�
(3.68)
entonces,
t =
1
1; 00� rad
s
Sen�1
"
�
�4�2 cm
s2�
1; 00� rad
s
�2
:4; 00 cm
#
=
1
1; 00�
s
rad
Sen�1 (1)
=
1
1; 00�
s
rad
:
�
2
rad
t = 0; 5s (3.69)
También se puede obtener el tiempo pedido al usar (3.28) para n = 1 (¿por qué?),
t =
1
!
�
(2n� 1)
2
� � '
�
(3.70)
t =
1
1; 00� rad
s
1
2
�
t = 0; 5s (3.71)
(d) Al usar (3.29),
d =
2A
�
(!�t+ ') (3.72)
d =
2:4 cm
�
�
1; 00�
rad
s
:2s+ 0
�
d = 16cm (3.73)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.3: La posición de una partícula viene dada por,
x = 5cmCos (9:90t)
(a) ¿cuál es la velocidad máxima y en qué tiempo se da?, (b) ¿cuál es la acel-
eración máxima y en qué tiempo se da?. Se sabe que t está dado en segundos.
Solución:
Lo primero que se debe hacer es comparar la ecuación dada con su correspondi-
ente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.5). Por lo
tanto, al compararlas se encuentra que,
A = 5cm (3.74)
! = 9:90
rad
s
(3.75)
' = 0 rad (3.76)
(a) Según (3.14),
vxm�ax = �!A (3.77)
vxm�ax = �9:90
rad
s
:5cm
vxm�ax = �49; 5 cms (3.78)
Por otro lado, al usar (3.18) para n = 1 (¿por qué?),
t =
1
!
�
(2n� 1)
2
� � '
�
(3.79)
t =
1
9:90 rad
s
1
2
�
t = 0; 159s (3.80)
(b) Según (3.15),
axm�ax = �!2A (3.81)
axm�ax = �
�
7; 0
rad
s
�2
:25; 0 cm
axm�ax = �1225 cms2 (3.82)
Por otro lado, al usar (3.19) para n = 1 (¿por qué?),
t =
1
!
[(n� 1)� � '] (3.83)
t =
1
7; 0 rad
s
(0)
t = 0s (3.84)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 136
CAPITULO 3. OSCILACIONES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.4: La posición de un objeto es,
x (t) = 25; 0 cmCos
�
7; 0t+
�
4
�
donde x está dada en metros y t en segundos. Calcule: (a) la velocidad y la
aceleración en t = �
3
s, (b) la velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta
ocurre y (c) la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre.
Solución:
Lo primero que se debe hacer es comparar la ecuación dada con su correspondi-
ente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.5). Por lo
tanto, al compararlas se encuentra que,
A = 25; 0 cm (3.85)
! = 7; 0
rad
s
(3.86)
' =
�
4
rad (3.87)
(a) Por ser cosenoidal, la ecuación para la velocidad y la aceleración vienen dadas
por (3.12) y (3.13) respectivamente. Por lo tanto,
vx = �!A Sen (!t+ ') (3.88)
vx = �7; 0
rad
s
:25; 0 cm Sen
�
7; 0
rad
s
:
�
3
s+
�
4
rad
�
= �175cm
s
Sen
�
31
12
� rad
�
vx = 169; 04
cm
s
(3.89)
ax = �!2A Cos (!t+ ')
ax = �
�
7; 0
rad
s
�2
:25; 0 cm Cos
�
7; 0
rad
s
:
�
3
s+
�
4
rad
�
= �1225cm
s2
:Cos
�
31
12
� rad
�
ax = 317; 05
cm
s2
(3.90)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 137
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) Según (3.14),
vxm�ax = �!A (3.91)
vxm�ax = �7; 0
rad
s
:25; 0 cm
vxm�ax = �175 cms (3.92)
Por otro lado, al hacer vx = vxm�ax (la primera vxm�ax es positiva) en (3.88), es posible
encontrar el tiempo en la que ocurre vxm�ax como sigue,
vxm�ax = �!A Sen (!t+ ') (3.93)
de aquí que,
t =
1
!
h
Sen�1
�
�vxm�ax
!A
�
� '
i
(3.94)
entonces,
t =
1
7; 0 rad
s
"
Sen�1
 
�
175 cm
s
7; 0 rad
s
:25; 0 cm
!
� �
4
rad
#
=
1
7
s
rad
:
h
Sen�1 (�1)� �
4
rad
i
=
1
7
s
rad
:
�
3�
2
rad� �
4
rad
�
=
1
7
s:
5
4
�
t = 0; 56s (3.95)
o también, al usar (3.18) para n = 2 (¿por qué?),
t =
1
!
�
(2n� 1)
2
� � '
�
t =
1
7; 0 rad
s
�
3
2
� � 1
4
�
�
t = 0; 56s (3.96)
(c) Según (3.15),
axm�ax = �!2A (3.97)
axm�ax = �
�
7; 0
rad
s
�2
:25; 0 cm
axm�ax = �1225 cms2 (3.98)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 138
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Por otro lado,según (3.13) la ecuación para la aceleración correspondiente a la solu-
ción senoidal viene dada por,
ax = �!2A Cos (!t+ ') (3.99)
donde al hacer ax = axm�ax (tomando axm�ax positiva pues se desplaza hacia la derecha),
es posible encontrar el tiempo en la que axm�ax ocurre como sigue,
axm�ax = �!2A Cos (!t+ ') (3.100)
de aquí que,
t =
1
!
h
Cos�1
�
�axm�ax
!2A
�
� '
i
(3.101)
entonces,
t =
1
7; 0 rad
s
"
Cos�1
 
�
1225 cm
s2�
7; 0 rad
s
�2
:25; 0 cm
!
� �
4
rad
#
=
1
7; 0
s
rad
h
Cos�1 (�1)� �
4
rad
i
=
1
7; 0
s
rad
:
�
� rad� �
4
rad
�
=
1
7; 0
s
rad
:
3
4
� rad
t = 0; 33s (3.102)
o también, al usar (3.19) para n = 2 (¿por qué?),
t =
1
!
[(n� 1)� � '] (3.103)
t =
1
7; 0 rad
s
�
� � 1
4
�
�
t = 0; 33s (3.104)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.5: Un cuerpo oscila con MAS a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía
con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
x (t) = 4; 00mCos
�
�t+
�
4
�
donde t está en segundos y los ángulos en el argumento del coseno están en
radianes. Determine: (a) la amplitud,la frecuencia y el período del movimiento,
(b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1; 00 s, (c) la velocidad
y aceleración máxima del cuerpo, (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s y
(e) la fase del movimiento en t = 2; 00 s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 139
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución:
Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con su corre-
spondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.5).
Por lo tanto, al compararlas, es fácil encontrar que,
A = 4; 00 m (3.105)
! = �
rad
s
(3.106)
' =
�
4
rad (3.107)
(a) Ya la amplitud está dada por (3.105),
A = 4; 00m
La frecuencia se obtiene a partir de,
# =
!
2�
(3.108)
entonces,
# =
� rad
s
2�
# = 0; 5Hz (3.109)
y, por último, el período es posible ahora encontrarlo con,
�# = 1 (3.110)
de manera que,
� =
1
#
(3.111)
� =
1
0; 5 Hz
� = 2s (3.112)
(b) Para encontrar la posición se usa la ecuación dada,
x (t) = 4; 00mCos
�
�t+
�
4
�
(3.113)
de manera que,
x = 4; 00mCos
�
�:1; 00 +
�
4
�
= 4; 00m (�0; 707)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
x = �2; 83m (3.114)
Finalmente, al usar (3.12) y (3.13),
vx = �!A Sen (!t+ ') (3.115)
vx = ��
1
s
:4; 00m: Sen
�
�:1; 00 +
�
4
�
= �:4�m
s
(�0; 707)
vx = 8; 89
m
s
(3.116)
ax = �!2ACos (!t+ ') (3.117)
ax = �
�
�
1
s
�2
:4; 00mCos
�
�:1; 00 +
�
4
�
= �4; 00:�2 (�0; 707) m
s2
ax = 27; 9
m
s2
(3.118)
(c) Al usar (3.14) y (3.15),
vxm�ax = �A! (3.119)
vxm�ax = ��
1
s
:4; 00m
vxm�ax = �4�ms (3.120)
axm�ax = �A!2 (3.121)
axm�ax = �
�
�
1
s
�2
:4; 00m =
axm�ax = �4�2ms2 (3.122)
(d) Para encontrar el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s, primero se encuentra la
posición xo en t = 0, luego la posición x para t = 1; 00 s y por último se restan,
xo = 4; 00mCos
�
�:0 +
�
4
�
= 4; 00mCos
��
4
�
= 4; 00m (0; 707)
xo = 2; 83 m (3.123)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 141
CAPITULO 3. OSCILACIONES
x = 4; 00mCos
�
�:1; 00 +
�
4
�
= 4; 00mCos
�
5�
4
�
= 4; 00m (�0; 707)
x = �2; 83 m (3.124)
entonces, el desplazamiento d vendrá dado por,
d = �x = jx� xoj
d = j�2; 83 m� 2; 83 mj
d = 5; 66m (3.125)
(e) La fase del movimiento es el argumento del coseno en la ecuación para la posición,
por lo tanto se tiene que,
fase = �t+
�
4
(3.126)
fase = �:2; 00 +
�
4
fase = 9
4
� (3.127)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Algunos sistemas que realizan Movimiento Armónico Simple
3.1.6.1 Sistemas masa-resorte
Ley de Hooke
La ley de fuerza para el resorte es la Ley de Hooke5. Esta Ley se enuncia de la
siguiente forma:
La fuerza ejercida por un resorte cuando se re deforma (comprimién-
dolo o estirándolo) es proporcional a dicha deformación.
Si el extremo del resorte es cambiado de la posición �!r o a la posición �!r , entonces la
matemáticamente, la anterior ley se escribe como,
�!
F = �k (�!r ��!r o) (3.128)
5Ver apéndice G.10 para una biografía resumida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 142
CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde
�!
F es la fuerza ejercida por el resorte al resistirse a ser deformado, �!r = xbex +
ybey + zbez es el vector de posición y k es una constante positiva que se le da el nom-
bre de Constante de Elasticidad del resorte, cuyo valor depende del material que lo
constituye. El signo menos de hace que la fuerza sea de restauración.
Para el caso unidimensional, eje x por ejemplo, la expresión (3.128) se reduce a,
Fx = �kx (3.129)
si se coloca el origen del sistema de referencia en la posición inicial del extremo del
resorte a estirar, de manera que xo = 0 así, la fuerza es proporcional a la posición del
extremo. Nótese que un desplazamiento en la dirección +x da lugar a una fuerza que
actúa en la dirección�x, y viceversa. Es de hacer notar también que (3.129) es idéntica
a (3.1), por lo tanto, si se desprecia la fricción entonces la ecuación de movimiento
resultante será la misma (3.3) del OAS y de aquí que,
El sistema masa-resorte realiza un MAS si se desprecia la fricción,
siendo válidos todos los resultados obtenidos para el OAS.
La Segunda Ley de Newton proporciona la relación entre la fuerza y la aceleración,
Fx = �kx = max (3.130)
donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y ax su aceleración. Así, la acel-
eración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su posición respecto
del punto de equilibrio,
ax = �
k
m
x (3.131)
Como ya fue visto antes, una partícula que esté sometida a una fuerza del tipo
(3.129) realiza un movimiento armónico simple, por lo tanto, los resortes originan este
tipo de movimiento (si se desprecia la fricción).
Unidades de k
Es fácil notar que las unidades de k están formadas por el cociente entre una
unidad de fuerza y una unidad de longitud, por lo tanto, en el sistema MKSC la unidad
es,
N
m
=
Kg
s2
en el cgss es,
din
cm
=
g
s2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 143
CAPITULO 3. OSCILACIONES
y en el sistema inglés es,
lbf
pie
El período y la frecuencia vienen dadas por (3.8) y (3.9) respectivamente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.6: Una masa de 200 g está conectada a un resorte ligero cuya constante
de elasticidad es 5; 00 N
m
y puede oscilar libremente sobre una pista horizontal sin
fricción. Si la masa se desplaza 5; 00 cm desde el equilibrio y se suelta a partir del re-
poso como se muestra en la figura 3.4, encuentre: (a) el período de su movimiento,
(b) la velocidad máxima, (c) la aceleración máxima y (d) el desplazamiento, la ve-
locidad y la aceleración como funciones del tiempo. Supóngase que la posición
viene dada por (3.5).
Figura 3.4: Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero.
Solución:
La amplitud se define como la máxima posición de la partícula con respecto a su
posición de equilibrio, punto en el cual la partícula debe tener velocidad nula (está en
reposo). Por lo tanto, en este caso la amplitud es,
A = 5; 00 cm = 5; 00:10�2 m (3.132)
(a) Al usar (3.8),
� = 2�
r
m
k
(3.133)
� = 2�
s
0; 2 Kg
5; 00N
m
� = 1; 26s (3.134)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 144
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) Al usar (3.8),
� =
2�
!
(3.135)
de aquí que,
! =
2�
�
(3.136)
! =
2�
1; 26 s
= 5; 00
rad
s
(3.137)
entonces, de(3.14), finalmente se tiene que,
vxm�ax = �A! (3.138)
vxm�ax = �5; 00
1
s
:5; 00:10�2m
vxm�ax = �0; 250ms (3.139)
(c) Al usar (3.15),
axm�ax = �A!2 (3.140)
axm�ax = �
�
5; 00
1
s
�2
:5; 00:10�2m
axm�ax = �1; 25ms2 (3.141)
(d) Al usar (3.5), (3.12), (3.13) y tomar ' = 0 (pues no se dice nada sobre esta constante)
resulta que la posición es dada por,
x = ACos (!t+ ') (3.142)
x = 5; 00:10�2mCos (5; 00t) (3.143)
la velocidad por,
vx = �!A Sen (!t+ ') (3.144)
vx = �5; 00
1
s
:5; 00:10�2m Sen (5; 00t)
vx = �0; 250ms Sen (5; 00t) (3.145)
y finalmente la aceleración por,
ax = �!2A Cos (!t+ ') (3.146)
ax = �
�
5; 00
1
s
�2
:5; 00:10�2m Cos (5; 00t)
ax = �1; 25ms2 Cos (5; 00t) (3.147)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 145
CAPITULO 3. OSCILACIONES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
Ejemplo 3.7: Una masa de 20; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical
fijo a una viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 7; 30 s.
Encuentre la constante de elasticidad del resorte.
Solución:
Al usar (3.8),
� = 2�
r
m
k
(3.148)
de aquí que,
k =
�
2�
�
�2
m (3.149)
entonces,
k =
�
2�
7; 30s
�2
:20; 00 Kg
k = 14; 81N
m
(3.150)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.8: Un automóvil de 1300 Kg se construye con un armazón soportado por cu-
atro resortes. Cada resorte tiene una constante de elasticidad de 20000 N
m
. Si dos
personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 Kg, encuen-
tre: (a) la frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bache en una
calle y (b) el tiempo que tarda el automóvil en ejecutar dos vibraciones comple-
tas. Suponga que la masa está distribuida uniformemente.
Solución:
Si la masa está distribuida uniformemente, entonces cada resorte soporta 1
4
de la
masa total (masa del automóvil + masa de las personas). Por lo tanto, la masa sopor-
tada por cada resorte es,
m =
1300 Kg + 160 Kg
4
= 365 Kg (3.151)
(a) Al usar (3.9),
# =
1
2�
r
K
m
(3.152)
# =
1
2�
s
20000N
m
365 Kg
=
1
2�
s
20000Kg
s2
365 Kg
# = 1; 18Hz (3.153)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 146
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) El período es posible encontrarlo a partir de (3.9),
# =
1
�
(3.154)
de manera que,
� =
1
#
(3.155)
� =
1
1; 18 Hz
= 0; 85 s (3.156)
que es el tiempo empleado para realizar una oscilación completa. Para dos es el
doble, por lo tanto se tiene finalmente que,
Tiempo para dos vibraciones = 2:0; 85s = 1; 70s (3.157)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.9: Un resorte se estira 0; 400 m cuando se le cuelga una masa de 1; 00 Kg.
El resorte se estira una distancia adicional de 0; 200 m de su punto de equilibrio y
luego se suelta. Determínese: (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la
oscilación, (c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y
la frecuencia.
Solución:
(a) La constante k se calcula a partir de la deformación que sufre el resorte a conse-
cuencia de aplicarle una fuerza igual al peso correspondiente a la masa de 1; 00Kg,
por lo tanto, al usar (3.130) se puede escribir que,
F = �kz (3.158)
y de aquí que,
k =
mg
z
(3.159)
puesto que F = �mg. Entonces,
k =
1; 00Kg:9; 8m
s2
0; 400 m
k = 24; 5N
m
(3.160)
(b) La amplitud va a ser la máxima separación a partir del punto de equilibrio. Cuando
al resorte se le cuelga la masa dada, éste se estira y alcanza una posición de equi-
librio. A partir de allí, se estira una distancia adicional de 0; 200 m. En consecuencia,
A = 0; 200m (3.161)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 147
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(c) A partir de (3.4), la frecuencia angular viene dada por,
! =
r
k
m
(3.162)
! =
s
24; 5N
m
1; 00Kg
= 4; 95
rad
s
(3.163)
así la máxima velocidad se obtiene a partir de (3.14),
vxm�ax = �!A (3.164)
vxm�ax = �4; 95
rad
s
:0; 200 m
vxm�ax = �0; 99ms (3.165)
(d) A partir de (3.15), la aceleración máxima viene dada por,
axm�ax = �!2A (3.166)
axm�ax = �
�
4; 95
rad
s
�2
:0; 200 m
axm�ax = �4; 9ms2 (3.167)
(e) A partir de (3.8),
� =
2�
!
(3.168)
� =
2�
4; 95 rad
s
� = 1; 269s (3.169)
y finalmente, a partir de (3.9),
# =
1
�
(3.170)
# =
1
1; 269 s
# = 0; 78Hz (3.171)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.10: Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante igual
a 3; 00 N
m
y experimenta un MAS horizontal con una amplitud de 15; 0 cm. Cuando la
masa está a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo,
se mide su velocidad y se encuentra un valor igual a +5; 00 cm
s
. Calcule (a) la masa
del bloque, (b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima del bloque.
Supóngase que la posición viene dada por (3.5).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 148
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución:
Primeramente se toma ' = 0, pues no ne dice nada sobre esta constante.
(a) Como vx es positiva significa que el bloque se está moviendo hacia la derecha
entonces, en este momento, a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y
el punto extremo x es positiva y vale x = A
2
. Por lo tanto, a partir de(3.5) se tiene que,
x = ACos (!t) (3.172)
A
2
= ACos (!t)
y de aquí que,
!t =
�
3
(3.173)
Ahora bien, según (3.12), la velocidad para ' = 0 correspondiente a esta solución
viene dada por,
vx = �!A Sen (!t) (3.174)
y al sustituir aquí el resultado (3.173) se obtiene,
vx = �!A Sen
��
3
�
(3.175)
Pero, según (3.4),
! =
r
k
m
(3.176)
entonces, al sustituir este resultado en (3.175),
vx = �
r
k
m
A Sen
��
3
�
(3.177)
de aquí que,
m = k
�
A
v
�2
Sen2
��
3
�
(3.178)
y al sustituir los valores correspondientes se obtiene finalmente,
m = 3; 00
N
m
�
15; 0 cm
5; 00 cm
s
�2
Sen2
��
3
�
m = 20; 25Kg (3.179)
(b) A partir de (3.176),
! =
s
3; 00N
m
20; 25 Kg
= 0; 385
rad
s
(3.180)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 149
CAPITULO 3. OSCILACIONES
y al usar (3.8),
� =
2�
!
(3.181)
� =
2�
0; 385 rad
s
� = 16; 3s (3.182)
(c) Por último, a partir de (3.15),
axm�ax = �!2A (3.183)
axm�ax = �
�
0; 385
rad
s
�2
:15; 0 cm
axm�ax = �2; 2 cms2 (3.184)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.11: ¿Cuál es la energía total de una masa m que se mueve con amplitud de
25 cm en una mesa plana sin fricción y que está fija a un resorte cuya constante es
33 N
m
?.
Solución:
Al usar (3.39),
E =
1
2
kA2 (3.185)
E =
1
2
:33
N
m
:
�
25:10�2m
�2
E = 1; 03J (3.186)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.12: Un automóvil que tiene una masa de 2500 Kg se dirige hacia un muro
de ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un
resorte de constante igual a 8; 0:106 N
m
y se comprime 5; 00 cm cuando el auto llega
al reposo. ¿Cuál era la velocidad del auto antes del impacto?, suponiendo que
no se pierde energía durante el impacto con la pared.
Solución:
Aquí, por conservación de la energía, toda la energía cinética T que poseía el au-
tomóvil antes de detenerse se convierte en energía potencial U del parachoques que
se comporta como resorte. Por lo tanto,
T = U (3.187)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 150
CAPITULO 3. OSCILACIONES
pero,
T =
1
2
mv2 (3.188)
y por (3.37),
U =
1
2
kx2 (3.189)
entonces, al sustituir (3.188) y (3.189) en (3.187),
1
2
mv2 =
1
2
kx2
de aquí que,
v =
r
k
m
x (3.190)
por lo tanto,
v =
s
8; 0:106N
m
2500 Kg
:5; 00:10�2m
v = 2; 83m
s
(3.191)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.13: Una masa de 0; 500 Kg conectada a un resorte ligero de k = 20; 0 N
m
oscila
sobre una pista horizontal sin fricción. Calcular:(a) la energía total del sistema
y la velocidad máxima de la masa si la amplitud del movimiento es 3; 00 cm, (b)
la velocidad de la masa cuando la posición es 2; 00 cm, (c) la energía cinética y
potencial del sistema cuando x = 2; 00 cm y (d) los valores de x para los cuales la
velocidad de la masa es igual a �0; 100 m
s
.
Solución:
(a) Al usar la ecuación (3.39),
E =
1
2
kA2 (3.192)
E =
1
2
:20; 0
N
m
:
�
3; 00:10�2m
�2
E = 9; 00:10�3J (3.193)
La velocidad máxima vxm�ax se consigue cuando la energía potencial de la masa se
hace cero, por lo tanto, su energía cinética T se hace igual a la energía total E [ver
(3.39)], entonces al usar(3.33),
T =
1
2
mv2xm�ax = E (3.194)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 151
CAPITULO 3. OSCILACIONES
de aquí que,
vxm�ax =
r
2E
m
(3.195)
de donde resulta que,
vxm�ax =
s
2:9; 00:10�3 J
0; 500 Kg
=
s
18; 00:10�3 Kg:m
2
s2
0; 500 Kg
vxm�ax = 0; 190
m
s
(3.196)
(b) Según (3.4),
! =
s
20; 0N
m
0; 500Kg
= 6; 32
rad
s
(3.197)
entonces de (3.35),
vx = �!
p
A2 � x2 (3.198)
vx = �6; 32
1
s
q
(3; 00:10�2m)2 � (2; 00:10�2m)2
vx = �0; 141ms (3.199)
(c) Al usar (3.34),
T =
1
2
m!2
�
A2 � x2
�
(3.200)
T =
1
2
:0; 500 Kg:
�
6; 32
1
s
�2 h�
3; 00:10�2m
�2 � �2; 00:10�2m�2i
T = 4; 99:10�3J (3.201)
y de (3.37),
U =
1
2
kx2 (3.202)
U =
1
2
:20; 0
N
m
:
�
2; 00:10�2m
�2
U = 4; 00:10�3J (3.203)
Obsérvese que,
T + U t 9; 00:10�3J = E (3.204)
en concordancia con (3.193) como era de esperarse, ya que el sistema es conserv-
ativo.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
(d) Al usar (3.35),
vx = �!
p
A2 � x2 (3.205)
de aquí que,
x = �
r
A2 �
�vx
!
�2
(3.206)
entonces,
x = �
s
(3; 00:10�2m)2 �
��0:100 m
s
6; 321
s
�2
x = �0; 0255m = �2; 55cm (3.207)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.14: Una persona de 120 Kg salta desde una ventana a una red 10 m abajo,
con lo que ésta se estira 2; 0 m. Suponiendo que la red se comporta como un
resorte simple: (a) ¿cuánto se estiraría si la persona estuviera encima de ella, (b)
¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 15 m?.
Solución:
Tómese mp como la masa de la persona, h como la distancia ventana-red y z como
el estiramiento de la red. Lo primero que se debe calcular es la constante de elastici-
dad k de la red. Para esto, se calcula primero la velocidad vz de la persona cuando
llega a la red. Este movimieto lo realiza en caida libre por lo que,
v2z = 2gh (3.208)
para lo que se ha tomado un sistema de referencia tal que el eje z es el vertical y cuyo
origen se encuentra sobre la superficie de la red sin estirar.
La energía cinética T de la persona en el instante al que llega a la red viene dada
por,
T =
1
2
mpv
2
z (3.209)
y la energía potencial U adquirida por la red debido al estiramiento z (puesto que la
red se comporta como un resorte) viene dada por (3.37),
U =
1
2
kz2 (3.210)
donde z < 0 para el sistema de referencia escogido, ya que el estiramiento ocurre por
debajo del origen del mismo (establecido sobre la superficie de la red sin estirar).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 153
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Por conservación de la energía, toda la energía cinética que tenía la persona al
tocar la red debe convertirse en energía potencial elástica de la red cuando detiene
a la persona. Por lo tanto,
T = U (3.211)
Al sustituir (3.209) y (3.210) en (3.211), tomando en cuenta (3.208) es posible escribir
que,
1
2
mp (2gh) =
1
2
kz2
y de aquí que,
k =
2mpgh
z2
(3.212)
por lo tanto,
k =
2:120Kg:9; 8m
s2
:10 m
(2; 0 m)2
k = 5; 88:103
N
m
(3.213)
Ya se tiene el valor de la constante k de la red, se procederá ahora a responder las
preguntas expuestas en el enunciado del ejemplo.
(a) La persona aplica una fuerza Fp sobre la red igual a su peso wp,
Fp = wp = �mpg (3.214)
Por otro lado, según (3.129), la fuerza Fred que aplica la red sobre la persona es,
Fred = �kz (3.215)
La fuerza Fp debe ser igual y opuesta a Fred, por lo tanto debe cumplirse que,
Fp = �Fred (3.216)
entonces, al sustituir aquí (3.214) y (3.215) resulta,
�mpg = �(�kz)
y de aquí que el estiramiento sea,
z = �mpg
k
(3.217)
resultando negativo, en concordancia con la posición del origen del sistema de
referencia escogido. Por lo tanto,
z = �
120Kg:9; 8m
s2
5; 88:103N
m
z = �0; 2m (3.218)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 154
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) Al despejar z de (3.212) resulta,
z = �
r
2mpgh
k
(3.219)
donde se ha escogido el signo negativo de la raíz cuadrada por las razones antes
expuestas. Entonces,
z = �
s
2:120Kg:9; 8m
s2
:15m
5; 88:103N
m
z = �2; 4m (3.220)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.15: Una masa de 5; 0 Kg, fija a un resorte, realiza un MAS a lo largo del eje x
y su período es 1; 0 s. Si la energía total de resorte y la masa es 750; 0 J , ¿cuál es la
amplitud de la oscilación?.
Solución:
A partir de (3.8),
� = 2�
r
m
k
(3.221)
de aquí que,
k =
�
2�
�
�2
m (3.222)
entonces,
k =
�
2�
1; 0 s
�2
:5; 0 Kg
k = 197; 39
N
m
(3.223)
Ahora, a partir de (3.39) se tiene que,
E =
1
2
kA2 (3.224)
de donde,
A =
r
2E
k
(3.225)
entonces,
A =
s
2:750; 0 Nm
197; 39N
m
A = 2; 76m (3.226)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 155
CAPITULO 3. OSCILACIONES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.16: Un resorte con un pollo de 3; 5 Kg en su extremo, se comprime 5 cm re-
specto al equilibrio y se suelta. La constante del resorte es k = 10 N
m
. Usando la
conservación de la energía, calcular la velocidad máxima del pollo.
Solución:
A partir de (3.39), la energía mecánica total viene dada por,
E =
1
2
kA2 (3.227)
y la energía cinética viene dada por,
T =
1
2
mv2x (3.228)
Por conservación de energía, el pollo alcanza la velocidad máxima cuando toda la
energía mecánica E se hace igual a su energía cinética T . Por lo tanto,
E = T (3.229)
entonces, al sustituir (3.227) y (3.228) en (3.229),
1
2
kA2 =
1
2
mv2xm�ax
vxm�ax =
r
k
m
A (3.230)
por lo tanto,
vxm�ax =
s
10N
m
3; 5Kg
:5 cm
vxm�ax = 8; 45
cm
s
(3.231)
Es de hacer notar que (3.230) corresponde con (3.14) puesto que ! =
q
k
m
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.17: La posición de una partícula ligada a un resorte de constante 1:103 N
m
en
está dada por la expresión,
x (t) = 8; 0mCos
�
5; 0�t+
�
2
�
donde x es dada en metros y t en segundos. Determine: (a) la energía mecánica
total y (b) la energía cinética y la potencial en t = 0; 19 s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 156
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución:
Lo primero que se debe hacer es comparar la ecuación dada con su correspondi-
ente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde con (3.5). Por lo
tanto, al compararlas se encuentra que,
A = 8; 0 m (3.232)
! = 5; 0�
rad
s
(3.233)
' =
�
2
rad (3.234)
(a) Al usar (3.39),
E =
1
2
kA2 (3.235)
E =
1
2
:1:103
N
m
: (8; 0 m)2
E = 3; 2:104J (3.236)
(b) Al usar la expresión para la posición dada enel enunciado del ejemplo, en t = 5 s,
se tiene que,
x = 8; 0mCos
�
5; 0�:0; 19 +
�
2
�
= 8; 0 m: (0; 9968)
x = 7; 97 m (3.237)
y al usar (3.34),
T =
1
2
k
�
A2 � x2
�
(3.238)
T =
1
2
:1:103
N
m
:
�
(8; 0 m)2 � (7; 97 m)2
�
T = 2; 40:102J (3.239)
Por último, a partir de (3.37),
U =
1
2
kx2 (3.240)
U =
1
2
:1:103
N
m
: (7; 97 m)2
U = 3; 18:104J (3.241)
Obsérvese que,
T + U = 3; 2:104J = E (3.242)
en concordancia con (3.236) como era de esperarse, puesto que el sitema es con-
servativo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 157
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.1.6.2 El Péndulo Simple, Ideal o Matemático
Definición y ecuación de movimiento
Un Péndulo Simple, Ideal o Matemático es un sistema idealizado que
consta de una partícula de masa m (denominada Masa Pendular) sus-
pendida de un soporte fijo mediante una cuerda de longitud `, inde-
formable y de masa despreciable, como se muestra en la figura 3.5.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones se debe encontrar la ecuación de
movimiento de la masa pendular. Esta se mueve en un arco de circunferencia de radio
`: Las fuerzas que actúan sobre masa pendular son su peso �!w = m�!g y la tensión de la
cuerda que será denotada como
�!
T c. De la figura se ve que la componente tangencial
del peso es,
Figura 3.5: Fuerzas actuantes en un Péndulo Simple.
wx = �mg Sen� (3.243)
donde el signo menos se debe a que se opone siempre al desplazamiento s = AB: A
partir de la Segunda Ley de Newton, la ecuación de movimiento tangencial vendrá
dada por,
Fx = wx = max (3.244)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 158
CAPITULO 3. OSCILACIONES
en la que la aceleración tangencial ax viene dada por,
ax =
d2s
dt2
=
d2 (`�)
dt2
= `
d2�
dt2
(3.245)
puesto que s = AB = `� (longitud de arco). Entonces, de (3.243), (3.244) y (3.245) es
posible escribir,
d2�
dt2
+
g
`
Sen� = 0 (3.246)
Ahora, si se supone que las oscilaciones son de pequeña amplitud (� pequeño) en-
tonces6,
Sen� ' � (3.247)
por lo tanto, (3.246) puede ser escrita ahora como,
d2�
dt2
+
g
`
� = 0 (3.248)
que es la Ecuación de Movimiento del Péndulo Simple. Esta ecuación es idéntica a
la ecuación de movimiento del OAS (3.3) haciendo, en este caso, � el papel de x.
Entonces,
El Péndulo Simple realiza un MAS cuando la aplitud es pequeña.
Período y frecuencia Al comparar (3.248) con (3.3) es fácil darse cuenta que para
el péndulo simple,
!2 =
g
`
(3.249)
entonces, el período de un péndulo simple vendrá dado por,
� = 2�
r
`
g
(3.250)
donde es posible notar que el período es independiente de la masa del pédulo. Final-
mente, su frecuencia es dada por,
# =
1
�
# = 1
2�
r
g
`
(3.251)
6Sen� = � � 13!�
3 + 15!�
5 � 17!�
7 + � � �+ (�1)n �2n+1(2n+1)! =
1P
n=1
(�1)n �2n+1(2n+1)!
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 159
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Leyes del péndulo
Ley de las masas El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su
masa y de su naturaleza.
Ley del Isócrono El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la
amplitud.
Ley de las longitudes Los períodos de oscilación de dos péndulos de distinta lon-
gitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces
cuadradas de sus longitudes,
�1
�2
=
p
`1p
`2
(3.252)
Ley de las aceleraciones de las gravedades Los períodos de oscilación de un mismo
péndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las raíces
cuadradas de las aceleraciones de gravedad en cada lugar,
�1
�2
=
p
g2p
g1
(3.253)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.18: Un péndulo simple tiene un período de 7; 50 s en la Tierra, (a)¿cuál es su
longitud?, (b) ¿cuál sería su período en la luna donde gluna = 1; 67 ms2?.
Solución:
(a) A partir de (3.250),
� = 2�
s
`
g
(3.254)
` =
� �
2�
�2
g (3.255)
entonces,
` =
�
7; 50 s
2�
�2
:9; 8
m
s2
` = 13; 96m (3.256)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 160
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) A partir de (3.250),
�Luna = 2�
s
`
gLuna
(3.257)
�Luna = 2�
s
13; 96 m
1; 67m
s2
�Luna = 18; 17s (3.258)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.19: Un péndulo simple tiene una longitud de 10; 00 m. Determine el cambio
en su período si éste se mide en un punto donde g1 = 9; 80 ms2 y luego en otro punto
elevado con respecto al primero, donde la aceleración debida a la gravedad
disminuye a g2 = 9; 70 ms2 .
Solución:
A partir de (3.250),
� = 2�
s
`
g
(3.259)
entonces para el primer caso,
� 1 = 2�
s
10; 00 m
9; 80m
s2
� 1 = 6; 346975 s (3.260)
y para el segundo caso,
� 2 = 2�
s
10; 00 m
9; 70m
s2
� 2 = 6; 379608 s (3.261)
de aquí que el cambio �� en el período vendrá dado por,
�� = � 2 � � 1 (3.262)
�� = 6; 379608 s� 6; 346975 s
�� = 3; 26:10�2s (3.263)
es decir, el período aumentó cuando el péndulo fue elevado hasta su nueva posición.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.20: El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un período de
2 s cuando g = 9; 8 m
s2
. Si la longitud del péndulo se incrementa en 4 mm, ¿cuánto
se atrasará el reloj en 24 horas?.
Solución:
A partir de (3.250),
� = 2�
s
`
g
(3.264)
de aquí que para la longitud inicial,
� 1 = 2�
s
`1
g
de esta manera se tiene que,
`1 =
� � 1
2�
�2
g (3.265)
entonces,
`1 =
�
2 s
2�
�2
:9; 8
m
s2
`1 = 0; 9929 m (3.266)
Ahora, si esta longitud es incrementada en 4mm = 4:10�3m se tiene que,
`2 = `1 + 4:10
�3mm
= 0; 9929 m+ 0; 004m
`2 = 0; 997m (3.267)
de aquí que, a partir de (3.264), el período para esta nueva longitud sea dado por,
� 2 = 2�
s
`2
g
(3.268)
� 2 = 2�
s
0; 996 m
9; 8m
s2
� 2 = 2; 003 s (3.269)
por lo tanto, el período se incrementa en,
�� = � 2 � � 1 (3.270)
�� = 2; 003 s� 2s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 162
CAPITULO 3. OSCILACIONES
�� = 0; 003s (3.271)
entonces el período se incrementa 0; 003 s cada 2 s. En 24 h, que son 86400 s, este
incremento corresponderá a un tiempo t de,
t =
86400:0; 003 s
2
t = 129; 6s (3.272)
que representa el atraso del reloj debido al incremento en la longitud del péndulo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.21: Un péndulo simple de 0; 50 m de longitud se cuelga en un lugar donde
g = 9; 79 m
s2
. ¿Cuál es el período del péndulo?.
Solución:
A partir de (3.250),
� = 2�
s
`
g
(3.273)
por lo tanto,
� = 2�
s
`
g
(3.274)
� = 2�
s
0; 50 m
9; 79m
s2
� = 1; 42s (3.275)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.22: Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 50 Hz y la longitud de su
hilo es 1; 00 m. ¿Cuál es el valor local de g?.
Solución:
A partir de (3.251),# =
1
2�
r
g
`
(3.276)
g = 4�2#2` (3.277)
por lo tanto,
g = 4�2
�
0; 50
1
s
�2
:1; 00 m
g = 9; 87m
s2
(3.278)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.23: El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no
cinta métrica. Un péndulo simple cuelga del techo hasta casi tocar el piso y tiene
un período � = 12 s. ¿Cuál es la altura del recinto?.
Solución:
Como el péndulo casi toca el suelo, su longitud es igual a la altura del recinto. A
partir de (3.250),
� = 2�
s
`
g
(3.279)
` =
� �
2�
�2
g (3.280)
por lo tanto,
` =
�
12 s
2�
�2
:9; 8
m
s2
` = 35; 75m (3.281)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.24: La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longitud
de un péndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 10000.
¿Qué error en la medida del tiempo se presentará en 1 d�{a?.
Solución:
A partir de (3.250) el período � 1 al inicial el día vendrá dado por,
� 1 = 2�
s
`1
g
(3.282)
donde es la longitud inicial del péndulo, entonces a partir de aquí se tiene que,
`1 =
� � 1
2�
�2
g (3.283)
entonces,
`1 =
�
2 s
2�
�2
:9; 8
m
s2
`1 = 0; 992947 m (3.284)
Ahora, si esta longitud la incrementamos en 1
10000
`1 = 9; 92:10
�5 m entonces la nueva
longitud `2 del pédulo será,
`2 = `1 + 9; 92:10
�5m (3.285)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
`2 = 0; 992947 m+ 9; 92:10
�5m
`2 = 0:9929992m (3.286)
entonces, el nuevo período � 2 vendrá dado por,
� 2 = 2�
s
`2
g
(3.287)
� 2 = 2�
s
0:9929992m
9; 8m
s2
� 2 = 2; 000052 s (3.288)
por lo tanto el período se incrementa en,
�� = � 2 � � 1 (3.289)
�� = 2; 000052 s� 2s
�� = 0; 000052s (3.290)
por lo tanto el período se incrementa 0; 000052 s cada 2 s. En 1 d�{a, que son 86400 s, este
incremento corresponderá a un tiempo t de,
t =
86400:0; 000052 s
2
t = 2; 2s (3.291)
que representa el error cometido.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.3 El Péndulo Físico o Compuesto
Definición y ecuación de movimiento Antes de estudiar lo que es un Péndulo Físico
o Compuesto, es necesario recordar la definición de Cuerpo Rígido.
Un Cuerpo Rígido o Sólido Rígido es aquel cuya forma no varía pese
a ser sometido a la acción de fuerzas externas, lo cual supone que la dis-
tancia entre las diferentes partículas que lo conforman resulta invariable
al transcurrir el tiempo.
Ahora bien,
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Un Péndulo Físico o Péndulo Compuesto es cualquier cuerpo rígido
de forma arbitraria y de masa m que puede oscilar libremente alrededor
de un eje horizontal fijo (eje de giro), que pasa por un punto mismo que
no es su centro de masa, bajo la acción de su propio peso.
En la figura 3.6 se muestra un cuerpo irregular en esta situación. Supóngase que el
cuerpo se desvía de su posición de equilibrio estable7 un cierto ángulo �, el cual está
contenido en el plano del cuerpo. Al hacer esto, el peso �!w crea un torque restaurador
�!T con respecto al punto de suspensión 0 (por donde pasa el eje de giro) dado por
(verificarlo),
Figura 3.6: Fuerzas en un Péndulo Físico.
T = �mgd Sen� (3.292)
donde d es la posición del Centro de Masa CM con respecto al punto de giro situado
en 0.
Como es sabido a partir de la Dinámica de un Cuerpo Rígido8, el torque T viene
dado mediante,
T = I d
2�
dt2
(3.293)
7La posición de equilibrio estable es aquella en que el centro de masas CM se encuentra en la misma
vertical y por debajo del punto de suspensión.
8Para refrescar conocimientos, revísese el capítulo 10 Dinámica de un Cuerpo Rígido de [9].
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde I es el Momento de Inercia9 del cuerpo y
d2�
dt2
su aceleración angular. Para
refrescar conocimientos acerca del cáculo del momento de inercia de un cuerpo,
puede consultarse el capítulo 12 de [10] o el capítulo 10 de [6], por ejemplo. Entonces,
al igualar este resultado con el dado por (3.292) resulta (verificarlo),
d2�
dt2
+
�
mgd
I
�
Sen� = 0 (3.294)
que es una ecuación diferencial de segundo orden del mismo tipo que (3.246), encon-
trada para el péndulo simple.
Si se supone ahora desplazamientos angulares pequeños, entonces es posible es-
cribir que10,
d2�
dt2
+
�
mgd
I
�
� = 0 (3.295)
que es la Ecuación de Movimiento del Péndulo Físico. Esta ecuación es idéntica a
la ecuación de movimiento del OAS (3.3) haciendo, en este caso, � el papel de x.
Entonces,
El Péndulo Físico realiza un MAS cuando la aplitud es pequeña.
Período y frecuencia Al comparar (3.295) con (3.3) es fácil darse cuenta que para
el péndulo físico,
!2 =
mgd
I
(3.296)
de aquí que el período � sea,
� =
2�
!
� = 2�
r
I
mgd
(3.297)
y su frecuencia,
# =
1
�
9En capítulo 12, página 284, de [10], en el capítulo 9, página 342, de [11], en el capítulo 9 página 254,
de [12] y en el capítulo 10, página 303, de [9] se muestran tablas de momentos de inercia de algunos
cuerpos.
10Sen� = � � 13!�
3 + 15!�
5 � 17!�
7 + � � �+ (�1)n �2n+1(2n+1)! =
1P
n=1
(�1)n �2n+1(2n+1)!
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
# = 1
2�
r
mgd
I
(3.298)
Nótese que todo el razonamiento anterior se aplica a un objeto laminar de cualquier
forma y que el pivote puede estar localizado en cualquier punto del cuerpo.
A partir del Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes paralelos11 de la Dinámica
Rotacional se sabe que,
I = Icm +mD
2 (3.299)
donde se establece que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que
pasa por el centro de masa es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto
al centro de masa Icm más el producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de
la distancia D que separa dichos ejes. Por lo tanto, (3.297) y (3.298) pueden ser escritas
ahora como,
� = 2�
s
Icm +mD
2
mgd
(3.300)
# = 1
2�
r
mgd
Icm +mD2
(3.301)
Longitud reducida Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo
sea igual al de un péndulo físico dado. Tal péndulo simple recibe el nombre de Péndulo
Simple Equivalente y su longitud `R recibe el nombre de Longitud Reducida del Péndulo
Físico.
Al igualar la expresión para el período de un péndulo físico (3.297) con la correspon-
diente al al péndulo simple (3.250) para una longitud ` = `R resulta,
2�
s
I
mgd
2�
s
`R
g
de aquí que,
`R =
I
md
(3.302)
Así, en lo referente al período de un péndulo físico, la masa del péndulo puede
imaginarse concentrada en un punto (denominado Centro de Oscilación) cuya dis-
tancia al eje de suspensión es `R. Todos los péndulos físicos (no importando la forma
del cuerpo) que tengan la misma longitud reducida `R (respecto al eje de suspensión),
oscilarán con el mismo período.
11Ver apéndice C.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 168
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Es posible demostrar (ver problema 109) que si el péndulo de la figura 3.6 oscila
alrededor de 00, en lugar de 0, su período es el mismo y su longitud reducida permanece
inalterable.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.25: Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrede-
dor de cualquier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por
ejemplo, supóngase que una barra no uniforme de 5; 0 Kg puede equilibrarse en
un punto de 20 cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo
hace con una frecuencia de 1; 0 Hz. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor
de ese extremo?.
Solución:
Al usar (3.298) se tiene que,
# =
1
2�
r
mgd
I
(3.303)
y de aquí que,
I =
mgd
(2�#)2
(3.304)
entonces,
I =
5; 0Kg:9; 8m
s2
:20:10�2m�
2�:1; 01
s
�2
I = 0; 248Kg:m2 (3.305)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.26: Una varilla delgada y uniforme (ver figura 3.7) de largo L = 2; 00m y masa
M = 250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?, (b)
¿cuál será la longitud de un péndulo simple que tenga el mismo período?. El
momento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase por
uno de sus extremos es,
I =
1
3
ML2
donde L es la longitud de la varilla y M es su masa. El centro de gravedad de una
varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 169
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura 3.7: Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida por uno de sus extremos.
(a) Al usar (3.297), al tener presente que el momento de inercia es I = 1
3
ML2 y que
como la barra es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L
2
con
respecto a sus extremos, entonces es posible escribir que,
� = 2�
s
I
Mgd
(3.306)
� = 2�
s
1
3
ML2
MgL
2
� = 2�
s
2L
3g
(3.307)
de aquí que,
� = 2�
s
2:2; 00m
3:9; 8m
s2
� = 2; 32s (3.308)
(b) A partir de la ecuación para el período del péndulo simple (3.250),
� = 2�
s
L
g
(3.309)
de aquí que,
L =
� �
2�
�2
g (3.310)
entonces, al sustituir aquí el período (3.308) encontrado en (a),
L =
�
2; 32 s
2�
�2
:9; 8
m
s2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 170
CAPITULO 3. OSCILACIONES
L = 1; 34m (3.311)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.27: Calcule el período de una regla métrica homogénea que gira alrededor
de uno de sus extremos y que oscila en un plano vertical, como se muestra en la
figura 3.7.
Solución:
(a) Al usar (3.297), al tener presente que el momento de inercia es I = 1
3
ML2 y que
como la regla es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L
2
con
respecto a sus extremos, es posible escribir que,
� = 2�
s
I
Mgd
(3.312)
� = 2�
s
1
3
ML2
MgL
2
� = 2�
s
2L
3g
(3.313)
entonces, debido a que la longitud de la regla es de L = 1 m,
� = 2�
s
2:1m
3:9; 8m
s2
� = 1; 64s (3.314)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.28: Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un MAS con
una frecuencia de 0; 450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2; 20 Kg y el pivote
se localiza a 0; 350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del
péndulo.
Solución:
Al usar (3.298) y tener presente que d = 0; 350 m con respecto a sus extremos, en-
tonces es posible escribir que,
# =
1
2�
r
Mgd
I
(3.315)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 171
CAPITULO 3. OSCILACIONES
I =
Mgd
4�2#2
(3.316)
de aquí que,
I =
2; 20Kg:9; 8m
s2
:0; 350 m
4�2
�
0; 4501
s
�2
I = 0; 944Kgm2 (3.317)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.29: Un objeto plano tiene un momento de inercia Icm respecto a su centro
de masa. Cuando se hace girar alrededor del punto P1, que se encuentra a una
distancia h1 del centro de masa, oscila con un período � . Existe otro punto P2 en el
lado opuesto del centro de masa, a una distancia h2 del centro de masa, respecto
al cual el objeto oscila con el mismo período. Muestre que,
h1 + h2 =
g� 2
4�2
Solución:
Al usar (3.300) para P1 se tiene que,
� = 2�
s
Icm +mD
2
1
mgd1
= 2�
s
Icm +mh
2
1
mgh1
(3.318)
y para P2,
� = 2�
s
Icm +mD
2
2
mgd2
= 2�
s
Icm +mh
2
2
mgh2
(3.319)
Ahora, si se despeja Icm en cada caso,
Icm = mgh1
� �
2�
�2
�mh21 (3.320)
Icm = mgh2
� �
2�
�2
�mh22 (3.321)
Por último, al igualar (3.320) con (3.321),
mgh1
� �
2�
�2
�mh21 = mgh2
� �
2�
�2
�mh22
g� 2
4�2
(h2 � h1) = h22 � h21
h2 + h1 =
g�2
4�2
(3.322)
como se pedía mostrar.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura 3.8: Ejemplo 3.30: Un anillo homogéneo de radio R suspendido de una varilla.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.30: Un anillo homogéneo de 0; 10 m de radio está suspendido de una varilla
como se ilustra en la figura 3.8. Determinar su período de oscilación.
Solución:
El momento de inercia con respecto al centro de masa Icm del anillo es,
Icm = mR
2 (3.323)
Para encontrar el momento de inercia I con respecto al eje que pasa por 0 se usa el
Teorema de Stainer (3.299),
I = Icm +mD
2 = mR2 +mD2 (3.324)
pero de la figura 3.8 es fácil notar que D = R, por lo tanto,
I = mR2 +mR2 = 2mR2 (3.325)
Por otro lado, a partir de (3.300),
� = 2�
s
I
mgd
= 2�
s
I
mgR
(3.326)
puesto que d = R.
Por último, al sustituir (3.325) en (3.326),
� = 2�
s
2mR2
mgR
= 2�
s
2R
g
(3.327)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces,
� = 2�
s
2:0; 10 m
9; 8m
s2
� = 0; 88s (3.328)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.31 Una esfera (ver figura 3.9) de radio R está suspendida desde un punto fijo
por una cuerda, de modo que la distancia desde el centro de la esfera al punto
de suspensión es `. Encontrar el período del péndulo.
Figura 3.9: Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por una cuerda.
Solución:
No es posible considerar el péndulo como simple, a menos que ` sea muy grande
comparado con R. El momento de inercia Icm de una esfera con respecto a un eje que
pasa por su centro de masa es,
Icm =
2
5
mR2 (3.329)
Ahora, el momento de inercia I con respecto al punto de suspensión es posible encon-
trarlo a partir del Teorema de Stainer (3.299),
I = Icm +mD
2 =
2
5
mR2 +mD2 (3.330)
pero como D = ` entonces,
I =
2
5
mR2 +m`2 (3.331)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Por otro lado, a partir de (3.300),
� = 2�
s
I
mgd
= 2�
s
I
mg`
(3.332)
puesto que d = `.
Por último, al sustituir (3.331) en (3.332),
� = 2�
s
2
5
mR2 +m`2
mg`
(3.333)
y de aquí,
� = 2�
r
`
g
h
1 + 2
5
�
R
`
�2i (3.334)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.4 Péndulo de Torsión
Definición y ecuaciónde movimiento
Un Péndulo de Torsión consiste (como se muestra en la figura 3.10) en
un cuerpo rígido de masa m suspendido desde un determinado punto
por un alambre o fibra (cuya masa es despreciable con respecto a la del
cuerpo), sujeta al mismo en el punto donde está ubicado su centro de
masa CM .
Cuando el cuerpo se rota un ángulo � a partir de su posición de equilibrio estable,
el alambre o fibra se tuerce ejerciendo sobre el cuerpo un torque T alrededor de AB
que se opone al desplazamiento angular � y de magnitud proporcional al mismo,
T = ��� (3.335)
donde � es el coeficiente de torsión del alambre o fibra y depende de sus propiedades
elásticas.
Ahora, al igualar (3.335) con (3.293) resulta,
��� = I d
2�
dt2
d2�
dt2
+ �
I
� = 0 (3.336)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura 3.10: Péndulo de Torsión.
que es la Ecuación de Movimiento del Péndulo de Torsión. Esta ecuación es idéntica
a la ecuación de movimiento del OAS (3.3) haciendo, en este caso, � el papel de x.
Entonces,
El Péndulo de Torsión realiza un MAS.
Período y frecuencia Al comparar (3.336) con (3.3) es fácil darse cuenta que para
el péndulo físico,
!2 = �
I
(3.337)
de aquí que el período � sea,
� =
2�
!
� = 2�
r
I
�
(3.338)
y su frecuencia,
# =
1
�
# = 1
2�
r
�
I
(3.339)
El resultado (3.338) es importante experimentalmente puesto que es posible usarlo
para determinar el momento de inercia de un cuerpo, suspendiéndolo de un alambre
cuyo coeficiente de torsión � es conocido y luego midiendo el período � de oscilación.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.2 El Oscilador Amortiguado
Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fric-
ción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado
fuera del sistema, siendo absorbido por el medio que le rodea. Como consecuencia,
el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el
amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa
a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este regreso depende de
la magnitud del amortiguamiento.
3.2.1 Ecuación de movimiento
Supóngase ahora que el sistema mostrado en la figura 3.1 se introduce en un medio
que ofrece resistencia al movimiento (ver figura 3.11). Un tipo común de fuerza de
fricción es proporcional a la velocidad y se producen frecuentemente en los fluidos,
principalmente en líquidos y gases. Se les denominan Fuerzas de Viscosidad y actúan
cuando un cuerpo se mueve, por ejemplo en el agua o en el aire. Matemáticamente
se expresa como,
Figura 3.11: Oscilador Amortiguado.
�!
F roce = �b�!v (3.340)
donde b es una constante positiva relacionada con las propiedades del medio re-
sistente y �!v es la velocidad de la partícula.
Por otro lado, a partir de la Segunda Ley de Newton se tiene que,
�!
F = m
d2�!r
dt2
(3.341)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Pero, como el movimiento se realiza a lo largo del eje x, (3.340) y (3.341) se pueden
escribir entonces como,
Fx = m
d2x
dt2
(3.342)
Fxroce = �bvx (3.343)
Como la fuerza Fx es la resultante de las fuerzas actuantes a lo largo del eje x entonces,
Fx = �kx� bvx (3.344)
de manera que, al igualar (3.342) y (3.344) se obtiene,
m
d2x
dt2
= �kx� bvx (3.345)
que, después de arreglos triviales, se puede escribir como (verificarlo),
d2x
dt2
+ 2�
dx
dt
+ !2ox = 0 (3.346)
la cual representa la Ecuación de Movimiento del Oscilador Amortiguado. Aquí,8><>:
� =
b
2m
> 0
!2o =
k
m
(3.347)
siendo !o la frecuencia angular sin amortiguamiento, es decir, la misma (3.4) del OAS.
A esta frecuencia también se le denomina Frecuencia Natural.
Se define la Frecuencia Natural de un oscilador !o como aquella que
tendría si no estuviese presente el amortiguamiento.
3.2.2 Solución de la ecuación de movimiento
De la ecuación (3.346) se necesita depejar x (t), que representa la posición de m en
cualquier instante de tiempo t. Al igual que para el caso del OAS, esta es una ecuación
diferencial de segundo orden para x (t) y a este nivel no se tienen las herramientas
necesarias para resolverla, razón por la cual se presentará su solución sin demostración12.
La solución general viene dada por,
x (t) = e��t
�
A1e
p
�2�!2ot + A2e
�
p
�2�!2ot
�
(3.348)
12Para los lectores curiosos y que desean siempre ir un paso adelante, es recomendada la lectura de la
sección 3.7.1, página 169, del texto [7] o el apéndice C, página 599, del texto [8]. Puede verse también
el apéndice E del presente texto.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde A1 y A2 son dos constantes que resultan de resolver la ecuación diferencial y
cuyos valores dependen del sistema en específico que se esté estudiando. Hay tres
posibles escenarios:
1. !2o > �
2 sub-amortiguamiento �! Movimiento oscilatorio amortiguado.
2. !2o < �
2 sobre-amortiguamiento �! Movimiento aperiódico sobreamortiguado.
3. !2o = �
2 amortiguamiento crítico �! Movimiento aperiódico crítico.
Sólo en el primer caso, el movimiento es oscilatorio.
3.2.3 Oscilador Amortiguado con sub-amortiguamiento
3.2.3.1 Posición en función del tiempo
Cuando !2o > �
2 se tiene un Oscilador Sub-amortiguado. En este caso la solución
general (3.348) se convierte en dos soluciones que vienen dadas por el par de expre-
siones,
x (t) = Asa Sen (!sat+ ') (3.349)
x (t) = AsaCos (!sat+ ') (3.350)
donde el subíndice sa indica sub-amortiguamiento. Debido a que en estas soluciones
entán presentes las funciones armónicas seno y coseno, entonces el movimiento efec-
tuado por la partícula es oscilatorio, siendo Asa es la amplitud y !sa la frecuencia dados
por,
Asa = �Aoe��t, con Ao = amplitud inicial (3.351)
!sa =
r
k
m
� b
2
4m2
=
p
!2o � �2 (3.352)
Se usará (3.349) como solución predeterminada, a menos que se indique lo con-
trario. La expresión (3.351) indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la
amplitud de las oscilaciones a medida que el tiempo aumenta, como se muestra en la
figura 3.12. Al comparar ambas curvas resulta evidente que !sa es menor (el período es
mayor) que !o.
La cantidad !sa es la frecuencia del oscilador sub-amortiguado aunque, estricta-
mente hablando, no sea posible definir una frecuencia cuando exista amortiguamiento
puesto que el movimiento no es periódico. En el caso de que el amortiguamiento sea
muy débil, � es muy pequeño con respecto a !o, entonces resulta que,
!sa =
q
!2o � �2 u !o (3.353)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura 3.12: Oscilador Sub-amortiguado. Gráfica de (3.349), para la que se ha tomado m = 1, k = 2, Ao = 1, 'o = 0, b = 0; 1 y
t = 0:::en unidades del sitema M.K.S.C..
con lo cual es posible usar el término frecuencia pero sin un significado preciso, claro
está, a menos que � = 0. Aquí se denominará !sa como la Frecuencia del Oscilador
Sub-amortiguado.
En base a lo anterior, también es posible definir el Período del Oscilador sub-amortiguado
� sa como,
� sa =
2�
!sa
(3.354)
El cociente de las amplitudes de oscilación de dos máximos sucesivos en un os-
cilador sub-amortiguado es constante. En efecto, supóngase que el primer máximo
ocurre en t = T . Entonces, a partir de (3.351) se puede escribir que,
Asa (T ) = Aoe
��T (3.355)
y trascurrido un tiempo igual a un período � sa se obtiene el siguiente máximo,
Asa (T + � sa) = Aoe
��(T+�sa) (3.356)
entonces el cociente de las amplitudes de oscilación de dos máximos sucesivos vendrá
dado por,
Asa (T )
Asa (T + � sa)
=
Aoe
��T
Aoe��(T+�sa)
= e��sa = constante (3.357)