Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-147

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4.5. Inecuaciones
Ejemplo 124. Una empresa textil fabricó 1500 remeras con un costo de produc-
ción de $30 por unidad. Si se venden todas las remeras, se obtiene una ganancia
que supera los $60000. ¿A qué precio se vende al menos cada unidad?
Solución: Llamemos x al precio de venta (en pesos) de cada unidad. Por cada
unidad vendida, la ganancia es igual a x−30. El enunciado afirma que la ganancia
de vender todas las remeras (es decir, 1500(x−30)) supera los 60000 pesos. Esto
se expresa simbólicamente y se resuelve como:
1500(x − 30) > 60000
(o.2)
⇐⇒ x − 30 >
60000
1500
(o.1)
⇐⇒ x > 40 + 30 = 70.
Luego, la solución es el conjunto S = {x ∈ R ∶ x > 70} = (70,∞). Esto significa
que cada remera se vende a más de $70. E
L Como se ve en los ejemplos anteriores, el proceso para resolver una
inecuación consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equiva-
lentes más simples, hasta que el resultado final sea de uno (o varios) de los
siguientes tipos:
x < c, x ≤ c, x ≥ c, x > c,
donde x denota la incógnita. Si se llega a más de una de estas inecuaciones,
según el caso estas pueden estar conectadas con un “o”, por lo que deberán
unirse los correspondientes conjuntos solución, o con un “y”, donde habrá que
tomar la intersección de dichos conjuntos. Si el resultado final es contradicto-
rio, entonces la inecuación no tiene soluciones. Ilustramos estos casos en los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 125. Inecuaciones conectadas con “o”. Resolver (x + 3)2 ≥ 16.
Solución:
(x + 3)2 ≥ 16
(o.5)
⇐⇒
√
(x + 3)2 ≥
√
16 ⇐⇒ ∣x + 3∣ ≥ 4.
Por la propiedad (g) del valor absoluto (ver página 49), la última desigualdad
ocurre si y solo si
x + 3 ≥ 4 o x + 3 ≤ −4,
es decir
x ≥ 1 o x ≤ −7.
El conjunto solución de la primera desigualdad es S1 = [1,∞), y el de la segunda
es S2 = (−∞,−7]. Puesto que las desigualdades están conectadas con un “o”,
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