Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-263

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5.6. Función exponencial
Ejemplo 209. Bacterias en presencia de antibióticos. En presencia de un an-
tibiótico, se observa que un cultivo de bacterias decrece un 5 % cada 8 horas,
siendo la población inicial de 1000 individuos.
(a) Hallar una fórmula que determine la cantidad de bacterias C(t), siendo t el
tiempo en dı́as desde que se toma el antibiótico.
(b) Determinar la cantidad de bacterias luego de 2 dı́as de antibióticos.
(c) Hallar cuánto tiempo es necesario para reducir la población de bacterias a la
mitad de la inicial.
(d) Determinar la cantidad de individuos que se pierden en el quinto dı́a de
suministro del medicamento.
Solución:
(a) El dato nos dice que la población de bacterias decrece en forma exponencial.
Entonces, la cantidad de bacterias luego de t dı́as de tomar el antibiótico está
dada por
C(t) = C0e
rt, (5.6.1)
siendo C0 = 1000, y r a determinar según el dato. El mismo afirma que
luego de 8 horas (t = 1
3
), la población de bacterias decrece un 5 %, es decir,
C ( 1
3
) = C0 − 0.05C0 = 0.95C0.
Reemplazando en la ecuación (5.6.1) se obtiene
0.95C0 = C0e
r
3 ,
lo que implica 0.95 = e
r
3 . Aplicando el logaritmo neperiano a ambos miem-
bros de la igualdad, y despejando, se concluye que r = 3 ln 0.95 ≈ −0.1539.
Entonces la cantidad de bacterias luego de t dı́as de tomar el antibiótico está
dada por
C(t) = 1000e−0.1539t,
o bien, equivalentemente,
C(t) = 1000(0.95)3t.
(b) La cantidad de bacterias luego de 2 dı́as de antibióticos es
C(2) = 1000(0.95)6 ≈ 735.
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